下面是小编为大家整理的从现象教学谈概念生成（范文推荐）,供大家参考。
从现象教学谈概念的生成 ————以极坐标系为例 作
者：
任晓松
作者简介：
任晓松，江苏省苏州市吴江区教育局教研室.
原发信息：
《中学数学：高中版》(武汉)2020 年第 20208 期 第 9-13页
内容提要：
现象教学通过知识、情景、现象的循环，让学生对现象进行思考而形成对世界的认识，而数学抽象产生的硕果就是形成概念，这是数学教学的核心之处.文章记述了极坐标系一课的教学过程与设计思路，并对教学实践进行了反思.
关
键
词：
现象教学/概念生成/数学抽象/极坐标系/案例分析
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2020 年 11 期
美国著名教育家爱德华兹说过：“教育的伟大目标不只是装饰，应是训练心灵使具备有用的能力，而非填塞前人经验的积累.”课堂教学中教师采用情境教学的方式，能迅速拉近学生与知识的距离，从而提高学生学习的兴趣.但教师对于情境教学的处理，大多是提供对知识的解释，让学生听懂以便于记住，从而认为学生从那里“发现”了知识，这显然是一种误解.
抽象的知识只能生成不能发现，而这正是情境教学所欠缺的.现象教学则通过知识、情景、现象的循环，让学生对现象进行思考而形成对世界的认识，这与 2017 版高中数学课程标准中指出的“三会”是高度一致的.数学抽象产生的硕果就是形成概念，这是数学教学（也是一切教学）的核心之处.
二、课堂实录与设计意图
（一）生活现象引入概念
师：同学们，前面我们学习了平面直角坐标系，它使得平面上的任意一点 P 都有唯一有序实数对（x，y）与之相对应.比如点（2，-1），可否在坐标系中标注出来？
（生上前指出点（2，-1）在平面直角坐标系中的位置.）
师：设想一下，军舰巡逻在北纬 38 度，东经 121 度的黄海海面上，如果你是负责观察雷达的哨兵，现在雷达显示前方有一群水雷，你应如何向军舰通报敌情，确定水雷的位置，以便将它们引爆？
生：如果知道水雷所在的经纬度，便可以确定水雷的位置.
师：这个其实类似于平面直角坐标系的思维方式，经纬度就相当于点坐标.假设水雷的位置是北纬 38.5 度，东经 120.5 度，你能想象两者的相对位置吗？
生：直接想有点困难.但如果我能在地图上把这两个点标注出来，那么我想我可以发现其相对位置.
师：好！图 1 是哨兵观察到的雷达图，你是否有其他方式说出水雷的位置？
生：水雷在军舰北偏西 45°，10 海里的位置上.
师：两种回答，大家觉得哪种更能表现位置的相对性？
生：后者.听到后面的答案，我在头脑中大概可以浮现出水雷的位置.
师：经纬度可以标识位置，而这位同学的回答，显示的是两点相对位置关系的刻画.请同学们思考一些，处理这种位置关系中，我们需要考虑哪些要素？
生：北偏西 45°是考虑水雷相对于军舰方位，10 海里是考虑军舰与水雷之间的距离.
师：在军舰位置确定的情况下，根据方位和距离，水雷的位置是否是唯一确定的？
生：（边比划着图边说）可以的.首先在军舰北偏西 45°这样一条射线上，再往前 10 海里即可发现水雷.
师：为了更好地体会你所说的两个要素，让我们来实际演练一下.请一个同学站定，演示军舰，那么另外一位同学比划位置，演示水雷所在的位置？
（演练过程中，有的同学不知道东西南北，就比较困惑，因为要确定方位必须先要确定“北”，再去转换.有些同学比较口语化，报以左多少
度，也有和钟表类似的，在 10 点和 11 点方向中间.也有同学先考虑北向前 10 海里，再选择方向变化.）
生：首先，我们确定正北方向，然后向正西方向旋转 45°，再往这个方向向前 10 海里，从而确定水雷的位置.
师：好！通过演练，我们进一步明确用方位和距离的两个要素来确定水雷的位置.下面，我们再来看这么一个数学问题.
设计意图：通过雷达显示水雷位置的处理，通过师生互动，揭示两种表示相对位置关系的方式.通过比对，发现新的位置关系与平面直角坐标系的不同，并抽象出与极坐标系关联的方位和距离两个要素.接下来，教师组织学生活动，在活动中发现问题，并通过对问题的分析、引导、处理，进一步加深学生对这两个要素的理解.确定水雷位置教学情景的应用的分析实现对概念的第一次数学化，这是比较感性的.
（二）数学现象深化概念
（投影问题）在平面直角坐标系中，已知点 ，将点 绕原点逆时针旋转 ，得到点 P"，试确定点 P"的位置.
师：大家思考一下，考虑哪些量可以确定点 P"的位置？
生：（思索片刻）点 P 绕原点逆时针旋转，因此点 P"到原点的距离是2.同时由于旋转的角度是 ，故点 P"在一条确定的射线上.
