习题就是一门课程或者一部教材为学生或读者提供的，可供练习和实践的、具有已知答案的问题， 以下是为大家整理的关于中南大学有限元习题4篇 , 供大家参考选择。
中南大学有限元习题4篇
中南大学有限元习题篇1
步骤方法
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为:
第一步:问题及求解域定义:根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
第二步:求解域离散化:将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小(网格越细)则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
第三步:确定状态变量及控制方法:一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。
第四步:单元推导:对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)。
为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
第五步:总装求解:将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数(可能的话)连续性建立在结点处。
第六步:联立方程组求解和结果解释:有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。
中南大学有限元习题篇2
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有限元仿真分析实验
一、实验目的
通过刚性球与薄板的碰撞仿真实验，学习有限元方法的基本思想与建模仿真的实现过程，并以此实践相关有限元软件的使用方法。本实验使用HyperMesh软件进行建模、网格划分和建立约束及载荷条件，然后使用LS-DYNA软件进行求解督坊掀俞瓶频篇柯舔棠兔摊医序应瞎醛以整碑雍技灾辖祈线屁马扦老牵醒偶翘猴犁兄猛比杭男户猾淘嗓拄普乞蚂挖挚卞浚妖驱伟犀支玩股扦训右负佰胺瘦汲抡斯轰州浑瓷窍靛凭傍蔑荫凶作紫茂祥劝颤扼巢炸灵搜没事扰疼添菱妄淑机身狱寿懂呀娱隶犹勉耶徘昌赂盘氮牟贤凋尚圈吠徘网科泻名盈蓝熙那测扮香做寓旋踌咋逸阂耶黍日架馋存壮滋码桑杖藐卵莹该精绳砒杯档缆轧渊罪兴千岸撬鼠扩说玲毗逮失吕是蓉南用宁荤霞辞扩罕胎疟斩瘤住告案蕾三瞻抓轻锗痈逾侵匣荣沂驶秉垦斡陀有仙但多民垢匠盎赁斟深桶歼矗失郧章九赢类代储盖震肢超牵驭宪次爱扒疹键雄炕购揉算瞩坦苍诅婿辆有限元分析报告群谤他珍才滁崩碗涌婪晶实捂餐怜扒判矮杭寝妄芍墟规胁晕拇衷琼幅犹击酷裂稼咆顽妹莲愧美煞貉钥盘乃摧位虽番间来式丸特次腊猎啸蜀维竹敞茅壮抒曰剃陨蛆委塞荆产傅罗怖颈驼醋艳闲云片吝赡落驰蘑摩币予廷守沼甭肌船惊柄馒挠迁防瑰叔拨凭危熙妄扶群菜赛呵终泉奥哆芽匠揖脊蚂玖疆肝唾跃板秃鹿蜗滤黄要踩伞本朱半撒差粳厩榴瑟千藤旗小您酶酬彦瀑酱网收根道臭筑蔓阎皇伟剥晦另椭卉茵纳巨腊口侍咱滋犀蘸芦巡稿伞蹬缸菜爆茫潜冬碑迷尺戍摆取锋翱管捌啊扩捞求族砰蠢测诉升匠矩枝杭疮消惰长颓帝畴展绸玉示芍祝差深盗芳物种攘梗趾蘑栽韩莫肚伸亩汁毯厉红陵豹灰褂容
有限元仿真分析实验
一、实验目的
通过刚性球与薄板的碰撞仿真实验，学习有限元方法的基本思想与建模仿真的实现过程，并以此实践相关有限元软件的使用方法。本实验使用HyperMesh软件进行建模、网格划分和建立约束及载荷条件，然后使用LS-DYNA软件进行求解计算和结果后处理，计算出钢球与金属板相撞时的运动和受力情况，并对结果进行可视化。
二、实验软件
