下面是小编为大家整理的“函数与方程”教学实录与感悟【精选推荐】,供大家参考。
“函数与方程”教学实录与感悟 作
者：
蔡道平
作者简介：
蔡道平，江苏省梁丰高级中学（215600）.
原发信息：
《中学数学月刊》(苏州)2015 年第 201511 期 第 35-38 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2015 年 12 期
一、基本情况
2014 年 11 月在苏州市名师同课异构展示活动中，笔者执教了“函数与方程”（第 1 课时），获得了听课教师认可与好评.
授课对象 借班授课的学生来自四星级普通高中，数学基础较好，学习能力较强，已经初步具备思考、交流、探究的意识和能力.
教材分析 所用教材为苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修 1）》，教学内容为“3.4.1 函数与方程”第 1 课时.在此之前，学生已经建立了方程根的概念，学过了函数的概念和性质、常见简单函数的图象和性质，初步形成了数形结合的思想方法，并具备了一定的函数思想.在此基础上，本节课将提出函数零点的概念，利用函数的图象和性质研究函数零点的存在性，从而建立函数零点与方程根的联系，初步形成函数与方程的思想方法，其目的是体现函数的应用价值，加深对函数概念的理解，为求方程近似解奠定基础.
教学目标 （1）理解函数零点的定义，了解函数零点与方程根的等价关系；（2）理解函数零点存在性定理，能够判断函数零点所在区间；（3）进一步体会函数与方程思想、数形结合思想以及化归思想的作用.
教学重点 方程的根与函数零点的等价关系，函数零点存在性定理.
教学难点 如何创设自然情境、提出恰当问题，引导学生自主探究函数零点存在性定理.
二、教学过程简录
1.创设情境，提出问题
师：请同学们猜一下老师的年龄.
师生互动：60，高了；40，低了；50，低了；55，高了……
设计意图 通过猜年龄游戏，拉近与学生之间的心理距离，是师生课堂互动、合作交流的前提，也为本章节的学习做好铺垫.
问题 1 下列方程有实数根吗？若有，如何求出它的根？
生：方程（1）有实根，方程（2）（3）不清楚.
师：是的，方程（2）（3）是高次方程和超越方程，确实不易判断，想一想用什么办法呢？
生众：有没有求根公式？能否作图观察？是不是也用猜的方法？百度一下有没有办法？师生网络实时查询后展示结果：
中国古代东汉初年（50～100）著作《九章算术》，数学家祖冲之（429～500）、秦九韶（1208～1261）、杨辉（1238～1298）、朱世
杰（1249～1341）等在方程解法研究上都有着突出的贡献，远远领先于西方国家.数学家给出了二次、三次、四次方程的求根公式，1824 年 22岁的挪威天才数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802～1829）成功地证明了五次及以上方程没有根式解.实际上绝大部分方程都没有求根公式.
生：没有求根公式，作图观察可能看出有无解，求不出精确解，能不能猜出解呢？
师：刚才同学们猜我年龄时，我回答“高了”“低了”使大家很快猜出了我的年龄，那你猜方程根时怎么知道“高了”“低了”呢？
生：取一些数值代入方程左边计算是等于零、大于零、小于零？
生：可以画图，从函数图象上可以看出点的高、低.
师：一个方程若有根，这个根是一个静态的定值，而我们用动态的值来试，用运动的观点来研究问题这就是函数的思想，利用函数性质（已知的数学知识）来解决方程的根（未知的数学问题）是函数应用的一个方面，本节课探讨利用函数性质判定方程根的存在问题.
设计意图 问题 1 中三个方程，二次方程是容易解决的，另两个难以解决.通过查询数学史了解到历史上古典数学方程理论的研究成果以及中国古代数学家的杰出贡献，这样的教学设计既渗透了数学文化教育，又激发学生的民族自豪感.
2.探究新知，形成概念
问题 2 一元二次方程的根与其对应图象上的点有怎样的关系？
利用教材例子和图表共同讨论得到二次函数图象与 x 轴交点的横坐标是相应方程的根.
学生讨论，教师归纳后得：我们把函数 y-f（x）的图象与 x 轴交点的横坐标称为这个函数的零点.
问题 4 函数 y=f（x）的零点、方程 f（x）=0 的实数根、函数 y=f（x）的图象与 x 轴交点的横坐标三者有什么关系？
生：函数的零点、函数图象与 x 轴交点的横坐标、方程的根三者是等价的.
师：零点从“形”的角度来认识就是函数 y=f（x）的图象与 x 轴交点的横坐标，从“数”的角度来理解就是方程 f（x）=0 的根，因此“零点”是一个数.
设计意图 教材只从一个二次函数的图象引出了函数零点的概念，这里我们还通过观察含指、对数的函数，再推广到一般函数零点的概念.这样设计从特殊到一般、由易到难，有利于学生参与零点定义的建构过程，让学生了解：从形到数、数形贯通，用形来解决数，用数来深化形的数学思想.
