下面是小编为大家整理的随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第二章习题讲解,供大家参考。
102-1 已知随机过程X (t) Acos0 t ，其中 0 为常数，随机变量 A服从标准高斯分布。
求t的一维概率密度？0, 30 , 2 0 三个时刻X(t)解：A ~ N(0,1)..........fA (a)a 21e22x2X(t)t 0A ~ N(0,1) f X (x 1 ；0)1e2，2X(t)A 1f (x )2e2 x 2 2t~ N(0, )X 2 ； 3＝ ，302 4 2X(t)t＝0，20f (x 3 ； 20 )(x 3 )(离散型随机变量分布律 )2-2 如图 2.23 所示，已知随机过程1 1 3 1X (t) 仅由四条样本函数组成，出现的概率为, , ,8 4 8 4X (t)654321ot 1x 1 (t)x 2 (t)x 3 (t)x 4 (t)t 2 t图 2.23 习题 2-2在 t 1 和 t2 两个时刻的分布律如下：。
1 2X (t 1 )X (t 2 )p k k (t 1 ,t 2 )1/8 1/4 3/8 1/4求 E[ X (t 1 )], E[ X4(t 2 )], E[ X(t 1 )X29(t 2 )] ？21E[X (t 1 )]x k p k tk 18E[ X(t 2 )]8E[X (t 1 )X(t 2 )] R X t 1 ,t 2k 1 k 2k 1 k2p X t 1 k 1 ,X t 2 k 21 2 3 41 2 6 35 4 2 1
2－23随机过程 X (t) Acost XH，其中 A U (0,1（) 均匀分布）。求fX(x;t), E X (t), D X(t), RX(t 1 ,t 2 ) ？E X (t) E Acost XH cost EA XHD X (t)方法 2：E X2(t) E 2 X (t)D X (t) D Acost XH D Acost D XHcos 2 t DAcos 2 t12公式：
D aX＋bＹ a 2 D X b 2 D Y 2abC XYR X (t 1 ,t 2 )=E Acost 1 XH Acost 2 XHcost cost EA2EA XH cost cost XH212 1 21cost costXHcost cost XH231221 2
XHXH22k t22k cost 0对某一固定时刻 t X t ~UXH ,cost XH22k t322k cost 0对某一固定时刻 t X t ~U costXH ,XHt2k cost 0 X(t) XH概率密度用冲激函数表示f X (x;t)1cost1cost22k t 2k , XH x cost22k t2322k ,cost XH xx XH t2k ,x XH0 else
1 22-4 已知随机过程X(t) A Bt，其中A,B皆为随机变量。①求随机过程的期望E[X (t)]和自相关函数R X (t 1 ,t 2 )？②若已知随机变量相 A,B 互独立，它们的概率密度分别为f A (a)和f B (b)，求X (t)的一维概率密度第②问f X (x;t)方法 一：用雅克比做（求随机变量函数的分布）步骤：t 时刻，X(t) A Bt为两个随机变量的函数①设二维的随机矢量②求 反函数X 1 A BtX 2 A（题目要求的）（自己设的量 , 可以是其它量）③求雅克比行列式 J，得到 |J|④利用公式f X X (x 1 , x 2 ) J f AB (a,b)AB相互独立 fABf A (a) f B (b)⑤由联合概率密度求边缘概率密度 f X 1 x⑥t 为变量，则得到f X (x;t)
A与B独立, fAB (a,b)f A (a) f B (b)X (t)Y(t)AABtA Y(t) 0 1B1tfXY(x, y;t) J fAB(a,b)1tfAB( y,xty)1tf (y)Af (xyBtfX(x;t) fXY (x, y;t)dy1tf (y) f (xA By)dyty a, fX(x;t)1tf (a) f (xA Ba)d atfXx;t1ftAa fx aBdafAx bttf B b dbX(t) Y(t) J11t t t)方法二：
用特征函数定义和性质（独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做（特征函数和概率密度一一对应）
X XQ u;t E ejuX tE eju A Bteju a btf a, bdadbX ABeju a btf a f B b dadbQ u;t f x;t ejux dx取a=x-btQ u;t e jux f x bt f b dxdbX A Be jux f A x bt f B b dbdxf X x;t f A x bt f B b dbA