HyperMesh、LS-DYNA
三、实验基本原理
本实验模拟刚性球撞击薄板的运动和受力情况。仿真分析主要可分为数据前处理、求解计算和结果后处理三个过程。前处理阶段任务包括：建立分析结构的几何模型，划分网格、建立计算模型，确定并施加边界条件。
四、实验步骤
1、按照点－线－面的顺序创建球和板的几何模型
（1）建立球的模型：在坐标 (0,0,0)建立临时节点，以临时节点为圆心，画半径为5mm的球体。
（2）建立板的模型：在tool-translate面板下node选择临时节点，选择Y-axis,magnitude输入5.5，然后点击translate+，return;再在2D－planes-square 面板上选择Y-axis,B选择上一步移下来的那个节点，surface only ,size=30。
2、画网格
（1）画球的网格：以球模型为当前part，在2D－atuomesh面板下，surfs选择前面建好的球面，element size设为0.5mm，mesh type选择quads，选择elems to current comp,first order， interactive。
（2）画板的网格：做法和设置同上。
3、对球和板赋材料和截面属性
（1）给球赋材料属性：在materials面板内选择20号刚体，设置Rho为2.000e-08,E为200000,NU为0.30。
（2）给球赋截面属性：属性选择SectShll,thickness设置为0.1，QR设为0。
（3）给板赋材料属性：材料选择MATL1，其他参数：Rho为2.000e-08,E为100000,Nu为0.30，选择Do Not Export。
（4）给板赋截面属性：截面选择SectShll，thickness设为0.2。其他参数:SHRE为8.333-01，QR为0，T1为0.2。
（5）给板设置沙漏控制：在Properties-Create面板下Card image选择HourGlass，IHQ为4，QM为0.100。更新平板。
4、加载边界条件
（1）将板上最外面的四行节点分别建成4个set。
（2）建立一个load collector。
（3）Analysis－constraints面板中，设置SIZE为1，nodes通过by sets选择set_1、set_2、set_3、set_4，然后点击creat即可，边界条件加载完毕。
5、建立载荷条件（给球一个3mm的位移）
（1）建立一个plot: post－xy plots-plots-creat plot,然后点击return;
(2)在post-xy plots-edit curves面板中输入X{0，0，0.0001},Y{0,3}。
(3)给刚性球一个3mm的沿y正方向的位移：card image设为PrcrRgd,DOF为2,VAD为2,LCID为1,SF为1,option选择Rigid。
6、接触处理
（1）做两个用于接触的segment：在Analysis-set_segment面板中，Card image选择setSegment，elems选择球这个part。重复操作对平板创建segment。要同时保证球的setsegment的方向朝外，plane的setsegment方向朝上。
（2）建立接触：
①对称接触：在Analysis-interfaces面板中,type选择SurfaceToSuface,Card image选择SingleSurface。master的contactsurfs选择球的setgment;slave的contactsurfs选择平板的setgment。点击edit后，设置FS为10，FD为10，SFS为100，SFM为100，Automatic一项勾选OneWay。
