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《信号检测与估计》模拟试卷 01 参考答案 一、（10 分）名词解释（每小题 2 分）
1．匹配滤波器
2．多重信号
3．序列检测
4．非参量检测
5．最佳线性滤波 答：
1．匹配滤波器：在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。（2 分）
2．多重信号：由多个在不同时间间隔内的信号顺序组成的信号，并且各个信号携带着同样的信息，各个信号的持续时间间隔相同。（2 分）
3．序列检测：观测次数（观测样本数）或观测时间不是事先不规定的，而是根据观测过程中实际判决情况来决定的信号检测。（2 分）
4．非参量检测：在噪声概率密度未知或噪声概率密度部分已知的情况下，采用采样单元与邻近采样单元相比较的方法实施的信号检测。（2 分）
5．最佳线性滤波：是以最小均方误差为最佳准则的线性滤波。（2 分）
二、（10 分）简述二元确知信号检测应用贝叶斯、最大后验概率、极大极小、纽曼-皮尔逊及最大似然准则的条件及确定门限的方法。
答：
（1）贝叶斯准则的应用条件：似然函数、假设的先验概率和各个代价因子已知。（1 分）
贝叶斯准则的门限为) )( () )( (11 01 100 10 00c c H Pc c H P
（1 分）
（2）最大后验概率准则的应用条件：似然函数和假设的先验概率已知，各个代价因子未知。（1 分）
最大后验概率准则的门限为) () (100H PH P
（1 分）
（3）极大极小化准则的应用条件：似然函数和各个代价因子已知，假设的先验概率未知。（1分）
极 大 极 小 化 准 则 的 门 限 由M FP c c c P c c c ) ( ) (11 01 11 00 10 00 和) )]( ( 1 [) )( (11 01 000 10 00c c H Pc c H PΛ 确定。
（1 分）
（4）纽曼-皮尔逊准则的应用条件：似然函数和虚警概率已知，假设的先验概率和各个代价因子未知。（1 分）
最大后验概率准则的门限由虚警概率0d ) ) ( ( ) | (0 0 1Λx |H x Λ p H D P 的积分界0 确定。（1分）
（5）最大似然准则的应用条件：似然函数已知，假设的先验概率和各个代价因子未知。（1分）
最大似然准则的门限为 10
（1 分）
三、（10 分）简述信号参量估计的贝叶斯估计、最大后验估计、最大似然估计、线性最小均方误差估计及最小二乘估计的最佳准则及应用条件。
答：
（1）贝叶斯估计的最佳准则：使贝叶斯风险最小。其应用条件：似然函数、代价函数和待估计参量的先验概率密度函数已知。（2 分）
（2）最大后验估计的最佳准则：使后验概率最大。其应用条件：似然函数和待估计参量的先验概率密度函数已知，代价函数未知。（2 分）
（3）最大似然估计的最佳准则：使似然函数最大。其应用条件：似然函数已知，待估计参量的先验概率密度函数和代价函数未知。（2 分）
（4）线性最小均方误差估计的最佳准则：使线性均方误差最小。观测信号和待估计参量的一、二阶统计矩已知。似然函数、代价函数和待估计参量的先验概率密度函数未知。（2 分）
（5）最小二乘估计的最佳准则：使观测值与观测信号估值之差平方最小。不需要事先知道任何概率假设。只需已知观测信号模型。（2 分）
四、（10 分）概述高斯白噪声情况下的信号检测和高斯色噪声情况下信号检测所采用方法的特点。
答：
（1）高斯白噪声情况下，按照采样定理，可对观测信号进行等间隔采样，各采样点值是统计独立的。接收信号的似然函数等于各采样点概率密度的乘积。高斯白噪声情况下，也可以采用卡亨南-洛维展开方法。（4 分）
（2）在色噪声情况下，再按照采样定理对观测信号直接均匀采样，无法达到各样点值是统计独立的。卡亨南-洛维展开（K-L 展开），能在[0,T]时间内将观测信号展开成一个特殊级数，其系数是不相关的，而且系数的方差等于其各自本征值。由于系数是高斯变量，也是独立的，便于将这些统计独立的系数作为接收信号的样本写出似然函数的具体形式构成似然比检测。（6 分）
五、（10 分）设线性滤波器的输入为 ) ( ) ( ) ( t n t s t x ，其中 ) (t n 是功率谱密度为 2 /0N 的白噪声，信号为 00, 0 00) (t tt tt s
对输入 ) (t x 的观测时间为 ) , 0 ( T ，且0 T 。（1）试求匹配滤波器的冲激响应及对应于 ) (t s 的输出信号。（2）求匹配滤波器输出的信噪比。
解：
（1）与输入信号 ) (t s 对应的白噪声背景下匹配滤波器的冲激响应为 T t T tT t T t Tt T s t h, 0) ( ) (00
（1 分）
对应于 ) (t s 的匹配滤波器的输出信号 ) (0t s 是输入信号 ) (t s 与冲激响应 ) (t h 的卷积，即 d ) ( ) ( d ) ( ) ( ) (0T s t s h t s t s
（1 分）
当0 T t 时， 0 ) (0 t s 。
（1 分）