3.师生活动，发现定理
问题 5 函数从其图象来看满足什么条件时才有零点呢？
生：从上面二次函数图象可以看出，图象只要穿过 x 轴函数就有零点.
投影显示：教室内一天中室温是时间的函数，若某天早晨 7 时的室温为零下 4 度，同学们开了空调，中午 12 时室温为 8 度.上午、下午大课间
活动和中午吃饭时、体育课都要关空调，开门窗通风，室温可能会降到零度以下.若用温度记录仪记录了上午 7 时到下午 17 时每个时刻的室温，请画出该函数的图象.
设计意图 创设室温随时间变化的函数图象这样的问题，体现了数学教学应从学生生活经验出发这一新课程标准的要求.由于学生设想的教室课程安排、天气状况的不同，所以室温的变化情况也不同，这样为探究零点存在性定理提供了丰富的图象资源.
几分钟后学生得到了各种不同的函数图象，投影展示（限于篇幅仅给出图 1 和图 2 两种）.
师：函数记为 y=f（x），它在[7，12]上是否有零点？在[12，17]上呢？为什么？
生：在[7，12]上，因为室温-4 度到 8 度是连续变化的，图象穿过 x轴，函数有零点.在[12，17]上不一定了.
师：函数有零点从图象看就是要穿过 x 轴，那么如何从数学上更准确地描述穿过 x 轴？
生：应该看零点两侧函数值的情况.
问题 6 任取一个区间 ，当 y=f（x）的函数值满足什么条件时，函数在（a，b）内一定有零点？为什么？
生：y=f（x）在[a，b]上的最大值大于零，最小值小于零.
生：y=風（x）是单调函数，且有正有负.
师：对的，很好，但根据以往经验研究单调性和函数在区间上最值都是比较困难的，这样问题变复杂了.
问题 7 函数 y=f（x）满足 f（a）f（b）＜0，那么在（a，b）内一定有零点吗？
生：除非跳过去，在 x 轴上断开，如反比例函数.
生：反比例函数 x=0 不在定义域内，如果函数 y=f（x）在区间（a，b）上存在零点，[a，b]应在定义域内.
问题 8 函数 y=f（x）在区间[a，b]上有意义，且 f（a）f（b）＜0，则在（a，b）内一定有零点吗？
生：这样就不会断开了，一定有零点的.
师：请同学们画图，观察上述结论是否成立？（展示学生两幅图象，图 3 和图 4）.
生：这都不是函数的图象，不符合函数的定义.
生：第二个图修改 处的值就是函数图象了，而且这个函数没有零点.
师：这说明必须有图象是一条不间断的曲线.
（板书）函数零点存在性定理：若函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f（a）f（b）＜0，则函数 y=f（x）在区间（a，b）上有零点.
4.反思质疑，完善建构
师：我们根据所画函数图象来验证了函数零点存在性定理，同学们有其他想法吗？
生：从画图可以看出有零点的个数是不确定的，那什么时候有唯一零点呢？
生：加个条件“单调函数”.
问题 9 若函数 y=f（x）在区间[a，b]上是单调函数，图象是一条不间断的曲线，且 f（a）f（b）＜0，则函数 y=f（x）在区间（a，b）上有唯一零点.正确吗？
学生画图验证是正确的.
问题 10 若函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f（a）f（b）＜0，函数 y=f（x）在区间（a，b）上有唯一零点，那么 y=f（x）是单调函数吗？
学生上黑板画图很快说明是不正确的.
师：刚才我们改变了定理的条件、结论，交换条件和结论得到了两个命题，或画图验证了其正确性，或举反例说明其错误的.
问题 11 还能不能大胆提出一些问题？请每个同学至少给出一个问题，并配上图象说明问题是否正确.
学生小组讨论给出的问题，投影展示（限于篇幅仅给出 3 个）：
（1）若函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f（a）f（b）＜0，则函数 y=f（x）在区间（a，b）上有零点吗？还是一定没有零点？（不一定）
（2）若函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，在区间（a，b）上有零点，则 f（a）f（b）＜0 成立吗？（不一定）
（3）若函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，在区间（a，b）上恰有一个零点，则 f（a）f（b）＜0 吗？（不一定）
设计意图 定理的探究和质疑过程中，始终坚持在学生的最近发展区内设置问题，在有梯度的层次设问中逐步过渡到新问题，即进入“最近发展区”.为了培养学生提出问题的能力，在课堂上给学生适当的铺垫点拨、示范，指导学生提问的方向和思考问题的路径，教给学生正确的质疑方法.
5.当堂训练，学以致用
学生板演后讨论点评，然后总结判断方程在给定区间解的存在性的判定方法.
6.课堂小结，形成网络
本节课你有哪些收获？学到了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？学生交流后归纳，教师补充完善.