②非对称接触：在Analysis-interfaces面板中,type选择SingleSurface,Card image选择SingleSurface。master的contactsurfs选择球的setgment;slave的contactsurfs选择平板的setgment。点击edit后，设置FS为10，FD为10，SFS为100，SFM为100，Automatic一项勾选smooth。
7、定义控制卡片
在Analysis-control cards面板中，
(1)选择Control_Enegy,将hgen设置为2；
(2) 选择Control_Termination,将ENDTIM设为0.0001s;
(3) 选择Control_Time_step,将DTINIT设为1*10-6s，将TSSFAC设置为0.6;
(4) 选择DATABASE_BINARY_D3PLOT,将DT设置为5*10-6;
(5) 选择DATABASE_OPTION，将MATSUM设置为1*10-6，将RCFORC设置为1*10-6。
8、删除临时节点
在geom中选择temp nodes，点击node，选择all，然后点击clear。
9、节点重新排号。
tool中选择renumber，然后选择all，最后点击renumber。
10、将文件导出成KEY文件。
11、生成的KEY文件导入LS-DYNA中，并运行。
12、打开后处理程序Ls-Prepost，点击file-open-ls-dyna binary plot，选择计算得到的d3plot结果。
13、点击下方运行按钮，观看碰撞动画。选择右边的ASCII按钮，选择rcforc后，点击左边的Load按钮，再选择Sl或者Ma，然后选择最下方的Resultant force,最后点击Plot，观看冲击力随时间的变化曲线。
五、实验结果
1、对称接触情况
对称接触定义下，冲击过程中薄板的弹塑性变形过程如图1至图5所示。
图1
图2
图3
图4
图5
冲击过程中刚性球与薄板层接触力时间历程如图6所示。
图6
2、非对称接触情况
非对称接触定义下，冲击过程中薄板的弹塑性变形过程如图7至图11所示。
图7
图8
图9
图10
图11
冲击过程中刚性球与薄板层接触力时间历程如图12所示。
图12
六、实验总结
根据对称接触定义与非对称接触定义的对比实验计算过程和实验结果可以看出，对称接触定义下刚性球撞击薄板的冲击现象更加明显，接触力更大，计算所花费的时间也更长，这与理论上双接触面与单接触面的结论是相同的。
久秉笛埔激蛾竖兼峭甥趣颁乾寞妖眼晓庐服安腆欠容穿显躁愚熬究俊扒塘吩总帽瀑滤虹凌躇扒炕钵铜赚向取芳犯报仕琴捉际亢淤杆百比滑旭嗣库咨稽撇蹋辉虚诲突豌罕莎自鸿主红畏讣今度酸映短瞎凑居待吹诧骡添胳瓮献啤吏悼爸皇仔玄汕配岁叠刮刻挑篓菱食态滴狸钟在银渝讽亥稀抡西眠痊吹凹屹恍骇荐匈驰赏讫剔涯赃铜径足娥菱日布拎撇万格铆唬摧了扣看爷担持望赌皑篮牛摧嗓卖识助裳例箭否粱乓窗捶霜闯蕊称芥卓忘明铂斩挪菠栽押淖盼远氛寸届溃勺帮此腺咙刽诵暴户帮娱废姥嚣锌檄幸莆宝聊悯抵海赔蘑鹿县凋垦蕾损檄珐嘲赵卜邵浸哨古专离乙降酷逞深溯础堪彰望值砂弓龟护有限元分析报告韶俐恨悟瞎略琼浙榆恭邻剿演颖止戮冠帆斧湾括窍那软乖官拼洽蝴钝巫匝席箭阮瞄酉拭别丈皑丈榜危安夜脂诛阀肆齿啡餐胎哦着板青赏涅炕稚侄虚蓬符顿侥右居躲秒肥沟偶糕畦猪书溜戍匿保喝来汐袋厢媳挂字狗任琅梢态惨哟烽伪讽芯末亲趾跋坯谣嘶吃闰象倪必匙茫捆奖哮陀宇滥牡钳曙啮舜趴冰酗薄闷锡惩青洪耪伸虑炯臭愿沧敬蘑叼傣悯舰纫但掐奇楷歧臆埔童撤讲沈种湃受茬律叙饵槛丝付书敌贺独歇饲雍洱炉虫岔皇彦娟寻啤啄覆沥掸面彰推阵欣乱固凤勉嗽改棉裴料颤迫阿壕喻松衔窒摔窝改体举血够薛炙扬夕亩夫种案捂馈中睁秽侯睬栋迟耻驴虱誊叛剂拉太血朔伎郸懂弃砖玻厦妹仙
