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善为道者，微妙玄通 ————以《数学归纳法》为例 作
者：
林生/邱美艳
作者简介：
林生、邱美艳，广东省信宜市信宜中学.
原发信息：
《中学数学：高中版》(武汉)2014 年第 1 期 第 7-10 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2014 年 03 期
在提倡素质教育的今天，数学课堂教学模式也在发生改变，目标都是为了实行有效构建，加强学生的思维训练，铸就高效课堂，高效课堂应该是最大效率地丰富学生的感觉，使学生高效地掌握知识，高效地训练思维.要实现高效课堂，就要求一线教师准确把握教材，理解教材，并在实际课堂教学中，关注学情，从学生最近发展区出发，注重知识的形成过程；突出数学思维，并能巧妙引导学生发现问题，探索问题，解决问题，最终使不同学生得以发展.以下结合我校一位年轻教师上《数学归纳法》的课例进行分析，谈谈对高效课堂的理解，
一、简单课堂实录
第一环节：似曾相识，似懂非懂，引出疑问
引例 在数列｛ ｝中， .
（1）求 的值；
（2）试猜想该数列的通项公式；
（3）你认为你的结论一定正确吗？你有办法证明吗？
（学生看到题目，马上动笔运算，片刻就有第一问的结果）
（稍微思考片刻，不少同学给出了第二问的答案）
生：
师：非常好！速度不错！现在仅仅是猜想，如何证明呢？
（生沉默，思考）
设计意图：引入的形式很多，从熟悉的数学问题引出新的问题是其中一种形式，似曾相识，似懂非懂，此时最能引发学生的思考，最能激发学生探索的热情.一道题，把以前学过的数列和即将要学的数学归纳法连接起来，这就是从学生以前熟悉的区域向周围散发，在最近发展区得到刺激，新的发展区即将出现.显然，这样的引入是高效的.
第二环节：概念引出，从生活走向抽象
师：我们不可能把数列所有的项列出来，那么就要寻求一种科学可行的办法来证明.
（生点头认可）
师：大家玩过这个游戏么？
（师展示多米诺骨牌，如图 1 所示）
师：把多米诺骨牌排成一排，相邻的距离不大，前一片骨牌倒下能碰倒后一片骨牌，如果你推倒第一块骨牌，后面会发生什么事情呢？
生：（兴致盎然）骨牌全都倒下了！
师：好！那么骨牌全都倒下的条件是什么呢？
生 1：必须要推！
生 2：也就是第一块骨牌必须要倒下！
师：非常好！说到点子上了，第一块骨牌必须要倒下！只是第一块骨牌倒，能保证全部都倒下吗？
（生思考）
生 3：骨牌间的间隔不能太大.
师：发现得好！这也就是说相互的间隔要保证：如果前一块倒下，一定导致后一块骨牌倒下.那么它起到的作用是什么？
生 4：传递下去.把倒下这种行为传递下去！
师：对了，就是假设第 k 块骨牌倒下，保证第 k+1 块倒下.那我们能不能把骨牌推倒这个实验类比到我们的证明中来？要证明通项公式对所有的 成立，要满足什么条件呢？
设计意图：从生活中的问题出发，学生觉得有趣、易懂.来源于生活，容易克服学生对数学的恐惧.这个例子所有骨牌倒下类比通项公式对所有成立，学生容易接受.另一方面，表面简单，但其中的抽象思维正在慢慢形成.学生思维的培养正是通过这种“细无声”的滋润方能走向深刻.
提问紧扣数学归纳法的递推思想，每个问题都是有效的.严谨地思考整个过程，思维活动也是活跃的.
第三环节：概念生成，破茧成蝶现美丽
在教师的引导下，学生思考讨论，终于有了类比，教师投影类比结果，学生口答.
师：有了以上类比，我们马上试试刚才那道数列题的证明.
（生马上动笔，进行证明）
（师走进学生中间，看看他们是否真正理解数学归纳法中使得命题成立的两大条件）
（学生的证明过程多数是不严谨的）
师：我们一起来吧，三个臭皮匠赛过一个诸葛亮.
板演过程：
（1）当 n=1 时，由条件知 =1，猜想成立.
（2）假设当 n=k（k≥1）时猜想成立，即 ，那么 n=k+1 时，即 n=k+1 时，猜想成立.
综合（1）（2）可知，对任意的正整数 n，猜想成立.即数列的通项公式为 .
师：从以上过程，我们思考总结数学归纳法的步骤.
生 5：第一步：n 取第一个值 n=1 时成立.
生 6：第一个值不一定是 n=1 吧？如果是证明某个式子对 n≥2 成立呢？
（学生议论）
师：有道理，所以我们应该说第一步是取第一个值 时命题成立.
