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卢希，硕士研究生，主要研究方向：复分析 代数体函数第二基本定理的一个推广
摘要：利用亚纯函数的 Nevanlinna 值分布理论，研究代数体函数第二基本定理的扩展形式，将该定理推广到两列互异且次数不超过 d 的多项式的情况，得到了两个不同方向的定理，拓展了熊庆来、H.Milloux 等人的结果。
关键词：代数体函数；第二基本定理；特征函数 【中图号】O174.53 A GENERALIZATION ON THE SECOND FUNDAMENTAL THEOREM OF ALGEBROID FUNCTION
Abstract
The second fundamental theorem of algebroid function is generalized to two column polynomials with their degrees no more than d by using the Nevanlinna value distribution theory, and the result given by Xiong qinglai, H.Milloux is expanded Keywords
algebraic function；The second fundamental theorem；characteristic function 1. 绪论与结果
代数体函数是由不可约方程 11 0( , ) ( ) ( ) ( ) 0v vv vz w A x w A z w A z
所确定的 v 值代数体函数，其中，其中 ( )( 0,1, , )jA z j v 是 z 的全纯函数，并且不在一点同时为零。特别地，当 1 v 时， ( ) w z 即为亚纯函数。当1 0( ), ( ) ( )v vA x A z A z都是多项式时， ( ) w z 是代数体函数。一般地，只考虑 { ( )}jA z 中至少有一个是超越函数的情况。
在以上概念下，亚纯函数的值分析，曾有著名的奈望利纳（Nevanlinna）学理。而对于代数体函数的值分析，伐理聋（G.Valiron）与塞耳贝格（H.Selberg）在不同的方向上建立了代数体函数的值分析学理基础，但并未给出详细的证明而是仅仅列出了证明所需要的思路和恒等式。此后，随着亚纯函数理论研究的进展，代数体函数的研究也逐渐建立取得了一系列进展。熊庆来，H.Milloux 在此理论基础上，使用几类不同的恒等式给出了详细证明，并简化不等式使之结构更加精密。
在熊庆来，H.Milloux 的理论结果中，涉及所论函数之导数的第二基本定理具有重要作用，并且已经有了很多方向的推广，其一般形式为 [4] :
设 ( ) w z 为由方程 11 0( ) ( ) ( ) 0v vv vA x w A z w A z
（1）
所确定的 v 值代数体函数，其中 ( )( 0,1, , )jA z j v 是 z 的全纯函数，并且不在一点同时为零，并令 ( 1,2, , )ka k p 是 p 个判别复数（有穷或否），则有 111( 2 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )pkkp v T r w N r N r w S r ww a 其中1 ( ,) N r w 是重值点的密指量，并且 1" "( , ) ( , ) ( , ) (1)pkkw wS r w m r m r Ow w a 当pa 时，上式 p 代以 1 p 。其中 ( , ) S r w 具有奈氏余项性质：
当 ( ) w z 为有穷级时， ( , ) (log ) S r w O r ， r ；
当 ( ) w z 为无穷极时， ( , ) {log( ( , )} S r w O rT r w ， r 。
可能须除去一个线测度为有穷的 r 值集。
对于这个定理，现在已经有了很多不同方向的推广结果。对数导数平均值的基本定理在亚纯函数 Nevanlinna 理论体系中及其常微分方程的应用中起着十分重要的作用。熊庆来、H.Milloux 等曾结合对数导数平均值将代数体函数的第二基本定理推广到两列有穷判别复数ka ，jb 的情况(参见文[3])，得到如下结果：
理 定理 A 设 ( ) w z 是（1）所确定的 v 值代数体函数，ka ( 1,2, , ) k p 是 p 个判别的有穷复数，jb ( 1,2, , ) j q 是 q 个有穷异于零的判别复数，则有 1 111 1[ 6( 1)] ( , ) ( , ) ( , ) ( , )"1 1
[ ( , ) ( 1) ( , )] ( , )"" "p qk jk jpq v T r w N r w q N r N rw a w bN r q N r S r ww w （2）
其中1 ( ,) S r w 具有奈氏余项的性质。
另外，吴晓、孙道椿等曾将它推广到有限个互相判别的、次数不超过 d 的多项式的情况（参见文[1]）。
定理 B 设 ( ) w z 是（1）所确定的 v 值代数体函数， ( )kQ z ( 1,2 ) k p 是 p 个互异的次数不超过 d 的多项式，则有 11[ 2 (4 3) ] ( , ) ( , ) {log( ( , ))}( ) ( )pkkp v v d T r w N r O rT r ww z Q z 于无穷级时可能除去一个线测度为有穷的 r 值集。
