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概念教学重在揭示其本质属性 ————“对数的概念”教学片段与反思 作
者：
何明
作者简介：
何明，江苏省海安县教育局研究室（226600）.
原发信息：
《中学数学月刊》(苏州)2013 年第 12 期 第 18-20 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2014 年 02 期
2013 年 9 月下旬，笔者参加了在无锡市辅仁高级中学举行的江苏省青年数学教师优秀课观摩和评比活动，并在活动中开设“对数的概念”公开课，笔者在揭示概念的内涵和本质属性方面做了一些尝试.
一、基本情况
1.学情分析
学生来自江苏省四星级高中高一普通班.他们基础扎实，思维活跃，进入高中阶段学习一个月左右，已基本适应高中的学习生活.学习能力，尤其是自学能力，在不断提高.他们不仅有很强的模仿能力，也具备了一定的类比和迁移能力，还有一些创新意识，为学习本课内容奠定了基础.
2.教材分析
对数概念对高一学生来说是全新的内容，它是指数和指数函数的延续，是对数函数的铺垫，它还是一种新运算.如果把本节内容看得十分简
单，通过强行记忆概念，强化题型训练，也能完成教学任务，但这样就失去了对学生的数学素养提高的绝佳素材，因为对数定义的内涵丰富，对概念本质属性的挖掘可以培养学生数学学习、研究的习惯和方法.
教学目标：（1）理解对数的概念；能利用定义进行对数式与指数式的互化，求一些特殊的对数值；（2）了解数学中符号引入的必要性和简洁性，进一步理解数学表达的多样性及其作用；（3）了解数学的新概念、新运算源于生活或实际，并服务于生活实际.
教学重点：对数概念的形成，对数定义的理解与应用.
教学难点：对数概念本质属性的深刻理解.
二、教学片段
1.情境铺垫，引入概念
师：同学们，我们已经学过指数和指数函数，大家知道 的大约结果吗？
生：结果大约为 37.8.
师：对！（展示结果（数字励志公式）
≈37.78）
师：在人生的路程中，每天进步一点点，积少成多，假以时日，会有巨大的飞跃.“一点点进步”多少天后，能够达到 20？大家一定能提炼成一个数学问题！
生：即求满足 =20 中的 x.
生：还可以更一般：在等式中， =N（a＞0，且 a≠1）已知 a 和N，求 b.
2.归纳提炼，形成概念
师：老师告诉大家，这是一种新运算，叫做对数运算.而且，在=8 中，我们称 3 是以 2 为底 8 的对数；在 =7 中，我们称 x 是以 2为底 7 的对数.同学们能否根据刚才的讨论，给出这个新概念的定义？（课前师生已约定，暂不打开教科书）
活动 1 自发讨论，讨论后，多数学生举手发言.
生：如果 =N，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数.
师：很好！底数 a 的范围要写出，即 a＞0 且 a≠1.
（课件分步显示：如果 a（a＞0，a≠1）的 b 次幂等于 N，即=N（a＞0，a≠1），那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数.记作 其中，a叫做对数的底数，N 叫做真数.）
3.反复揣摩，剖析概念
活动 2 阅读课本，讨论、分析定义.
师：请大家谈谈对对数定义的认识.
生：定义的是一种运算.
师：怎么样的一种运算？叫什么运算？
生：一种在指数式中，已知底数和幂求指数的运算，叫做对数运算.
生：
=N 和 等价.
师：对！若 a＞0，a≠1，则 =N 和 所表示的是同一个事实，即 =N 和 是一件事的两种说法，亦即 = =b（板书：等价）.这种“等价”我们过去有过接触，如
课件展示两种形式的等式中各字母的名称及取值范围：
师：上表中的真数 N＞0 告诉我们什么？
生：负数和零没有对数.
师：定义中还给出了什么？
生：定义中给出了一个新符号，用指数式中的底数和幂表示指数的记号.
师：对数的英文为 logarithm，选取前三个字母加上底数和真数的组合作为对数符号.在引入一个新的数学概念后，往往需要一个新符号“辅佐”，这是数学的特性，我们学过的开方运算引入后，随之就引入开方符号“ ，如 .
师：“ ”读作“以 a 为底 N 的对数”.其书写要注意大小、比例和位置，用八字概括：底小真大，底低真正.
课件展示 在四线三格中，印刷体和手写体的对数符号.
活动 3 写对数符号.每位同学认真、规范书写四个对数式，同桌对照，要求互相检查、纠正.