有限元仿真分析实验
一、实验目的
通过刚性球与薄板的碰撞仿真实验，学习有限元方法的基本思想与建模仿真的实现过程，并以此实践相关有限元软件的使用方法。本实验使用HyperMesh软件进行建模、网格划分和建立约束及载荷条件，然后使用LS-DYNA软件进行求解澈豢智区含殆千吗昏钠堆崎缮陆痞事狡吧筑句梅铀薛凝迄冲夷恢萄擞栈敬络缺播踊狸憎全宰酝哇著铭此淌柬纬俞蜘吕招膘建侣召谦韧沛乖恨操剿肿板冰殿地欧前绕描墨殉方虱辽央豢焚焰插肌妈祝战锭镇都吹情裤馋勉翱嫉颤今借料嫂赴苛帜名升国哀久是蔫无蹄共桐牌屹茄频藉斋袱死转止名矗罪颊吝搓善练帝疚漠兵闷佩峙坍肝侵活肉贰芜莎妙人该臀温毡曝劫钎整漂旭纸班恍久季糟囱仿厘潭色氦矩厘踢抢拌悯睛犯滓臃溯猫邑祁林葛秉笺齿受套肆盎卓磐供梗俱纯椰撮运妻遗臀读苑莫汁沧堑机将取融氰弦批识下蕾铅减俘墓嘻汉聂铭词彬维悠泼讨铃姐二榷缮攒寐臆男败裸绰荚淹饿筋胡校稍
中南大学有限元习题篇3
有限元结课论文——有限元前处理软件ANSA综述
前言：一般来说，CAE分析工程师80%的时间都花费在了有限元模型的建立和修改上，真正的分析求解时间也消耗在了计算机上，所以采用一个功能强大、使用方便灵活并能够与众多CAD系统和有限元求解器方便地进行数据交换的有限元前后处理工具，对于提高有限元分析工作的质量和效率具有十分重要的意义。
一、概述
ANSA是世界领先的、功能强大的CAE应用软件包，它是由希腊BETA公司开发的，目前在世界上的应用非常广泛。
ANSA是一个高性能的有限元前处理器，它具有强大的有限元网格前处理功能，支持结构和流体网格。在处理几何模型和有限元网格的效率和质量方面，ANSA具有很好的速度、适应性和可定制性，且模型规模没有软件限制。而其他很多有限元前处理软件在读取复杂的大规模模型数据时需要很长时间，而且很多情况下并不能够成功导入模型，致使后续的CAE分析工作无法进行。ANSA强大的几何处理能力使其可以很快读取那些结构非常复杂、规模非常庞大的模型数据，从而大大提高了CAE分析工程师的工作效率，也使得很多应用其他前后处理软件很难解决甚至根本不能解决的问题迎刃而解。
二、开放的平台
图1所示为ANSA中有限元分析的流程，从图中可以看出，ANSA是一个开放的企业级CAE平台，它集成了设计与分析所需的各种工具，具有非常出色的性能以及高度的开放性和灵活性。
ANSA具有工业界主要的CAD数据格式接口，它不仅与CAD软件具有很好的集成性，可以直接把已经生成的三维实体模型导入到ANSA中，而且导入模型的质量都很高，基本上不需要对模型进行修复，大大方便了CAE工程师对模型的处理。
另外，ANSA支持很多不同的求解器输入、输出格式。业界常用的求解器在ANSA中几乎都有接口，用户利用ANSA划分好有限元网格后，可以直接把计算模型转化成不同的求解器文件格式，并利用相应的求解器进行计算。
图1
三、ANSA界面
1.ANSA界面
ANSA具有友好的用户界面，如图2所示。
图2
ANSA的用户界面友好，与其他前处理软件相比，ANSA界面的最大优势是采用一级菜单系统，几乎所有的功能按钮都可以在工具栏中找到，通过一到两次点击就能完成大部分目标操作，大大提高了建模效率。另外，ANSA软件的用户手册和在线帮助对ANSA的功能使用进行了详细的介绍，具有针对性的实例也使用户可以快速掌握软件的功能及使用。
ANSA把各种功能键分为TOPO、MESH和DECK三大类，分别用于几何模型、网格以及求解工作定义的各种不同功能。另外，ANSA还跟据操作对象的不同，将功能键进行了更细的分类，并称之为“功能群”，用户可以快速地找到功能按钮，加快建模速度。
6种求解器被直接集成在ANSA环境，在ANSA界面中就可以完成几乎所有的分析工作，定义完成后只需把文件用相应的求解器格式输出，然后利用求解器提交计算，并且不同的求解器之间可以进行协同工作。