本文综合以上两类推广的思路，将定理 A 与定理 B 推广到两列互异且次数不超过 d 的多项式的情况，得到如下结果：
定理 1 设 ( ) w z 是（1）所确定的 v 值代数体函数， ( )kQ z ( 1,2 ) k p ， ( )( 1,2, )jF z j q 都是互异且次数不超过 d 的多项式，且 ( )jF z 异于零，则有 2( 1)1 11 1[ (4 3)(1 )] ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
q pdj kj kpq v d T r w N r q N r S r ww F w Q 其中2 ( ,) S r w 具有奈氏余项的性质。
显然，上述定理中的不等式是对定理 A 中不等式的推广和改进。
定理 2 设 ( ) w z 是（1）所确定的 v 值代数体函数， ( )kQ z ( 1,2 ) k p ， ( )( 1,2, )jF z j q 都是互异且次数不超过 d 的多项式，则有 ( 1)1 1[ 2 (4 3) ] ( , )1 1[ 2 (4 3) ] ( , ) ( ) ( , )( ) ( )p qvdk jk jp q v v d T r wq v v d N r N S r ww Q w z F z 其中1( , )vN rw a 表示 a 值点的密指标，当重级 v 时按重级计算，当 v 时只计算 v次， ( , ) S r w 具有奈氏余项的性质。
2. 引理 由于代数体函数具有多值性和分支，其导数的几点不仅仅由函数本身的极点产生，还在某些分支点产生，这与亚纯函数的理论有差别，故在推导类似定理的时候，代数体函数的研究比亚纯函数复杂。在做出证明以前，需要以下几个关于代数体函数的引理：
引理 1 [4] 设 ( ) w z 是 v 值代数体函数，则有
( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (2 1) ( , ) (1)kxN r w kN r w N r w N r w kN r w k N r w O
推论
设 ( ) w z 是 v 值代数体函数，则有 ( )( , ) ( , ) ( , ) 2( 1)(2 1) ( , ) (1)kN r w N r w kN r w v k T r w O
引理 2 [1] 设 ( ) w z 是（1）所确定的 v 值代数体函数， ( ) Q z 是多项式，则 ( ) ( ) w z Q z 也是 v值代数体函数。
引理 3 [1]
我们把奈氏余项性质记为 ( , ) S r w 。设 ( ) w z 是（1）所确定的 v 值代数体函数， ( ) Q z是次数不超过 d 多项式，则有 ( 1) ( )( , ) ( , )( ) ( )dw zm r S r ww z Q z 3. 证明
定理 1 1 的证明 设 ( ) w z 为 v 值代数体函数， ( )kQ z ( 1,2 ) k p ， ( )( 1,2, )jF z j q 是互异且次数不超过 d 的多项式，则( 1) ( ) dw z为 v 值代数体函数，由引理 2，( ) ( ) ( )k kz w z Q z ， ( ) ( ) ( )j jz w z F z ，( 1)( ) ( )djz w z F 也是 v 值代数体函数。
文献[1]中已证明，对代数体函数 ( ) w z ，以及 p 个互异的次数不超过 d 的多项式 ( )kQ z有如下结果: ( 1)( 1)( 1)1 11 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (log )d p pddk kk kwpT r w N r T r w N r m r O rw Q w w Q （3）
又由于 ( 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )d d dddddT r w m r w N r wwm r w N r wwwN r w T r w N r w m rw 将上式带入（3），则有 1 111( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )pkkp T r w N r w N r N r H r ww Q
（4）
其中 ( 1)1( 1)1( ) 2 ( , ) ( , ) ( , )ddN r N r w N r w N rw ，( 1)1 00( , ) ( , ), 0d pkkwH r w m r Qw Q 同理，将代数体函数( 1) dw与互异且次数不超过 d 的多项式 ( )( 1,2, )jF z j q 应用于（4），并由 Jensen 公式得到：
( 1) (2 2)( 1) ( 1)1( 1) ( 1)1(2 2)1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )1
[ ( , ) ( , )] ( , )qd dd djjd ddqT r w N r w N r N rw w FN r w N r H r ww
（5）
其中(2 2) (2 2)( 1)1( 1) ( 1)1( , ) ( , ) 2 ( , ) (1)d d qdd djjw wH r w m r m r Ow F w 。