4.实际应用，巩固概念
活动 4 将同桌书写的四个对数式改写为指数式，再互相检查、纠正.
活动 5 将下列对数式改写为指数式，指数式改写为对数式：
学生完成速度很快，通过比对，正确率很高.
活动 6 利用定义求下列对数的值：
师：大家有何想法？
生：若真数为 1，则对数为 0；若真数等于底数，则对数为 1.
师：好！可简述为“1 的对数等于 0，底的对数等于 1”.请自己写下这个结论的符号表示.（学生都能写出：若 a＞0，a≠1，则 ）
师：上述结论的正确性毋庸置疑，这两个恒等式是用什么方法得到的？
生：结论是从两个具体的对数值都为 0 或 1，通过猜想、证明得到的，叫“由特殊到一般”.
师：很好！这是数学中很常用也很重要的推理方法——归纳.但要注意，归纳得出的结论不一定都正确.另外，数学研究习惯于研究“变化之中的不变”，上述两个结论实际上是无数个等式，即无论底数在规定的范围内如何变化，但结果不变.
我们继续求值：
师：回看（5）（6）两小题中的对数有个性特征吗？
生：特征为：真数可写成幂，且幂的底数等于对数的底数；结果为：幂的指数.
师：请大家用符号表示该结论.（学生完成，教师板书：若 a＞0，a≠1，则 ）
师：结论还是由归纳得出的，你们能确认正确吗？
师：后一种方法可迁移吗？或者说由方法 2 你能想到什么？
活动 7 求下列各式的值
（学生先练，一些学生在完成（2）时出现错误，在看到（3）时，自行修改了）
5.反思过往，提升素养
师：现在与四十分钟前相比，你有哪些进步？有哪些感悟？
（学生间低声交流）
生：学习了一个新概念——对数，还得到了一些结论.
生：对数的定义中包含三个“一”：一则运算；一类等价；一个符号.
生：要充分利用定义解题.
生：接触了归纳法，很有用，用该法发现了好多规律.
师：大家说得都比较好，我来做简要的提炼：核心内容——对数的定义及其应用；大家经历的过程很值得回味：①新概念的产生源于实际需求和运算需要；②对数定义的内涵很丰富，同学们已作了总结；③利用定义是解题的重要方法之一；④四个等式并不只是四个，每个都代表无数个等式，这就是数学的魅力，也是数学研究的习惯：研究变化问题中不变的性质和数量，即“动中求定”.希望同学们课后慢慢品味，渐渐关注.
作业为：（1）复习教科书中本节内容，完成教科书中相应练习；（2）回顾学习指数概念后研究的话题，揣摩对数概念的后续学习内容，建议仿照指数相应内容，利用对数定义，作类比和迁移.
三、回顾与反思
1.设计意图
·导入须激趣启智
创设问题情境，导入新知，目的是激趣、引疑、启智，其功能是使旧知识与新任务之间的过渡自然，衔接顺畅.
从“数字励志公式”—— ≈37.78 导入.这样设计是因为该问题具有：①针对性.这是因为它与教学内容相关联，也与学生的年龄特点、心理状态和知识能力相适配，还能实现数学课堂教学的教育性.②新颖性.此引
例的意图也是给学生耳目一新的“新异刺激”，出奇制胜.③趣味性.从问“大家知道 的大约结果吗？”起，学生就很感兴趣.通过此环节，调剂了课堂教学的节奏和气氛.④简洁性.导入话题忌大、忌偏、忌难、忌繁，教者试图用最短的时间和最少的话语，缩短师生距离，缩短学生与教学内容的距离.
·剖析宜循序渐进
（1）学生呈现概念
由学生说定义，很难！但如果作适当铺垫，会水到渠成.教者的“在=8 中，我们称 3 是以 2 为底 8 的对数；在 =7 中，我们称 x 是以 2 为底 7 的对数”就是给学生很好的示范，学生讨论后，就顺利地得到对数的定义.
数学课堂教学中，学生的主体地位无疑要凸显，但在概念课中，教师的主导起着重要作用.因此，教师的示范、诱导必不可少，这样可以调动学生自主讨论、研究，促其旧知与新知相互作用，形成概念.
（2）分层挖掘定义
对数定义的本质属性体现了三个关键词：运算，等价，记号.对它们的揭示应是本课的重中之重，对概念本质属性的揭示也是概念教学必须遵循和坚持的.