生 7：第二步是假设当 时命题成立，证明当 n=k+1 时命题成立.
师：好！那么在第二步中，难点是在假设还是在证明呢？
生 8：毫无疑问，证明.
师：证明的目标是什么呢？
生 9：n=k+1 时，原来的等式是什么，在这里就是要证明
师：非常好！看来我们已经基本知道数学归纳法两大步骤缺一不可了！我们可以归纳为：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
设计意图：通过类比，感受数学归纳法基本步骤的形成过程，再通过实例初步体验数学归纳法的应用，从生活实例走向抽象，再从抽象应用到具体例子，数学归纳法的概念初步形成.这样讲解与实例的结合符合学生从感觉到概念，再从概念到感觉的认知过程，从而使学生高效地掌握数学归纳法的基本步骤.
第四环节：讲练结合，实践出真知
练习 1：用数学归纳法证明 时，第一步应该验证的式子是（
）.
生 10：没答案啊，n=1 时，应该是 1＜1，好像有点不对.再想想.
生 10：找到问题了，n＞1，那么要检验的第一个值是 n=2，答案是A.
师：敢于怀疑自己，这种精神非常好！大家认同吗？检验的第一个值是 n=2，对吗？
师：n=2 时，左边是什么？
（学生议论，很快发现问题）
生 11：n=2 时，左边应该是 ，答案应该是 B.
师：说得好！一定要把 n=2 代进去方能知道要证什么，实践出真知啊！
设计意图：成功迈出第一步便成功了一半，第一步也是数学归纳法成功的基石，本题设计的目标便是为了突破第一步，纠正学生一遇到数学归纳法马上考虑 n=1 的错误认识，引导学生学会分析第一步该证明什么，也意在培养学生的认真审题的严谨学习态度.针对学生易错点设计题目，直指学生认识误区，是高效课堂重要的一环.
练习 2：用数学归纳法证明 1+2+3+…+2n=n（1+2n）（ ）的过程中，由 n=k 到 n=k+1 的过程中，左边要增加的项应为________.
生 12：n=k 时，假设 1+2+3+…+2k=k（1+2k）（k∈ ）成立.
师：接下来的目标是什么？
生 13：在 n=k 的基础上，证明 n=k+1 时，命题成立.
师：思路清晰，目标明确！
生 14：即要证明 1+2+3+…+2k+2（k+1）=（k+1）[1+2（k+1）]（k∈ ）.
（生议论纷纷，或赞同或有不同意见）
生 15：不对，从左边看变化规律该是公差为 1 的等差数列，2k 后面应该是 2k+1 啊.也就是该证明 1+2+3+…+2k+（2k+1）+2（k+1）=（k+1）[1+2（k+1）]（k∈ ）.
师：看来大家越来越敏锐了！不仅要确定 n=k+1 时的最后一项，还要弄明白前面还有哪些项.所以答案是？
生：2k+1+2（k+1）.
练习 3：以下过程是用数学归纳法证明 ，正确吗？
证明：①当 n=1 时， ，此时原等式成立.
②假设 n=k（k∈ ）时原等式成立，即
那么 n=k+1 时，
也就是说，当 n=k+1 时命题也成立.
综上①②，对一切正整数 n，命题成立.
生 16：正确！太熟悉了，裂项相消法！
生 17：那我们为什么要用数学归纳法这些步骤呢？
（学生议论）
师：数学归纳法的第二步骤是在假设 n=k（k∈ ）时结论成立的基础上，证明 n=k+1 时结论也成立，也就意味着要用到假设，上面的证明用到假设了吗？
生：没有！
（学生埋头找正确过程）
证明：①当 n=1 时， ，此时原等式成立.
②假设 n=k（k∈ ）时原等式成立，即
那么 n=k+1 时，
也就是说，当 n=k+1 时命题也成立
综上①②，对一切正整数 n，命题成立.
设计意图：数学归纳法中的第二步往往是整个证明过程的难点，左边增加哪些项也是其中的一个难点，必须要利用归纳假设是其中的易错点，在两道练习设计中给学生犯错的机会，让学生自查、自省.高效课堂不仅在于知识传授的高效，也要让学生在课堂中高效地思考，掌握高效解决问题的方法.
练习 4：用数学归纳法证明 .
（学生思考片刻后，师生共同分析本例证明的关键是证明什么）
分析：关键是证明 .
总结：（1）两个步骤和一个结论缺一不可；
（2）归纳假设一定要用到；
（3）关键是看清 k 到 k+1 的变化.
练习 5：已知数列 ，由此推测计算 .的公式，并给出证明.
