下面是小编为大家整理的第十三讲,,二次型标准化,供大家参考。
第十二讲
合同变换与 二次型 的 标准化
教学目的:
1. 介绍合同变换:另一种对角化途径,只用于对称阵; 2. 对“可逆的矩阵变换”做个小结。
3. 介绍二次型及其矩阵形式; 4. 介绍二次型标准化的概念:与合同变换的关系。
教学内容:
第六章:§ 6.4 合同变换; 第七章:§ 7.1
二次型及其标准形; § 7.2
二次型的标准化; 教案提纲:
§ 6.4
合 同 变 换
一、合同变换:
1. 概念:
定义 6.5(又一种特别形式的初等变换)
2. 合同变换的性质:
二、 合同变换 的 实施:
“对称初等变换” 例 例 6.8 ,p.140 。
三、合同标准形:
1. 法律规范形(合同标准形);义 定义 6.6; 2. 惯性指数:惯性定理(理 定理 6.17)→ 定义 6.7; 正交变换 :既是相像变换,也是合同变换,更是初等变换。
小结:四个矩阵变换的比较:
第七章
二
次
型
§ 7.1
二次型及其标准形 一、
二次型:
1. 二次型的概念:(从一般的二元二次方程引入)
定义 7.1:两种写法:(7.1)式、(7.2)式, 系数的对称性设定; 2. 二次型的矩阵形式:与实对称阵的一一对应,“ 二次型的秩”。
(举例、练习:学会函数形式与矩阵形式的互化)。
二、
二次型的标准形:
1. 标准形 (法式)的概念:
由二次曲面的标准方程引入,定义 7.2; 与对角阵的对应;
2. 标准化:与合同变换的对应。
AX X X f ) (
PY X ,使 Y Y APY P Y AX X A
找可逆阵 P ,使 APP 为对角阵
§ 7.2
二次型的标准化 一、 正交变换法:
理论上没有新内容,用示例讲清 实施步骤:
二次型 AX X X f ) ( → A
→ 求特征值 → 求正交的特征向量组(Schmidt 正交化法或添方程法)→ 分别单位化 → 构成正交变换阵 P
→ 验证 AP P AP P1 → 得到标准形 Y Y Y f ) ( (是唯一确定的)。
例:
AX Xxxx x x x x x x x f 212 1 2 12221 2 11 22 14 ) , ( , 3 1 3 21 22 12 E A ,特征值1 21 3 , ,进而得特征向量11112 1p p 、 ,它们已经相互正交,单位化后即得到正交阵1 11 121P 。可对它作两方面验证:一方面, 3 00 16 00 2211 11 1211 22 11 11 1211AP P AP P ;另一方面,将相应的变换 PY X ,即 22112122211211y y xy y x代入原二次型,得 221121221121222112122211214 y y y y y y y y f
212222 2 121 2122 2 121 212 2 2 y y y y y y y y y y
212 12221212222213 00 13 2 2yyy y y y y y y y ; 易见两者的全都性。
作业:p.147 :20 (1 、4 );
p.151 :56 ; p.168 :1 (3 、4 )、2 (3 、4 )、
备例