当 T t T 0 时， 20 0 0) )( 2 (61) ( T t t T t s
（2 分）
当0 T t T 时， 20 0 0) )( 2 (61) ( t T T t t s
（2 分）
当0 T t 时， 0 ) (0 t s 。
（1 分）
（2）输入信号的能量为 002 2d d ) (t t t t s E3031
（1 分）
这样，匹配滤波器输出的信噪比为 030032 2SNRN NE
（1 分）
六、（10 分）一个三元通信系统的接收机观测到的样本为 n s xi ， 3 , 2 , 1 i 。其中，is 是发射信号， n 是均值为 0、方差为的2 高斯白噪声。is 取值分别为 5、6 和 7，分别对应假设1H 、2H 和3H ，并且所有假设的先验概率相等。根据一次观测样本进行检测判决，（1）确定检测判决式和判决区域；（2）求最小平均错误概率。
解：
（1）在假设iH 下，观测样本 x 的似然函数为 3 , 2 , 12) (expπ 21) | (22 is xH x pii
（1 分）
其中， 51 s ， 62 s ， 73 s 。
根据题意，此题最大似然检测与最大后验概率检测或最小错误概率检测等价。那个假设iH 的似然函数 ) | (iH x P 最大，就判断那个假设iH 为真。
（1 分）
选择 ) | (iH x P 的最大值等效于选择2) (is x 的最小值，则检测判断为：对应2) (is x 最小的假设iH 为真。
（1 分）
假设1H 成立的检测判决式为 2 2) 6 ( ) 5 ( x x ，2 2) 7 ( ) 5 ( x x
（1 分）
假设1H 成立的判决域1 为 5 . 5 x 。
假设2H 成立的检测判决式为 2 2) 5 ( ) 6 ( x x ，2 2) 7 ( ) 6 ( x x
（1 分）
假设2H 成立的判决域2 为 5 . 6 5 . 5 x 。
假设3H 成立的检测判决式为 2 2) 5 ( ) 7 ( x x ，2 2) 6 ( ) 7 ( x x
（1 分）
假设3H 成立的判决域3 为 5 . 6 x 。
检测统计量 x 在各假设下的条件概率密度 ) | (iH x P 均是高斯的，其方差为2 ，均值分别是5、6 和 7。检测统计量 x 在各假设下的条件概率密度 ) | (iH x P 及判决区域i ，如题图 6 所示。
（2）最小平均错误概率 5 . 635 . 625 . 525 . 51 ed ) | (31d ) | (31d ) | (31d ) | (31x H x p x H x p x H x p x H x p P
5 . 03131 5 . 031 5 . 03131 5 . 031Q Q Q Q
5 . 034 5 . 03232 5 . 032Q Q Q
（2 分）
（2 分）
七、（10 分）在 T t 0 时间范围内，二元通信系统发送的二元信号为 0 ) (0 t s ， ) ( ) (1t As t s ，其中， ) (t s 是能量归一化确知信号； A 是正的确知常量，并假定发送两种信号的先验概率相等。信号在信道传输中叠加了均值为 0、功率谱密度为 2 /0N 的高斯白噪声 ) (t n 。（1）试确定信号最佳检测的判决式。（2）画出最佳检测系统的结构。
解：
（1）根据题意，二元信号检测的假设为 ) ( ) ( :0t n t x H
（1 分）
) ( ) ( ) ( :1 1t n t As t x H
（1 分）
在假设0H 和假设1H 下，接收信号 ) (t x 的似然函数为 Tt t xNF H x p0200d ) (1exp ) | (
（1 分）
Tt t As t xNF H x p0201d ) ( ) (1exp ) | (
（1 分）
式中：
F 为一常数。
由于信号 ) (t s 是能量归一化的，则有202 202 2d ) ( d ) ( A t t s A t t s AT T 。
接收信号 ) (t x 的似然比为 T Tt t xNt t As t xN H x pH x px Λ020020 01d ) (1d ) ( ) (1exp) | () | () (
T Tt t s ANt t s t AxN02 2000d ) (1d ) ( ) (2exp
（1 分）
采用最小平均错误概率准则。因为先验概率 ) ( ) (1 0H P H P ，故检测门限 10 Λ 。则最小平均错误概率检测判决式为 1 d ) (1d ) ( ) (2exp ) (01002 2000 Λ t t s ANt t s t AxNxHHT T
（1 分）
两边取对数并化简，得到检测判决式为 题图 6
检测统计量 x 在各假设下的概率密度和判决区域示意图
x 7 5 . 6 6 5 . 55) | (iH x p ) | (1H x p ) | (2H x p ) | (3H x p0123
210021d ) ( ) ( A t t s t xHHT
（1 分）
式中：
2 /2A 为判决门限。
（2）最佳检测系统的结构如题图 7 所示。
（3 分）