2-5 已知X(t)为平稳过程，随机变量 Y X (t 0 ) 。判断随机过程Z(t) X(t) Y的平稳性？X (t)平稳 m X 、R XE Y t E X t 0 ?E Z t 2m XR Z t 1 ,t 2 E X t 1 Y X t 2 YE X t X t X t X t X t X t X2t1 2 1 0 0 2 0R R t ,t R t ,t E X2tX X 1 0R ZX 2 0 0随机过程Z(t) X(t) Y非平稳
2-6 已知随机过程Y(t) X(t)cos(0 t ) ，其中随机过程X (t ) 宽平稳，表示幅度；角频率0 为常数；随机相位 服从( , )的均匀分布， 且与过程X(t)相互独立。①求随机过程Y(t)的期望和自相关函数？②判断随机过程Y(t) 是否宽平稳？① 与过程X(t) 相互独立cos(E Y(t)0 t)与 X tE X(t)cos(0 t相互独立)E X(t) E cos(0 t ) 0R Y t 1 ,t 2 E X(t 1 )cos(0 t 1) X (t 2 )cos(0 t 2)E X(t 1 )X (t 2 ) cos(0 t 1)cos(0 t 2)E X(t 1 )X (t 2 ) E cos(0 t 1)cos(0 t 2)R1cosX20
2-8 已知平稳过程X(t)的自相关函数为R X ( ) 4e cos cos3，求 过 程 X(t) 的均方值和方差？R X1 ( )＝4eR X2 ( )cos3cos 非周期部分 m X1周期偶函数 m X2R X1 ( ) 002R (0) m25X X X
2-10 已 知 过 程X(t) Acost Bsint和Y(t) Bcost Asint，其中随机变量A, B独立，均值都为 0，方差都为 5。①证明X (t)和Y(t)各自平稳且联合平稳；②求两个过程的互相关函数？① E X (t) 0X t 平稳E Y(t) 0Y t 平稳R X t,tR Y t,t5cos5cosE X2(t) 5E Y 2 (t) 5R XY t,t ＋＝ 5sinX t、 Y t 联合平稳
2-11 已知过程X (t ) 和 Y(t)各自平稳且联合平稳， 且Z(t) X (t) Y(t)。①求Z(t)的自相关函数R Z ( )？②若X (t)和Y(t)独立，求R Z ( )？③若X(t ) 和 Y(t)独立且均值均为 0，求第①问R Z ( )R Z E Z t Z tR X R YR X R YR XYR XYR YXR XY两个联合平稳的过程的互相关函数R YX R XY第②问 两平稳过程独立E X t 1R XYR Z R XY t 2R YXR YE X t 1m X m Y2R XYE Y t 2第③问R Z R XX (t)和R YY(t)独立且均值均为 0
22-12 已知两个相互独立的平稳过程自相关函数为X (t)和Y(t )的R X ( ) 2e cos0R Y ( ) 9 exp 3令随机过程，其中 A是均值为 2，方差为 9 的随机变量，且与X (t)和Y(t)相互独立。求过程Z (t)的均值、方差和Z(t) AX (t)Y(t)自相关函数？随机变量 A，与X(t)和Y(t)相互独立E Z t EA E X t E Y tE[ X(t)] R X ( ) 0， E[Z(t)] 0R Z (t,t ) E[Z(t)Z(t )]E[A2X (t)X(t )Y(t)Y(t )]E[A2]R ( )R ( )X YE[ A2] D[A] E2[A] 9 22R Z ( ) 26e cos09 exp 3D[Z(t)] R Z (0) 260可以证明过程Z (t)平稳222
2-14 已知复随机过程Z(t) A i exp ji ti 1式中A i (i 1, ,n)为 n 个实随机变量，i(i 1, , n)为 n个实数。求当A i满足什么条件时，Z(t)复平稳？复 过 程Z(t)复 平 稳 条 件m Z t m zR Z t,t R Z复常数，mX + jm Y①m z t E A i exp ji ti 1E A ii 1exp ji t只要 E[②A i ] 0，E[Z(t)]中就存在 “t”。令E[A i ] 0
R Z t,t E Z t Z tE A i exp ji tA j exp jj tjji 1 j 1E Ai A jexp ji tjj tjji 1 j 1E A2iexp jji 1 j 1E[ A i ] 0...........A i 与A k 间应满足条件：E[ A i A k ] 0,......i k.....i,k 1,2, ,n