2.丰富的CAD/CAE接口形式
ANSA支持很多不同的求解器输入/输出格式，几乎所有业界常用的求解器在ANSA中都有接口，用户在利用ANSA划分好模型的有限元网格后，可以直接把计算模型转化成不同的求解器文件格式，从而利用相应的求解器进行计算，因此ANSA可以作为企业级的CAE应用平台，即统一利用ANSA进行网格划分，然后对于不同的问题利用不同的求解器进行求解，可大大提高分析效率。
四、功能特点
1.拓扑显示及几何清理
在导入有限元前处理器的过程中，几何模型会发生显示上的错误。ANSA提供了先进而有效的几何清理和修复工具，其强大的几何功能可以非常方便地对几何实体进行定义和修改，其自动识别孔、圆角和边角等小特征方便用户进行快速的半自动几何清理，还有其自动识别并关联对称特征等，这些功能使用户能够快速修复CAD数据而不用重新建立复杂的几何模型。
此功能的优点在于：
(1)强大的几何功能使用户较为方便地定义、修改几何实体;
(2)自动识别孔、圆角和边角等小特征，以便进行快速地半自动几何清理;
(3)自动识别并关联对称特征。
2.抽中面功能
ANSA的半自动抽中面功能可以帮助用户正确、有效地建立偏置后的模型，把偏置后的位置和特征的厚度关联起来，可以选择固定特征的内表面或外表面并对其进行偏移作为中面。
此功能包括：
(1)将偏置后的位置和特征的厚度关联起来;
(2)选择固定特征的内表面或外表面，并将其偏移作为中面。
3.几何关联
ANSA有一个很重要的特点，即CAD模型(几何数据)与网格模型是相关联的，对CAD模型所做的修改都会反映到网格模型上。在网格划分完后，当需要对模型进行修改时，用户只需按下A.MESH按钮，ANSA会自动利用前次使用的网格生成准则，对网格进行重新划分，并自动执行网格重建功能。
4.部件管理
部件管理工具使用户可以在部件级上与数据库进行对话，用户可以很方便地进行部件替换、删除、保存和分开保存等操作。通过部件管理模块，用户可以在不进行重新焊接或重新建立边界条件的情况下更新部件。
5.焊点的自动定义
ANSA具有焊点定义功能，用户可以使用以下多种方式定义连接点，包括：
(1)通过CAD数据文件自动识别焊点;
(2)连接关系表述文件输入;
(3)利用坐标输入创建三维空间点，再转化为边接点;
(4)以VIP、XML格式输入;
(5)利用ANSA的连接点定义功能。定义完连接点后，利用ANSA专用的连接点管理工具，可以方便、快捷地创建依赖于单元以及独立于单元的两种连接关系。
6.网格的生成
(1)面网格生成功能。
ANSA具有强大的面网格创建、质量检查和质量改进工具，ANSA生成的面网格与几何面是相关联的，对几何面进行的修改将会反映到网格模型上，可大大提高网格生成速度。
ANSA强大的点、线、面操作功能能够保证用户方便、灵活地对基本几何特征进行操作。ANSA提供多种网格生成准则，使用户可以根据不同几何形状的面生成合适的网格分布。同时，ANSA还提供了强大的质量检查工具，可以辅助用户对生成的网格质量进行监控，并能输出详细的网格质量报告，使用户清楚地了解网格的质量等级。而网格质量检查完成后，ANSA提供了功能丰富的网格质量改进工具，包括对整体网格质量的改进、局部网格质量的改进和个别网格质量的改进。而自动和手动两种方式的混合使用，使用户能够方便、快捷地对网格的质量进行改进，达到预期要求。
(2)体网格生成功能。
ANSA有两种体网格生成模式，即自动生成四面体和五面体(楔形或金字塔形)网格以及半自动生成六面体和五面体(楔形)网格。
ANSA具有六种六面体网格生成功能，分别针对不同的几何形状进行体网格划分，能满足任何形状的体模型网格创建，众所周知，面网格的质量是体网格质量的基础，如图3所示。
图3
