第12讲：圆锥曲线切线（精选文档）

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　第 第 12 讲：圆锥曲线的切线 不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即 0   ，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。

　（一）椭圆的切线：

　① 12222 byax在点 P(0 0 , yx )处的切线方程为12020 by yax x ②过椭圆外一点 Q（1 1 , yx ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121 by yax x ③直线 m kx y   与椭圆 12222 byax相切时，满足2 2 2 2m b k a  

　例：已知 P 为椭圆 13 42 2 y x上一动点，求点 P 到直线 0 6 2    y x 的最小值与最大值。

　（二）双曲线的切线：

　① 1 -2222byax在点 P(0 0 , yx )处的切线方程为 1 -2020by yax x ②过椭圆外一点 Q（1 1 , yx ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1 -2121by yax x ③直线 m kx y   与椭圆 12222 byax相切时，满足2 2 2 2- m b k a 

　（三）抛物线的切线：

　①py x 22 上某点 P（0 0 , yx ）的切线斜率为pxk0 ,点 P(pxx2,200)，则切线方程为pxx xpxy2) (2000  

　，即pxpx xy220 0  ， 通过观察我们知道: 与 与 x 轴的交点为 ) 0 ,2(0x与 ，切线与 x 轴的截距为切点处横坐标的一半， 与 与 y 轴的交点为)2-, 0 (20px， 在 在 y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。

　②A（1 1 , yx），B（2 2 , yx）均在抛物线py x 22上，请推证 A、B 处两切线及其两切线的交点坐标。

　 A 点处切线pxpx xy221 1 

　B 点处切线pxpx xy222 2 

　两条切线的焦点坐标（1 2 1 2,2 2x x x xp）

　我们发现：i、 两切线的交点横坐标为两个切点的中点 M 的横坐标 ii、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：

　1 22 x x pb   ( b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：

　两切线的交点纵坐标(1 222 2x x pbbp p   )与直线与对称轴的截距互为相反数

　延伸一：

　过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线

　相交于 A、B 两点 ，过 A、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点 Q，通过几何画板作图我们发现：

　绕 不论直线绕 P(0,b) 如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b 证明：令过 P 的直线为 y kx b   ，2 21 21 2( , ), ( , )2 2x xA x B xp p 联立22 x pyy kx b  

　得1 22 x x pb  

　设 A 点处切线pxpx xy221 1  ,

　 B 点处切线pxpx xy222 2 

　则两条切线的焦点坐标 Q（1 2 1 2,2 2x x x xp）

　∴1 222 2Qx x pby bp p   

　证

　 毕 延伸二、 过点 Q ( , ) a b （22 b pa  ）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点 A、B， 直线 AB 与 y 轴的截距为-b 斜率2 21 21 21 22 22ABx xx x a p pkx x p p   ∴ 切点弦方程为：ay x bp 

　 ③对于焦点在 x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用 0   求解。

　④需要需注意的是：过抛物线外一点做与抛物线仅有一个交点的直线有三条：除了两条切线之外还有一条与 x 轴平行（即斜率为 0 的直线与抛物线也只有一个交点。

　习 练习 1 ．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前 375 年-325 年），大约 100 年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线 l  圆 表示与椭圆 C 的 的圆 切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点为1 2( ,0), ( ,0)( 0) F c F c c  ，由1F 发出的光经椭圆两次反射后回到1F 经过的路程为8 33c ． 利用椭圆的光学性质解决以下问题．．．．．．．．．．．．．．．：

　：

　（ （1 ）求椭圆 C 的离心率； （ （2 ）点 P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点 P 处的切线为2, l F 在在 l 上的射影 H 在圆2 24 x y   上，圆 求椭圆 C 的方程． 】

　【答案】（1）32；（2）2214xy   ． 【分析】

　（1）由题设，若椭圆 C 的长轴长为 2 (0) a a ，则8 343a c  ，即可求离心率. （2）法一：延长2 1, F H FP 交于点0F ，易得2 0PF PF 且 H 为2 0F F 中点，由中位线的性质及点在圆上求椭圆参数 a，即可得椭圆方程；法二：设1F ， O 在 l 上的射影分别为1 0, H H ，连接1 2, , PF PF OH ，由反射性质

　设1 1FPH   则2F PH   ，即可得12 cos HH a  、0sin OH a  ，根据2 2 20 0OH OH H H   求椭圆参数a，写出椭圆方程. 【详解】

　（1）设椭圆 C 的长轴长为 2 (0) a a ， 由题意知：1F 发出的光经椭圆两次反射后回到1F 经过的路程为8 343a c  ， ∴32cea  ． （2）法一：如图：

　延长2 1, F H FP ，交于点0F ， 在2 0PF F 中，0 2 2 0, PH F F F PH F PH    ，则2 0PF PF 且 H 为2 0F F 中点， 在1 2 0FF F 中，   1 0 1 0 1 21 1 12 2 2OH FF PF PF PF PF      ，则1 24 2 PF PF a   ， 2 24, 1 a b    ，即椭圆方程为2214xy   ． 法二：设1F ， O 在 l 上的射影分别为1 0, H H ，连接1 2, , PF PF OH ，如图：