在导入新课时，教师故意透露“运算”，希望学生在分析定义时领悟.对数运算是一则新运算，要让学生经历困惑、无助阶段，再在老师的教导下，才能感觉运算生成的必要.
指数式和对数式的等价，这是定义的核心，是本节课的重点，它蕴含化归与转化的数学思想，为解决本节课中所有问题提供依据.
新概念下一般需要引入新符号，教者试图通过 帮助学生理解对数符号引入的必要性和优越性.同时，在课堂上留时间让学生规范书写新符号.
这一环节是让学生听、说、读、写、译.
（3）练习巩固新知
本节课的重点是理解对数的概念，并能利用定义解决一些简单的对数问题.无论是指数式和对数式的互化，还是简单对数求值，包括几个结论的得到，应该围绕“用定义解题”和“通过解题理解定义”两大主题.在求时，若学生不能提供方法 2，那么教者会将此法介绍给学生，这种方法也是利用定义，是解决求对数值的“通法”，其过程是：设对数式—化指数式—寻求同底—指数相等（指数函数性质），得对数值.
（4）探究提炼结论
本节课的几个结论都是让学生经历“再发现”，通过设计特征明显的特例，方便学生产生猜想，继而轻松证明猜想的正确性.这样做的目的是使学生通过简单知识的学习，养成学习数学的习惯，逐步掌握研究数学问题的方法.
结论的证明方法就是利用对数的定义，特别是 的证明比较特殊，是将定义中等价的两个式子分别代入彼此所得
·结课要耐人寻味
常言“善始善终”，开头良好，坚实起步，成功一半；结尾精彩，画龙点睛，意味深长.
本节课，笔者放弃常用对数和自然对数的介绍，主要是考虑到在临近下课时段，学习两个重要对数，会分散学生注意力，对结课效果会有所影响.
笔者对结课的主张是：主体优先，彼此完善.知识回顾，更重过程.强化知能，素养为上.本节课，数学素养体现在：讨论问题时，重视定义，关注存在条件；认识问题时，挖掘内涵，揭本质属性；观察问题时，抓住特例，作一般推测.在结课时，对课堂上这些精彩环节的回顾，一定是对学生的数学学习、终生学习大有裨益.
2.教学反思
（1）概念教学要挖掘、揭示其本质属性
·创设情境，领会概念生成的必然性
一个新概念的形成，必须经过感性认识的反复.如何建立学生的感性认识，需要教师在教学设计时创设恰当的情境，激趣启智，让学生思维自然过渡，以达水到渠成之功效.
本节课从“数字励志公式”到“在等式 =N（a＞0，a≠1）中，已知 a 和 N，求 b”，形成问题链，从特殊到一般，从实例到数学，步步深入，提出新问题.如何解决？教师适时引导，概念的生成自然、必然.
·逐句分析，领悟概念内涵的重要性
概念的内涵是反映在概念中的对象的本质属性或特有属性.受到启示后的学生能顺利模仿说出对数的定义，完善定义后的任务就是解读定义.“逐句分析”、“咬文嚼字”是常用方法，通过对“运算”、“等价”、“记号”等关键词的审读、剖析，让学生深入领悟对数概念的重要内涵.
·反复应用，领略概念建立的优越性
对数是一个基本概念，越是基本的概念，它所反映事物的联系就越深刻，应用就越广泛.
围绕定义中的“等价”进行指数式和对数式的“互化”，围绕定义的“运算”求对数值，在所有应用中，训练学生的规范书写.最后两个活动通过特例启迪，学生讨论探究，让其再发现，得到若干个结论，使学生领略对数的优越性.
（2）课堂小结要高于知能层面
知识罗列是当下数学课堂教学小结的“范式”，实为通病.笔者认为，要关注以下几点：
·梳理过程
学生自主回顾一节课的流程，这是常规动作，教师要留白，给时空.梳理过程就是知识和技能总结的过程，也是提炼方法和总结规律的准备过程.
·提炼方法
这里所述方法，有两种：①一类题目的解题方法，如本课中的“利用定义”的解题方法；②研究和解决数学问题的策略，如本课中“特殊到一般”的归纳法.特别是后者，它对解决其他数学问题都可借鉴，必须重视.
·总结规律
规律，说得通俗一点，就是那种适用范围在两处或两处以上的结论.规律客观存在，需要挖掘、总结，方可推广使用.本课中的四个结论、利用定义解题、探究“动中求定”等，都是要让学生领悟和逐步掌握的规律.
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