师：点 P"在哪一条确定的射线上呢？能否计算出来？
生：根据点 P 的坐标，我们可以知道∠POx 为 ，那么
师：注意刚才我们说的话“点 P"在一条确定的射线上”，那么根据，这样的射线是唯一确定吗？
生：不是唯一确定的，这样的话，点 P"可以在 x 轴上方，也可以在 x轴下方.
师：那么我们思考、讨论一下，如何用合理的数学语言来表述这种唯一性呢？
（讨论片刻后）
生：可以用题目中旋转的方法，Ox 正半轴绕原点逆时针旋转 形成一条射线，点 P"在就在这条形成的射线上.
师：我们能不能把上面我们所说的再总结一下，如何确定点 P"的位置？
生：可以.由两个方面，一是点 P"和原点的距离是 2，二是射线 OP"是Ox 正半轴绕原点逆时针旋转 所形成的.
师：根据这个能否计算点 P"的直角坐标？
生：可以.根据三角函数的定义，可以知道横坐标为 ，纵坐标为.
师：好！计算结果为 ，这是平面直角坐标系中点 P"的坐标，也就是点 P"的位置，这个位置是通过有序实数对来确定的.但是，刚才在计算点P"的坐标的过程中，我们是通过考虑哪些要素来确定点 P"的位置？
生：旋转的角度和两者的距离.
师：好！上面例子中，如果条件改为点 绕原点逆时针旋转得到点 P"，我们用旋转的角度和距离来分析此时点 P"的位置是多少？
生：距离是不变的，还是 2，角度应该是 .因此，在此题中，点P"到原点的距离是 2，且射线 OP"是 Ox 正半轴绕原点逆时针旋转 所形成的.
师：我们能计算出点 P"的直角坐标，但没有必要，因为通过旋转的角度和两者距离已经可以刻画点 P"的位置，而且显然它是计算点 P"的直角坐标的前提.那么如果条件改为顺时针旋转 呢？
生：（思索片刻）顺时针旋转角度在变小，产生的角度是 .所以，结果为点 P"与原点的距离是 2，且射线 OP"是 Ox 正半轴绕原点逆时针旋转 所形成的.
设计意图：从直角坐标系中的一点绕原点旋转来设计问题情景，教师从该数学现象中，围绕着距离和旋转的角度，特别是后者组织教学引导，逐步进行思维迁移.在此教学过程中，将极坐标系的两个重要要素——距离
和旋转的角度引导学生自己提炼出来，该生成过程实现对概念的第二次数学化，这里是理性的.
（三）数学抽象生成概念
师：我们知道，平面直角坐标系构成的要素是原点，相互垂直的带有正方向的坐标轴 x 轴、y 轴，以及单位距离.而今天我们要学习的新坐标系：极坐标系，其要素是角度和距离.同学们一起商量一下，对于极坐标系，我们需要怎样的构成要素？
（讨论片刻后）
生：我觉得，肯定是需要在平面上确定一个定点的，这样才可以确定某个点到此定点的距离.此外，还需要单位距离，这样我们才可以度量这两点间的距离.
生：前面的问题中，水雷中用的是方位角，确定点 P"位置的问题用的是旋转.而角是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.因此角度的确定可以由一条射线绕着它的端点旋转来确定.
师：根据刚才的分析，我们归纳一下极坐标系构成所需要的要素？
生：射线的端点可以和距离中需要的定点相重合.这样，加上单位距离，就可以确定某个点到定点之间的距离.找到射线绕着它的端点旋转所得的终边，经过那个点所需的角度，便可确定角度.因此，构成极坐标系所需的要素为：射线、单位距离和角度.
师：还有同学要补充吗？
生：距离都是非负的，但角度是有正、有负的.在定义角的时候，逆时针方向转动产生的是正角，顺时针方向转动产生的是负角，这两者是不一样的，因此我考虑应该再加上角度正方向这个要素.
师：从射线绕着它的端点旋转，明确正方向，便可确定角度的值.因此，正如同学们归纳的，构成极坐标系构成所需的要素为：射线、单位距离和计算角度的正方向.
叙述并板书极坐标系的概念.（略）
设计意图：通过对前面的两个情景的引导、归纳、生成，学生逐步从“方位和距离”两个要素的认识提升为“距离和旋转”，为极坐标概念的生成做了极好的铺垫.接下去，类比平面直角坐标系构成，并结合旋转所需角的概念，构成极坐标系所需的要素：射线、单位距离和计算角度的正方向，就水到渠成在学生思维中生成了.
（四）数学应用完善概念
师：请同学们写出图 3 中各点的极坐标.
生：
师：上述的这些点还有其他表示形式吗？我们以点 G 为例.
师：好！大家思考一下，点 G 能表示不同形式的原因是什么？
生：考虑点 G 极坐标，必须考虑距离和旋转角度，距离显然为 3，而旋转角度其实就是射线 OG 的终边，而终边角的表示为 ，它是不唯一的.