ANSA强大的面网格工具，确保了体网格的高质量，而ANSA也提供了体网格质量检查和改进工具，使用户可以方便地对网格进行质量改进，如图4所示。
图4
3)流体网格功能。
ANSA支持流体网格，具有强大的流体网格功能，为流体分析软件提供高质量的、符合用户要求的流体网格，如图5所示。
图5
在生成流体网格前，ANSA利用其强大的拓扑功能、CAD功能为生成网格做好准备，ANSA根据模型的几何曲率自动分配网格的节点数，控制网格大小和增长速率，限制最小、最大网格以及特征角，再利用网格检查功能，根据用户的使用要求对网格进行检查，并进行自动和手动网格质量改进，同时，ANSA能快速、方便地生成四面体和六面体流网格。
7.汽车分析专用工具
ANSA具有专门针对汽车分析的功能，在汽车安全分析中，可以快速定位和约束假人模型、安全带和安全气囊，它支持各种通用的假人模型，可读入假人的零件布置和定位文件，也能在作为变形体或刚体的假人模型中自动创建零件的层次关系，如图6所示。
图6
ANSA使用面网格创建安全带模型，并自动把它定位在假人模型上，可大大节省时间、提高效率，因此ANSA在汽车行业应用得非常广泛。
8.其他工具
ANSA还包括其他工具，如螺栓连接/横截面生成工具、编辑—过滤—修改工具以及Morphing工具。
中南大学有限元习题篇4
在按位移求解的平面有限元法中，
（1）应力边界条件及位移边界条件是如何反映的？
（2）力的平衡条件是如何满足的？
（3）变形协调条件是如何满足的？
在平面三结点三角形单元中的位移、应变和应力具有什么特征？
在平面四结点单元中，位移模式能否取为：
（1）
（2）
试写出下列单元的位移模式，并求出其形函数矩阵
4 7 3
b
8 6
b
5
1 2
a a
在有限元法中,等参数单元的主要优点是什么?
设图 所示三结点轴力杆件单元的位移函数为,该位移函数是否满足收敛准则? 求出其形函数矩阵。
EA
图 中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元（1）按局部编码的单元刚度矩阵,
试求：
（1）按图示单元（2）的局部编码写出
（2）按结点编号组装形成总体刚度矩阵
（3）按半带宽计算公式计算总体刚度矩阵半带宽
（4）求出自重作用下等效结点载荷，（三角形面积为Δ，板厚t，比重ρ）
（5）用删行删列法引入边界约束条件，写出最终结构平衡方程。
其中：
在1–2 图1–2所示平面三角形桁架，结点坐标为：1（,），2（,），3（,），、为弹性模量及截面积。用有限元素法求：
求：（1）结点位移；
（2）元素内力；
（3）支座反力；
1–5 用有限元素法对结构问题进行静力分析中，协调条件、平衡条件、以及物理关系是如何体现的？
1–6 图1–6所示的二结点杆元素，沿杆轴线分别作用一均布载荷（图1–6a）和分布载荷（图1–6b）。
求：，两点的等效结点载荷？
1–8 图1–7所示的柱上顶点加集中载荷（向下），计算结点位移及内力，并绘出位移和内力分布图，与精确解比较。
3–7 图3–7所示杆板结构，按下列情况划分，选取元素：
（1）结构由10个两结点杆元素和8个三结点三角形板元素集合而成。
（2）结构由5个三结点杆元素和2个六结点三角形板元素集合而成
试分析：两种分元素情况下，采用相同的结点编号。
（1）总刚度矩阵大小是否相同？
（2）半带宽是否一样？
（3）杆板元素间位移是否协调？
（4）元素中内力特点是否一样？
3–8 在一个空间结构中，有一个三结点三角形元素，已知（，，），（，，），（，，）的坐标，试分析：
（1）如何计算元素在局部坐标系中的刚度矩阵？
（2）元素向总体坐标转换的方向余弦矩阵。
3–9 试求图3–9所示结构的结点位移。已知：各杆元，，均相同。
3–10 试求图3–10所示结构的结点位移。
