陈晓菲， 李 晶， 郭 蓉
（太原科技大学 应用科学学院，山西 太原 030024）
冷轧制过程中伴有的垂直振动问题一直受到国内外科研人员的关注，也是困扰钢铁企业生产的重大技术难题[1-2]。四辊冷轧机因其高精度、高产量、生产灵活等优良特点被广泛应用在航空航天[3]、钢铁冶金[4]等行业。近些年来，越来越多研究人员探索了轧机系统的非线性动力学行为。例如，Peng等[5]探索了多重非线性作用下的耦合轧机振动模型的动态分岔特性。Liu等[6]探索了电磁激励下强非线性的机电耦合主驱动系统的分岔和混沌。此外，Wang等[7]为了抑制磨机的垂直振动设计了一种新型的颗粒减振器，为轧机减振技术的研究提供了一些理论指导。
然而，实际环境中存在各种不可避免的随机扰动，如热扰动、阵风等[8-9]，这些随机扰动对轧机系统和轧制过程的稳定性以及轧制产品质量产生不同程度的影响，因此研究随机激励下轧机系统的响应具有理论和实践意义。对于轧机系统，大多数研究考虑了轧机轧制力、板带不平度等随机特性。为了进一步探索真实环境中的随机动态行为，需要更准确地描述随机因素。通常研究中所设的噪声源是高斯白噪声是因为其在数学上处理更简单，而通过色噪声引入的相关时间可以更好地描述实际的环境干扰。到目前为止，轧机系统在色噪声驱动的动态响应尚未得到很好的解决。因此，为了更好地反映轧机系统在实际工程环境中的动态行为，本文致力于分析高斯色噪声激励下四辊冷轧机垂直振动的动力学响应，利用随机平均法得到稳态概率密度函数，并进一步通过数值模拟发现了在高斯色噪声激励下四辊冷轧机垂直振动系统的随机转移。
根据四辊冷轧机结构和轧制过程实际情况，可将轧机简化为如图1所示的垂直振动模型。将上下辊系抽象为质量为m的质量块，k和c分别为支承辊与工作辊的等效刚度和等效阻尼，ΔP为冷轧机的动态轧制力变化量：ΔP=b1x+b2x2+b3x3[10]，b1、b2和b3分别为一次项、二次项和三次项系数，x为垂直方向的振动位移。F′=fsin (Ωt*)是冷轧机的谐波激励，f和 Ω 分别是谐波激励的振幅和频率。
图1 四辊冷轧机垂直振动模型Figure 1 Vertical vibration model of four-roller cold rolling mill
由图1可以得到轧机动力学方程为
将ΔP和F′代入方程(1)，方程(1)可以改写为如下动力学方程
引入以下无量纲变换：
其中，t、A、F、ω分别表示无量纲时间、阻尼、外部激励幅值和频率。研究表明，动态轧制力一次项系数b1直接影响轧机的固有频率。随着一次项系数b1的减小，轧机系统振动固有频率增大，系统的振幅减小，即控制b1的大小能有效地实现振动控制。在本文中，我们仅考虑k>b1及α> 0的情况。因此，令=α，方程(1)可以改写为以下无量纲形式：
考虑轧机所遭受的外部随机扰动，并假设该系统中的耦合项和非线性非常小，通过引入一个小参数ε(0 <ε≪1)，可以建立对应于方程(1)的随机模型
其中ξ(t)是一种指数相关的高斯色噪声，具有以下统计特征：
其中E[⋅]是数学期望运算符，D和t1表示高斯色噪声ξ(t)的噪声强度和相关时间。此外，ξ(t)满足以下微分方程：
这里ζ(t)表示均值和相关性均为零的高斯白噪声。E[ζ(t)ζ(t′)]= 2Dδ(t-t′)，其中δ( ⋅)表示狄利克雷函数。
本节结合摄动法和随机平均法分别计算给定确定性轧机系统的稳态振幅响应和随机轧机系统的时间平均均方响应。这里主要考虑轧机系统的主共振情形,即ω*=ω。
首先，考虑到确定性情况(ξ(t)= 0)，然后可以将轧机系统(4)简化为
假设x0是轧机系统(6)的解，并引入如下范德波变换：
可以得到
其中b0和ϕ0分别是振幅和相位。通过应用标准平均法，将h(x0)代入方程(8a)、(8b)可以得到