设计意图：前面的题目是分步强化各步骤要注意什么问题，是从整体到局部的强化，练习 4，5 是综合题，让学生再从局部到整体，明确综合题该如何分析，最终形成解决问题的能力.安排练习，由易到难，层层递进，既检查了当堂的掌握效果，也进一步加强了对数学归纳法的理解.合理的练习，是继形成概念后的锦上添花.
第五环节：华章重奏，归纳法再升华
小结：（1）本节课的主要内容是什么？
（2）从这节课的学习中你有何感想？你能否体会到数学归纳法的魅力？
设计意图：引导学生对数学归纳法的理解再升华.
二、对本节课的分析与思考
这位年轻的执教老师和蔼可亲，基本功扎实，语言简练，对教材熟练掌握，从数学归纳法知识的形成到知识的应用，整节课设计十分流畅，面面俱到，给观摩的教师留下了深刻的印象.特别是用“引例”这个情景来引入本节课，突出了“归纳——猜想——证明”的思想方法，既能把学生推向“愤、悱”的境界，又能激活学生的认知结构，这个情景使学生产生由无限化为有限的思想，同时为引入多米诺骨牌游戏埋下铺垫，具有揭示数
学归纳法知识本质的价值功能，在这点上执教老师处理得非常好.但综观整个教学过程，就课堂教学第一境界“求真”（科学境界）来说，她能够做到这样，实属不易，她是成功的.但我们课堂教学不应只追求求真，还要追求向善（人文境界）、臻美（艺术境界），下面笔者结合整个教学过程，与读者交流.
1.课堂教学应重视学生的认知规律和学习困惑障碍，要有效地促进学生思维的发展
数学归纳法的形成过程中，在一定程度上忽视了学生的认知规律，在必要的地方缺乏更好的启发、引导，如由多米诺骨牌游戏归纳出数学归纳法原理，这是学生学习的一大障碍，而执教老师更多的是牵引着学生往自己设置的方向走，没有更好地帮助学生突破学习障碍.这时如果通过多层次去演示，如通过图 1 演示之外，还可以通过图 2 和图 3 演示，或再举一些生活中的实际例子，再多给学生一点时间思考，这样可以进一步帮助学生理解数学归纳法的原理.
2.课堂教学应发挥教师的引领作用，要让学生真正地参与到课堂中
章建跃博士说过：“要通过恰到好处的提问，提好的问题，给学生提问的示范，使他们领悟发现和提出问题的艺术，引导他们更主动、有兴趣地学，富有探索地学，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神”.本节课表面上看是发挥了教师的引领作用，但细细斟酌：本节课的很多问题好像
都是由教师提出来的.当然，上面这些问题既可以是由学生提出来，也可以由老师提出来.但是真正的问题、特别是好问题应来自学生，或者说是在教师引导下由学生提出来.教师只能示范不宜代替.如练习 2 中学生对于增加哪些项还不够明确，这时应由学生自己提问，再进行辨析，在这个过程中学生的思考不管是对还是错，思考的是符合常理还是不符合常理，教师都应善于倾听学生的表达，帮助学生反思总结，积累经验并给以暗示和鼓励，激发学生学习数学的兴趣，让学生真正地参与到课堂中去，最终让学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的学习习惯.
3.课堂教学应有效地实施思维教学，要进一步践行教学的“三个理解”
章建跃博士曾提出数学教学的“三个理解”（理解教材、理解学生、理解教学），因此我们在这节课中也要践行教学的“三个理解”，本节课的重心在于数学归纳法的原理形成，在这个过程中应突出这个思维的教学过程，但本节课还是有点过分突出数学归纳法解题技能的训练，并且把利用数学归纳法证明等式类型和非等式类型都一起讲，这显得整节课前轻后重.因此我们还应拉长数学归纳法原理形成的思维历程，让学生经历完整的探究过程，让师生、生生在这个过程中达到和谐共振的境界，这样学生对数学归纳法更能运用自如.
4.课堂教学应适时恰当地渗透数学文化，进一步提高学生的数学素养
数学归纳法的形成过程折射出悠久的数学历史文化，因此我们在这节课中应向学生渗透其文化，进一步提高学生的素养，比如可以在小结的部
分或者课后让学生查阅数学归纳法的形成、命名、繁衍和发展，领略数学归纳法的智慧和魅力.
古语云：“形而上者谓之‘道’，形而下者谓之‘器’”，而老子说“道法自然”.同样，在我们的数学课堂教学中也是如此，我们要在教学中做“善为道者”，就要立足于“三个理解”，认真去践行教学的“三个理解”，在这个过程中重视学生的认知规律和学习困惑、障碍，有效地实施思维教学，让学生真正地参与到课堂中来，最终高效地促进学生思维的发展.只有这样，我们才可以真正地在教学中做到“善为道者，微妙玄通”.