师：在平面直角坐标系中，我们知道点与坐标是一一对应的，而根据刚才的分析，在极坐标中，点的坐标的呈现是多样性的.同学们能否思考探讨一下，如何规定才能在极坐标系中，建立点与坐标的一一对应关系？
（学生思考、讨论、整理）
生：在极坐标中，点的坐标的呈现是多样性的，原因在于通过旋转产生的角，终边每过 2π会重复出现.反过来，与角θ终边相同的角有无数个，可表示为 2kπ+θ（k∈Z），故点要表示唯一坐标，必须将角度限制在一个旋转周期内，0≤θ＜2π，而极径是非负的，故ρ≥0，满足这两个条件，在极坐标中，点与坐标就是一一对应的.补充一下，θ的范围可以是 2π≤θ＜4π，-2π＜θ≤0 也可以，只要在一个旋转周期内都可以.
师：好！我们一般规定ρ≥0，0≤θ＜2π，但大家仔细再思考一下，在这个范围内，是否所有点都和坐标是一一对应关系呢？
生：极点不行，（0，0）是极点， 也是极点，甚至（0，θ），0≤θ＜2π，都可以表示极点.
师：所以，在极坐标中，上述条件表示的一一对应关系，还应该加一句话，除极点外.
师：前面我们在研究极坐标概念的时候，为方便思考，用点 P 到极点O 的距离来表示极径ρ，那么ρ≥0.但是从坐标来说，ρ可取负值，同学们讨论一下， 是否有意义，如果有意义，它表示哪个点？
在讨论的过程中，有些学生坚持认为极径ρ是距离，它就必须是正的，因此上述坐标无意义.有些学生受直角坐标系启发，负数表示正数的反方向，故负号表示反方向.而另外一些同学则从有向线段的数量上去解释，假如 2 表示有向线段 OB 的数量，那么-2 的意义就是在其反向延长线上.
生：假如我们认为 有意义，那么它的位置和点 B 关于极点对称.
师：好，有时为了方便研究，极径ρ可以取负.考虑极坐标的多样性，（ρ，θ）还可以表示为什么？
生：（ρ，θ）还可以表示为（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）或（-ρ，2kπ+π+θ）（k∈Z），它们都表示同一个坐标.
师：上述分析，我们可以清楚，在没有特别约定的情况下，平面上的点和它的极坐标不是一一对应的关系.
设计意图：通过具体例子让学生去写出点的极坐标，了解点的表示的不唯一性，并理解点的不唯一性产生的原因，从而去约定角的范围，建立在极坐标中点与坐标的一一对应关系.从某个极径为负值点坐标引导学生讨论，引入负极径，理解用负极径去表示点的合理性.极坐标的表示方法多样性，它是和平面直角坐标中点与坐标的一一对应截然不同的，也是学生学习和理解极坐标的困惑点，通过实例引导、感受、发现，逐步让学生完善极坐标的概念.
三、教学回顾与感悟
（一）现象激发思维，挖掘概念要素
现象教学指出，“让学生保持兴趣的方法，就是让他们从数学活动中获得利益，这不是指物质上的而是指精神上的，是指他自己能力的发展与进步”.现象是激发学生思考的一个有效的载体，在概念教学中，应用的现象必须是促进概念生成的，贴近生活实际、基于学生经验的，这样就能提升学生发现问题、提出问题的能力.水雷引爆是一个情境，学生也比较熟悉，用一张具体的图可以让学生得到“水雷在军舰北偏西 45°，10 海里”，从而让学生从距离和方位角度来思考相对位置关系，而这正是形成极坐标概念的两个关键点.从现象切入，引发学生思考，这是现象教学最为本质的特点，而贴近生活、切入点低可让学生更自然地进入教学，从而逐步展开思维.确定点 P"的位置不是传统意义上的情境，它是一个数学问题，其实它也是一个数学现象.2017 版课程标准指出，“高中数学教学创设合理的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质”.确定点 P"的位置的教学设计，就是基于此来设计的.在这一问题的处理过程中，学生的思维从方位引导到旋转产生角度的变化，为极坐标概念的生成，进一步做好铺垫.
概念的生成，是一个数学抽象的过程，选择合适的现象，并在现象的分析、思考中，把概念的要素逐步挖掘、剥离出来，让学生感受到概念的由来，这样才能让学生更好地感受数学的本质.在概念教学中，我们要让学生学会思考，师生对话、生生对话能够更好地促进思维发展，从而让学生
经历概念发现、生成的过程，从而激发学生数学学习的兴趣和主动性.数学抽象一定有其现实基础，可以是生活现实，也可以是数学现实，后者是强调抽象，也是数学化和数学建模的高级阶段.
（二）重视整体处理，引导概念生成
2017 版课程标准提出主题教学的观点，就是要重视知识内容之间的相互关联，从而使知识迁移，更好地激发学生思维.确定点 P"的位置问题的解答，表面上看是一个平面直角坐标系中求解点坐标的问题，实际上在解答的过程中，学生在寻找距离和旋转所产生的角度变化，而这正是极坐标系概念生成的两个核心要素.学生在思考的过程中，能感受到两种坐标系的相同之处，都是二维坐标系，坐标都是用有序实数对表示，同时也能感受到它...
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