再将（3）乘以 q ，便得 ( 1)( 1)11 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )pddkkpqT r w q N r qT r w qN r qH r ww Q w
（6）
其中( 1)1( , ) ( , ) (log )d pkkwH r w m r O rw Q 于是将（5）代入（6）得到 ( 1)1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )( 1)1 11 1( 1)
[ ( , ) ( , ) ( 1) ( , )] ( , )2 (2 2) ( 1)dp qpqT r w N r w q N r N rdw Qw F k jkjdN r w N r q N r H r wd dw w （7）
其中( 1)1 2( , ) ( , ) ( , )dH r w qH r w H r w
再由引理 1 得 ( 1)( , ) ( , ) ( 1) ( , ) 2( 1)(2 1) ( , ) (1)dN r w N r w d N r w v d T r w O
代入（7）得 ( 1)1 12(2 2) ( 1)1 1[ 2( 1)(2 2)] ( , ) ( 1) ( , ) ( , ) ( , )1 1
[ ( , ) ( 1) ( , )] ( , )q pdj kj kd dpq v d T r w d N r w N r q N rw F w QN r q N r H r ww w （8）
应用对数导数引理于余项得到
( 1)1 12(2 2) ( 1)1 1[ 2( 1)(2 2)] ( , ) ( 1) ( , ) ( , ) ( , )1 1
[ ( , ) ( 1) ( , )] ( , )q pdj kj kd dpq v d T r w d N r w N r q N rw F w QN r q N r S r ww w （9）
移项简化得 2( 1)1 11 1[ (4 5)(1 )] ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
q pdj kj kpq v d T r w N r q N r S r ww F w Q 特别地，当 ( )k kQ z a ， ( )j jF z b ， 0 d 时，由（8）式退化为（1）式，即定理 1 退化为定理 A。
证毕。
定理 2 的证明
引入记号：
1( 0)( , ) ( ) ( )u a u an r a 式中求和是对位于 | | x r 内 ( ) w z 取 a 值的点相应的重级和分支数之差而作。
由定义 10 0( 0) ( 0)1 1( , ) ( , ) ( ) ( , )k k k kk vw Q w Q w Q w Qk kn r n r Q n rw Q w Q 于是 1( 1)1 1 1 11 1 1 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )p p p pk vdk k k kk k kn r n r n r n r Q n rw Q w w Q w Q 对上式求积分便得 ( 1)1 11 1 1( , ) ( , ) ( , )p pvdk kk kN r N r N rw Q w w Q 代入（2）得到 ( 1)( 1)1 11( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (log )d p pdvk kk kwpT r w N r T r w m r O rw Q w Q 上式两端乘以 2 (4 3) q v v d ，并由引理 3 得
1( 1)11[ 2 (4 3) ] ( , ) [ 2 (4 3) ] ( , )
[ 2 (4 3) ] ( , ) ( , )pvkkdp q v v d T r w q v v d N rw Qq v v d T r w S r w
（8）
应用定理 B 于( 1) ,( )( 1, )djw F z j q ，则有 ( 1)2( 1)11[ 2 (4 3) ] ( , ) ( ) ( , )( ) ( )qddjjq v v d T r w N S r ww z F z
（9）
将（9）带入（8）得到 ( 1)1 1[ 2 (4 3) ] ( , )1 1[ 2 (4 3) ] ( , ) ( ) ( , )( ) ( )p qvdk jk jp q v v d T r wq v v d N r N S r ww Q w z F z 其中1 2( , ) ( , ) ( , ) S r w S r w S r w ， ( , ) S r w 具有奈氏余项的性质。
证毕。
参考文献 [1]吴晓，孙道椿.代数体函数第二基本定理的推广[J]. 系统科学与数学，2008，28（6）：718-724. [2]涂振汉. 关于代数体函数的 Nevanlinna 第二基本定理[J]. 数学杂志，1995，15（1）：72-76. [3]何育赞，肖修治.代数体函数与常微分方程.[M] 北京：科学出版社，1988. [4]何育赞. 关于代数体函数及其纪数. 数学学报[J]，1965，15（2）：281-295.
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