2-16 已知平稳过程X (t)的均方可导，Y(t) X (t )。证明X (t ),Y(t )的互相关函数和为Y (t )的自相关函数分别R XY ( )dR X ( )dd2 R ( )R ( )XYd21 R XY ( ) E[ X(t)Y(t )]E X (t)l.i.mX(t t) X(t )t 0tlim EX(t)X (t t) X(t)X (t )t 0tlimR X ( t) R X ( ) dR X ( )t 0t dt2R Y ( ) E X"(t)Y(t )X (t t) X (t)E l.i.m Y(t )t 0tlimE X(t t)Y(t ) X (t)Y(t )t 0tlimR XY ( t) R XY ( )limR XY ( ) R XY ( )t 0t0dR ( ) d2R ( )XY X。d d2
"X若X (t )为宽平稳（实）过程，则X"(t)也是宽平稳（实）过程，且X(t)与 X "(t) 联合宽平稳。d R ( ) d R ( ) d R ( ) d2 R ( )R Y ( )YX XYXY Xd d d d22-17 已知随机过程X(t)的数学期望E[X(t)] t24 ，求随机过程 Y(t) tX (t ) t2的期望？E[X"(t)] E[X"(t)] t24 2tE Y(t) 3t22-18 已 知 平 稳 过 程X (t)的 自 相 关 函 数R X ( ) 2exp122。求：①其导数Y(t) X (t ) 的自相关函数和方差？②X (t)和Y(t) 的方差比？R Y ( )d2 R ( )d2122 12e2不含周期分量2R 0 2Y Y2R 0 2X X
补充题：若某个噪声电压 X t 是一个各态历经过程，它的 一个样本函数 为 X t平均功率2cos t，求该噪声的直流分量、交流4解：直流分量E X t、交流平均功率D X t各态历经过程 可以用它的 任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的 统计平均E X t=X (t)=lim1T2TTX (t)dtTlim1T2TT2cos tT4dt 0R X ( ) X(t)X(t) lim1T2TTX(t)X (tT)dtlim1 T2cos t 2cos t dt 2cosT2TT4 4再利用平稳过程自相关函数的性质D X t R X 0 R X 2方法二：D X t E X2X(t) 0t E2X t X2(t) X(t)2X2 (t)= lim1T2TTX2(t)dtTlim1T2TT2cos tT4dt 2
2-19 已知随机过程X (t) V cos3t，其中V 是均值和方差皆为 1 的随机变量。令随机过程Y (t)1tXt0( )d求Y (t)的均值、自相关函数、协方差函数和方差？解 ：b b1．求均值，利用E[ X(t)dt]aE[ X(t)]dta随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换E Y t E1tX ( )dt01tE X( ) dt01tE Vt0cos3 dsin3t3t2.求自相关函数Y (t)1tX ( )dt01变上限积分tR (t ,t ) E[Y(t )Y(t )]E[1t 1X( )d1t 2X( )d ]Y 1 2 1 2t01 1t02 21 21t 1＝t 2E[X( )X( )] d dt 1 t 20 01 2 2 1做法二：Y(t)1tX( )dt01tV cos3 dt0V sin3t3tR (t ,t ) E[Y(t )Y(t )]E[Vsin 3t 1 Vsin3t 2]Y 1 2 1 23t 1 3t 2＝sin3t 1sin3t 2EV22sin3t sin3t9t 1 t 23. 求互协方差函数1 29t 1 t 2
C Y (t 1 ,t 2 ) R Y (t 1 , t 2 ) E[Y(t 1 )] E Y(t 2 )19t 1 t 2sin 3t 1 sin3t 24. 求方差D Y t C Y t,t 方差 是关于 t的一元函数方法二：
D Y tDV sin3t3tsin 2 3tD V9t 2sin 2 3t9t 2
2-20 已知平稳高斯过程X(t)的自相关函数为①R X ( )6exp2②R X ( ) 6sin求当 t 固定时，过程X (t)的四个状态X (t), X (t 1), X (t 2), X (t 3) 的协方差矩阵？分析：高斯过程四个状态的C 1 1 CCC 2C 3C 41 2 CC1 31 状态X (t) , 2 状态 X (t 1) ,3 状态X (t 2) , 4 状态 X(t 3)X t 平稳高斯，协方差阵只与时间差值 有关C4 4C C ( ) R ( ) m2ik X X X解：①X t 平稳高斯，协方差阵只与时间差值 有关11C2 2 CC2 32 41C3 2 CC3 3 3 41C4 2 CC4 34 44 4C X 0 C X 1 C X 2 C X 3C X 1 C X 0 C X 1 C X 2C X 2 C X 1 C X 0 C X 1C X 3 C X 2 C X 1 C X 0