三、教学感悟
本节课创设生态的教学环境，始终以学生为主体，让学生带着浓厚的兴趣和求知欲进行自主学习研究.
1.从现实生活出发，发现鲜活的数学
传统的数学课堂往往给学生留下抽象、枯燥的印象，磨灭了学生的学习兴趣和热情，新课标明确指出：“课堂教育应回归生活，回归自然，回归社会，寻求人、自然、社会和谐统一的课程生态观”.为了达到这一目标，笔者在本课的教学中遵循合理、自然的原则，基于教学内容选择现实生活中特别是学生身边的数学素材，创设合乎逻辑的问题情境，为学生自主探究搭建舞台，使学生亲历运用数学解决问题的一系列过程，从中感受数学的力量与美.
本课由猜年龄引入二分法思想，看似简单，却包含了将生活语言转化为数学语言并运用数学方法解决问题的过程，从猜年龄又可以自然地过渡到求方程的根，为整堂课提供了一个良好的起点.
连续函数零点存在性定理，因其严格证明基于实数理论，不符合高中教学实际，教材借助函数图象，通过几何直观和归纳推理得到了该定理.因此，教学难点转向了如何引导学生画出足以归纳出完整定理的函数图象.这就造成了一对矛盾：如果教师放手让学生画，学生往往只能画出一次、二次、反比例、指对数等函数的图象，对定理的探究难以为继；而如果教师设计好函数图象，设置好问题，让学生观察和回答，这样的课堂仍然是以教师为主体，背离了生态课堂的初衷.为了解决这一矛盾，笔者从生活中找灵感，精心设计了记录教室一天温度的情境.这样的函数图象问题直观性强，容易入手，迎合了高中学生爱动手的特点，简单而内涵丰富，结论开放，不同层次的学生都能在此基础上进行自主探究.在本课的实际教学中，
学生从这一问题出发，放飞想象，通过观察、猜想、尝试，几分钟的时间就探索出多种不同的画法，为后续的教学积累了充足的素材，更重要的是，学生对这些自己挖掘的素材有着更深层次的认识.“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，在来自现实生活的情境中，学生亲身经历了知识的动态生成，自然地更新了学习方式，学到的不再是教师灌输的枯燥的数学，而是自己动手发现的鲜活的数学.
2.从被问到自问，搭建探究台阶
问题是推动学生自主探究的主要动力，启发学生的问题意识是生态课堂的重要部分，问题意识是思维的起点.美国教育家布鲁巴克认为：最精湛的教学艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要.”教师根据教学内容设置问题固然能使教学按照既定方向进行，但是学生获得的仅仅是数学上或是实验上的技术，而让学生提出新的问题，发现新的可能性，却可以唤醒学生的想象力，让学生不再缺席“提问”这一科学探究中最重要的一环.
提出可以指引探究方向的高质量问题需要学生真正的思维参与，对教师也提出了很高的要求.在本课的教学中，笔者时刻关注学生的一言一行，从学生的角度思考他们的困惑和兴奋点，适时地指导和设计铺垫，有意通过情境、疑问、查找破绽等激发学生产生更多的问题问题 5 中教师提出一系列的问题，为探究函数零点存在性定理搭建了平台，问题 9 和问题 10就是为问题 11 学生自己提问做铺垫的.
3.从具体到抽象，关注学生的思维发展
数学是思维的科学，培养学生思维能力是数学教学的主要任务.高一学生正处在抽象逻辑思维从经验型向理论型转化的关键阶段，连续函数的零点存在性定理正是这一时期训练学生思维能力的理想内容.
研究函数零点，最开始是研究简单的一元二次方程的根与其对应图象上的点的关系，再扩展到含指、对数方程的根与其对应图象上的点的关系，最后提炼出一般的方程的根与其对应图象上的点的关系.这一过程渗透了特殊与一般、数形结合的思维方法，通过这样的实际探究过程，学生对数学的思维方法有了更深的认识和领悟，不知不觉中已经成为了学生解决未来问题的“利器”.
函数零点存在性定理的导入中，教师创设了问题情境，提供了科学探索的直观载体，通过设置相应的问题，引导学生从情境信息出发，层层深入，在遇到“不间断”“f（a）f（b）＜0”这些难点时，教师将主动权交给学生，避免靠教师的“定义+解释”或是教师举例、学生说明来突破，而是千方百计引导学生通过类比和联想的思维方法，寻找到好的例子，让学生在“说理—反驳”的过程中引发思维碰撞，经历从具体到抽象的概括过程，对定理形成理性的认可，不仅牢固地掌握了定理，思维能力也得到了较大的提高.
以上三点，是笔者对课堂的出发点——现实生活情境，课堂的教学过程——问题导向，课堂的终极目标——培养思维能力三个方面的思考与实践.创设生态的教学环境，需要在每一个环节都转换视角、精心设计.图 5
是笔者对课堂教学结构的总结，只有始终将学生作为课堂探究的主体，才能打...
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