　设1 1FPH   ，则2F PH   ， 在1 1Rt FH P 中，可得1 1 1 1 1sin , cos FH PF PH PF    ，同理：2 2 2sin , cos F H PF PH PF    ， ∴  1 1 1 2cos 2 cos HH H P HP PF PF a       ， 1 21 1 20sinsin2 2PF PF FH F HOH a    ， ∵22 2 2 2 20 02( sin ) cos 42aOH OH H H a a           ， ∴椭圆方程为2214xy   ． 【点睛】

　关键点点睛：第二问，利用椭圆上点的反射性质确定相关角或边的等量关系及对称关系，再根据 2 OH  列方程求椭圆参数. 习 练习 2 ．已知抛物线21 :C x y  ，圆2 22 :( 4) 1 C x y    的圆心为点 M ． ．

　（ （1 ）求点 M 到抛物线1C 的准线的距离； （ （2 ）已知点 P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点 P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于 A ， B 两点，若过 M ， P 两点的直线 l 垂直于 AB ，求直线 l 的方程． 【答案】

　（1）

　174;

　（2）3 1154115y x    . 【分析】

　（1）求出抛物线的准线方程以及圆心坐标，利用点到直线的距离公式即可求出结果； （1）设点0( P x ，20 )x ，1( A x ，21 )x ，2( B x ，22 )x ，进而表示出 , PA PB 的斜率，由于 M 到直线 , PA PB 的距离相等，因此可得出关系式，根据韦达定理得到表达式，然后再结合 l 与 AB 垂直即可求出点 P 的坐标，进而得

　出结果. （1）

　由于抛物线21 :C x y  准线方程为：14y   ，圆2 22 :( 4) 1 C x y    的圆心 (0,4) M ， 利用点到直线的距离公式可以得到距离1 174 ( )4 4d     ． （2）

　设点0( P x ，20 )x ，1( A x ，21 )x ，2( B x ，22 )x ； 由题意得：01 x   ，1 2x x ， 设过点 P 的圆2C 的切线方程为：20 0( ) y x k x x    即20 0y kx kx x    ① 则20 02| 4 |11kx xk ，即2 2 2 2 20 0 0 0( 1) 2 (4 ) ( 4) 1 0 x k x x k x       

　设 PA ， PB 的斜率为1k ，2 1 2( ) k k k ，则1k ，2k 应该为上述方程的两个根， 20 01 2202 ( 4)1x xk kx ，2 201 220( 4) 11xk kx  ； 代入①得：2 20 00 x kx kx x     则1x ，2x 应为此方程的两个根， 故 11 0x k x  ， 22 0x k x   2 20 0 01 2 1 2 0 020 02 ( 4) 42 2 ,1AB MPx x xk x x k k x x kx x          由于 MP AB  ，202315AB MPk K x      

　故23 23( , )5 5P  3 115: 4115l y x    直线的方程为 ． 【点睛】

　(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x 1 ＋x 2 ＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 习 练习 3 ．离心率为 2 的双曲线2 212 2: 1y xCa b  上的动点 P 到两焦点的距离之和的最小值为 2 2 ，抛物线22 :2 ( 0) C x py p   的焦点与双曲线1C 的上顶点重合． （ （1 ）求抛物线2C 的方程； （ （2 ）过直线: ( l y a a 为负常数）上任意一点 M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为 AB ，坐标原点 O 恒在

　以 AB 为直径的圆内，求实数 a 的取值范围． 【答案】

　（1）24 x y  ； （2）

　4 0 a - < < . 【分析】

　（1）根据双曲线离心率、焦距求顶点坐标，结合题设即可得抛物线方程. （2）设( , ) M m a ，21 11( , )4A x x ，22 21( , )4B x x ，根据题设条件可得1x ，2x 是方程24 2 a xm x   的两个不同的根，应用韦达定理及坐标表示 0 OA OB   求参数范围. （1）

　由已知：双曲线焦距为 2 2 ，离心率为 2 ，则长轴长为 2， 故双曲线的上顶点为 (0,1) ，即为抛物线焦点. ∴抛物线2C 的方程为24 x y  ； （2）设( , ) M m a ，21 11( , )4A x x ，22 21( , )4B x x ，故直线 MA 的方程为21 1 11 1( )4 2y x x x x    ，即21 14 2 y x x x  ， 所以21 14 2 a x m x  ，同理可得：22 24 2 a x m x  ， ∴1x ，2x 是方程24 2 a xm x   的两个不同的根，则1 24 x x a ， 2 21 2 1 21( ) 416OA OB x x x x a a      ，由 O 恒在以 AB 为直径的圆内， 24 0 a a    ，即 4 0 a - < < ．

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