然后，我们利用摄动技术研究随机噪声对确定性稳态运动的影响。假设噪声强度很小，设
其中x0表示确定性模型(6)的解，x1表示小干扰。将式(10)代入式(4)并消除x1的高阶小项，得到
假设ε很小，引入如下变量变换
将式(12)代入式(11)，可以推导b1(t),ϕ1(t)的随机微分方程为
然后，利用随机平均法[11]可以得到以下伊藤随机微分方程
其中，W1(t),W2(t)为独立的标准化维纳过程，表示ξ(t)在ω1处的功率谱密度值。
显然，式(14a)不依赖于ϕ1，因此可以得到b1(t)的概率密度函数p(b1,t)，其满足以下Fokker-Planck-Kolmogorov方程：
根据式(16)，振幅b1的一阶矩和二阶矩为
此外，结合式(17a)、式(17b)和式(10)，可以推导出均方响应为
从式(18)可以发现均方响应E(x2)是时间t的周期函数。通过对时间t求平均值，可以得到时间平均均方响应[12]如下：
本节将验证所得解析解的正确性，并分析随机扰动对系统响应的影响。在此模拟中，选择系统参数ε=
如图2 (a)所示，我们考虑确定性情况下系统(4)的稳态幅度响应(ξ(t)= 0)，当振幅F=3.85，频率ω= 1.6时，发现平均法得到的理论解与四阶龙格-库塔得到的数值解吻合较好。有趣的是，当ω或F达到某个临界值时，稳态振幅响应上会出现多值响应现象，如图2(a)中的灰色区域所示。实际上，多值响应包含2个稳定解和1个不稳定解，即当ω或F达到某个临界值时，会发生从上分支/下分支到下分支/上分支的跳跃。显然，其本质上是高振幅和低振幅振荡的双稳态行为。因此，我们认为轧机系统具有的双稳态行为在很大程度上取决于系统的初始值。图2(b)给出了随机情况下的时间平均均方响应，从图中可以发现由随机平均法得到的近似解析解与二阶龙格-库塔得到的数值解一致。
图2 系统(4)的响应Figure 2 Responses of the system(4)
接下来，将进一步研究轧机系统在高斯色噪声激励下的随机转移现象。图3分析了噪声强度和相关时间对稳态概率密度的影响，其中系统(4)的振幅为b(t)=。通过蒙特卡罗可以获得振幅b(t)的稳态概率密度函数p(b)。如图3(a)所示，当噪声强度较小，D= 0.05时，在低振幅振荡只看到1个峰值。但是，当噪声强度进一步增加到D= 0.08时，稳态概率密度出现双峰。此外，当噪声强度D= 0.4时，稳态概率密度再次趋于1个峰值。相反，当噪声强度恒定时，随着相关时间的减少，稳态概率密度会出现双峰。因此，在图3(a)中，固定相关时间τ= 0.1，可以观察到随着噪声强度的增加，随机转移现象发生得更频繁。相反，在图3(b)中，固定噪声强度D= 0.3，可以看出随机转移现象随着相关时间的减少而更频繁地发生。这些研究表明高斯色噪声的噪声强度和相关时间都会导致双峰的出现，这意味着高斯色噪声诱导了随机转移的发生。这些由稳态概率密度变化引起的随机转移现象可以称为随机分岔。
图3 系统(4)在振幅b的稳态概率密度Figure 3 Steady-state probability densities for amplitude b of the system(4)
根据上述研究可以得出噪声强度和相关时间都会诱导轧机系统的随机转移，从而进一步导致冷轧机性能异常和轧制产品的缺陷，甚至影响轧机的安全使用。
本文研究了具有高斯色噪声和谐波力的四辊冷轧机垂直振动模型的动力学响应。通过理论分析和数值模拟发现：首先，近似解析解与数值求解吻合较好，表明所采用解析法的有效性；
其次，随着外部激励频率ω的增大或减小，在达到一定临界值时会发生突然跳跃；
最后，高斯色噪声的噪声强度和相关时间会导致轧机系统出现灾难性的随机转移。