八、（15 分）设观测方程为k kn b a x ， M k , , 2 , 1 ，其中 a 和 b 是非随机参量，kn 是均值为 0、方差为 1 的高斯随机变量，且观测样本Mx x x , , ,2 1 之间互不相关。（1）试求参量 a 和 b的最大似然估计MLâ和MLˆb ；（2）分析最大似然估计MLâ和MLˆb 的有效性。
解：
（1）由于kn 是均值为 0、方差为 1 的高斯随机变量，其概率密度函数为 2expπ 21) (2kknn p
（1 分）
由于k kn b a x ，则kx 也是高斯随机变量，其似然函数为 ba xbb a x pk2) (expπ 21) , | (2
（2 分）
其均值为 a x Ek ] [ ，方差为 b a x Ek ] ) [(2。
将 M 次观测样本Mx x x , , ,2 1 表示为随机观测向量T2 1] , , , [Mx x x x ，因为观测样本Mx x x , , ,2 1 之间相互统计独立，在以参量 a 和 b 为条件下，观测向量的似然函数为观测信号样本Mx x x , , ,2 1 的联合概率密度，即 Mkk Mb a x p b a x x x p b a p12 1) , | ( ) , | , , , ( ) , | ( x
Mkk Mba xb122 /2) (exp ) 2π (
（2 分）
对数似然函数为 Mkkba xbMb a p122) () 2π ln(2) , | ( ln x
对数似然函数分别对 a 和 b 求偏导，并令结果等于 0，得到 0 ) (1 ) , | ( ln1 Mkka xb ab a p x
（1 分）
02) (21 ) , | ( ln122 bMa xb bb a pMkkx
（1 分）
将上述 2 式联立求解，得到 a 和 b 的最大似然估计分别为 MkkxMa1ML1ˆ
（1 分）
题图 7
最佳检测系统结构图 ) (t xT0) (t s1H0H判决 判决 00
Mkka xMb12ML ML) ˆ (1ˆ
（1 分）
（2）最大似然估计MLâ的均值为
a x EMxME a EMkkMkk 1 1ML] [1 1] ˆ [
（1 分）
故最大似然估计MLâ是无偏估计。
对数似然函数对 a 的导数为 Ma xba xb ab a pMkkMkk1 11) (1 ) , | ( ln x ) ˆ ( ) ˆ (1ML MLa abMMa a Mb
（1 分）
式中：
b M / 就是 ) (a K ，故最大似然估计MLâ是有效估计量，MLâ的均方误差等于克拉美-罗下限，即为
222ML) , | ( ln1] ) ˆ [(ab a pEa a ExMb
（1 分）
最大似然估计MLˆb 的均值为
MkkMkka a a x EMa xME b E12ML12ML ML} )] ˆ ( ) {[(1) ˆ (1]ˆ[
Mkka a a xMEMbb1ML) ˆ )( (12
] ) ˆ [( 22MLa a EMbb
Mb MMbbMbMbb) 1 ( 2
（1 分）
故最大似然估计MLˆb 是有偏估计。
当 M 足够大时，使 1 / ) 1 ( M M ，则最大似然估计MLˆb 的均值为 b ，故最大似然估计MLˆb是渐进无偏估计。
对数似然函数对 b 的导数为 bMa xb bb a pMkk2) (21 ) , | ( ln122 x )ˆ(2 2ˆ2ML2 2ML2b bbMbMbbbM
式中：
) 2 /(2b M 就是 ) (b K ，故最大似然估计MLˆb 是渐进有效估计量。
（1 分）
由于MLˆb 是渐进无偏的有效估计量，MLˆb 的均方误差等于克拉美-罗下限，即为
222ML) , | ( ln1] )ˆ[(bb a pEb b ExMb 2 2
（1 分）
九、（15 分）设目标以匀速度 v 从原点开始做直线运动，速度 v 受到时变噪声kw 扰动。现以等时间间隙 T 对目标的距离 r 进行直接测量，并且距离 r 测量受到测距的观测噪声kn 的影响。假设在
0 t 时刻开始，目标位于原点，观测时间间隔 s 2 T 。目标在原点时，距离0r 的均值km 0 ] [0 r E ， 方 差 为2 20) km ( 2 r ； 速 度0v 的 均 值 km/s 3 . 0 ] [0 v E ， 方 差 为2 20) km/s ( 2 . 0 v 。速度扰动噪声kw 是均值为 0、方差为2 2) km/s ( 2 . 0 w 的白噪声随机序列。观测噪声kn 是均值为 0、方差为2 2) km ( 8 . 0 n 的白噪声随机序列，且与速度扰动噪声kw 不相关。速度扰动噪声kw 、观测噪声kn 与目标初始状态 ) , (0 0v r 彼此互不相关。如果运动目标距离的首次测量数据为 km 66 . 01 x ，（1）试建立运动目标的状态方程和观测方程；（2）试求 1 k 时刻的卡尔曼滤波、滤波误差协方差矩阵及对 2 k 时刻的状态预测值。
解：
（1）根据目标的运动规律，并考虑到速度 v 受到时变噪声kw 扰动，可以写出关于目标距离 r和速度 v 的方程如下：
1 1 k k kTv r r
1 1 k k k...