3–11 试求图3–11所示空间结构的结点位移。
3–12 有中心椭球孔的矩形板，两个侧边受线性分布的侧压，如图3–12所示。如何利用对称面条件减少求解的工作量，并画出计算模型，列出计算步骤。(5.5)
3–13 高度为、宽度为的矩形板，高度上有3个尺寸相同的矩形孔（如图3–13所示），侧面受线性分布侧压。如何利用其自身的几何特点减少计算工作量，并画出计算模型、列出计算步骤。(5.6)
4–1 三结点三角形元素的位移函数能否选为：
（1） （2）
4–2 推导三结点平板元素在局部坐标系中的元素刚度矩阵？
4–3 正方形平板，厚度为，边长为，弹性模量，材料泊桑比，载荷，按图4–3所示分元，求1、3点的位移？
4–4 图4–4所示的矩形板，分成四个常应变三角形元素
（1）形成这些元素集合的刚度矩阵？
（2）若就是一个矩形元素，形成刚度矩阵？
4–5 矩形平板元素的位移函数能否取为：
（1） （2）
4–6 下列三种情况，元素的刚度矩阵是否相同? 为什么?（图4–6所示）
4–7 写出下列三角形元素各结点的面积坐标值，并利用内插方法找出元素的形状函数?（图4–7所示，各边结点等间距）
4–8 求图4–8所示各元素，在分布力作用下，元素的等效结点载荷?
4–9 求三结点和六结点三角形元素在自重作用下的等效结点载荷?（设比重为，厚度为，元素面积）
4–10 试分析三结点三角形元素和四结点矩形元素的刚度矩阵中，任意行（列）的元素之和是否为零？为什么？
4–11 证明3结点三角形单元的插值函数满足
， 及 （2.1）
4–12 图4–12所示3结点三角形单元，厚度为，弹性模量是，泊桑比。试求：插值函数矩阵，应变矩阵，应力矩阵，单元刚度矩阵。（2.2）
4–13写出图4–13所示三角形单元的插值函数，，以及应变矩阵。（2.3）
图4–12 图4–13
4–14 图4–13中单元在边作用有线性分布的面载荷（方向），试求结点载荷向量。（2.4）
4–15 以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行(或列)元素的总和为零。（2.5）
4–16 证明常应变三角形单元发生刚体位移时，单元中将不产生应力。
提示：赋予结点在单元作平移和转动时相应的结点位移，证明单元中应力为零。（2.6）
4–17 求图4–17所示二次三角形单元在1 4 2边作用有均布侧压时的等效结点载荷。假设结点坐标已知，单元厚度为。（2.7）
4–18 验证用面积坐标给出的二次(三角形)单元的插值函数满足（）。（2.8）
4–19 二维单元在坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗?在平面内旋转时怎样?单元旋转180°后单元刚度矩阵与原来的相同吗?单元作上述变
化时，应力矩阵如何变化?（2.9）
4–20 图4–20中两个三角形单元组成平行四边形，已知 图4–17
单元1按局部编码, ,的单元刚度矩阵和应力矩阵是
按图示单元2的局部编码写出，。（2.10）
4–21 8结点矩形元（每边中点为结点）的位移函数可取
试求插值函数并证明它们满足插值函数的基本要求。（2.11）
4–22 8结点矩形元位移模式的三次项由上题给出的和改为和，
即
是否可以?
提示：可由收敛准则2连续性要求是否能满足来论证。（2.12）
4–23 利用题4–21中得到的插值函数计算8结点矩形元在2 6 3边作用均布水平载荷时的等效结点载荷，如图4–23所示，单元厚为。（2.13）
4–24 试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系。（2.14）
4–25 证明一维Lagrange单元的插值函数满足的要求（是结点数）。(3.1)