m2lim R ( ) 0X XC R ( ) m2R ( )ij X X X1 3R (0) 6 R (1) 6e2R (2) 6e1R (3) 6e2X X X X1 36 6e26e16e21 126 6e2C6e1C X 2 C X 1 C X 0C X 11 1C X 3 C X 2 C X 1 C X 06e16e26 6e23 16e26e16e26②m2lim R ( ) 0 C＝ R ( )6 0 0 0X X ij X0 6 0 0lim0sin＝1R X (0) 6C0 0 6 0R X (1) R X (2) R X (3) 00 0 0 6C X 0 C X 1 C X 2 C X 3C X 1 C X 0 CX1 C X 2 6e
2X 1122-21 已知平稳高斯过程X(t) 的均值为 0，令随机过程 Y(t ) [X (t)] 2 。证明 R Y ( )2R X (0)22 R X ( )证：R Y ( ) E[Y(t)Y(tn kQ)]＝E[( ,X2(t)X)2(t )]E[ XnXk] (j)n kX 1 21 2n k1 21 20E[ X2(t)X2(t )] ( j)4Q X (1 , 2 ;t,t2 21 2)1 20UTC UX t 为高斯平稳过程 Q ( , ; ) exp[ jMT U X]0MXU0X 1 2CXR X (0)R ( )2R X ( )R (0)Q X (1 ,2 X X2 ; )exp1R (0)222R X ( )1 2R X (0)2R ( ) ( j)44exp12R X (0)22R X ( )1 2R X (0)2Y2 21 22R X (0)22 R X ( )1 204X1
222-22 已知随机过程X (t) Acos(0 t ) ，其中随机相位 服从(0, 2 ) 上的均匀分布；A 可能为常数， 也可能为随机变量 ，且若 A 为随机变量时， 和随机变量 相互独立。当 A 具备什么条件时，过程各态历经？分析：随机过程各态历经要求为平稳过程且X (t) E[X (t)]X(t)X(t ) R X ( )2 2解：
① A 为常数时 E X t 0 R t( t, )Ac E o sX tAX(t)2 2为平稳过程A 为随机变量时 和随 相互独立E[X (t)] E[ Acos(0 t)] E[A] E[cos(0 t)] 0R(t,tEA2) E[X (t)X(t[cos cos(2t)] E[ A2cos(t2 )])cos(t 2 )]A 2E[ ] E[cos ] E[cos(2tE[ A2 ]2 )] cos 02 2E[ A2]E[X2(t)]2X(t) 为平稳过程②X( t)1Tl i m AT2TTc 0 o st ( dt ) 0
X(t)X (t) lim1T2TTA2cos(tT)cos(t 2 )dtA21Tlim [cos cos(2t 2 )]dt2T2TTA21TA2cos lim cos(2t 2 )dt cos 02T2TT2③若A是常数若A是随机变量X(t)X(t)E[ X(t)]E[ X(t)]X(t)X(t ) R XE[ A2]R X ( ) cos2E[ A2]A2 ，X(t)X(t ) R X ( )
习题2-24随机过程 X(t) Acost Bsint,其中A和B独立同标准高斯分布，且X (t)的均方导数为 Y(t) X (t)，求：1、X (t)的期望、方差和自相关函数2、X (t)是否严平稳？给出理由。3、写出 X (t)的二维特征函数 Q X (u 1 ,u 2 ;t 1 ,t 2 )4、X (t )是否各态历经？给出理由。5、Y (t)的自相关系数6、写出 Y(t)的一维概率密度7、相同时刻， X (t)和Y(t)的状态独立吗？给 出理由。8、X (t)和Y(t )是否联合平稳？给出理由。解：1、E X (t) 0 D X(t)1 R X t,t cos2、X (t)高斯、宽平稳 严平稳1 cos3、C= cos 1Q (u , u ; t ,t )＝Q (u ,u ; ) exp1u22uu cos u2X 1 2 1 2X 1 2 1 1 2 22
X5、E Y(t) E X"t 0 X (t)平稳Y(t) X"t 也为平稳， 且联合平稳R ( )d2R d2coscosYd2d2C Y ( ) R Y ( ) E2Y(t) cos D Y(t) C Y (0) 1Y ( )C Y ( )D Y(t)cos6、X(t)高斯过程1Y(t) X"y2t 也为高斯过程f Y yexp2 27、R XY ( )dR XdsinC XY ( ) R XY ( ) E X(t) E Y(t) sinC XY (0) 0 同一时刻 X (t)和Y(t )状态互不相关X(t)Y( t)皆为高斯过程 同一时刻 X (t)和Y(t )状态独立