徐 波,卢琳璋,游泰杰
(1.贵州师范大学数学科学学院,贵州 贵安新区 550025;2.厦门大学数学科学学院,福建 厦门 361005)
设自然数n≥4,Xn={1,2,…,n},Tn是Xn上全变换之集,在变换的复合下作成一个半群.自20世纪60年代以来,对Tn及其子结构的研究一直是变换半群理论中较为活跃的课题[1 -17].而要有效地对Tn及其子结构展开研究,离不开一类重要的等价关系——格林关系.
设S是半群,则下列5个关系
L={(a,b):a,b∈S,S1a=S1b},
R={(a,b):a,b∈S,aS1=bS1},
J={(a,b):a,b∈S,S1aS1=S1bS1},
D=L○R=R○L,
H=L∩R,
统称为半群S上的格林关系,这里○表示S上的二元关系的复合运算.
设α∈Tn,若∃x∈Xn1},使得xα=1α,则称α为1-奇异变换.Xn上所有1-奇异变换构成的集合,关于变换的复合运算构成Tn的子半群,记作Tn(1).它是Tn的一类新的正则右理想.本文给出了Tn(1)上的格林关系的等价描述,为Tn(1)的后续研究奠定了重要的基石.
文中未定义的术语参见文献[18].
这一部分给出Tn(1)上的格林关系R与L的等价刻画.为方便叙述,设α∈Tn(1),通常用im(α),|im(α)|以及ker(α)分别表示α的象集,α的象集中元素的个数以及等价关系α-1○α={(x,y)∈Xn×Xn:xα=yα}.又若|im(α)|=r,1≤r≤n-1,则α可以表示为
这里,Xn关于等价关系ker(α)的商集Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},而Ai在α之下的象为ai,i=1,2,…,r.
关于Tn(1)上的格林关系R有
定理1设α,β∈Tn(1),则αRβ⟺ker(α)=ker(β).
证明(⟹)设α,β∈Tn(1),若αRβ,则存在γ,δ∈(Tn(1))1使得α=βγ,β=αδ.于是对任意(x,y)∈ker(α),由xβ=x(αδ)=(xα)δ=(yα)δ=y(αδ)=yβ,知ker(α)⊆ker(β).同理可证ker(β)⊆ker(α),故ker(α)=ker(β)成立.
(⟸)若ker(α)=ker(β),则α,β可分别表示为
其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn关于等价关系ker(α)=ker(β)的商集Xn/ker(α)=Xn/ker(β)={A1,A2,…,Ar},而Ai在α,β之下的象分别为ai,bi(i=1,2,…,r).以下分4种情况讨论
情形1 1∈Xn(im(α)∪im(β)).
此时,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定义γ,δ如下:
则γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.
情形2 1∈im(β)im(α).
不失一般性设1=br,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定义γ,δ如下:
则γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.
情形3 1∈im(α)im(β).
不失一般性设1=ar,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定义γ,δ如下:
则γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.
情形4 1∈im(β)∩im(α).
不失一般性设1=ar,1=br,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定义γ,δ如下:
则γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.
关于Tn(1)上的格林关系L有
定理2设α,β∈Tn(1),则αLβ⟺im(α)=im(β).
证明(⟹) 设α,β∈Tn(1),若αLβ,则存在μ,υ∈(Tn(1))1使得α=μβ,β=υα.一方面im(α)=im(μβ)⊆im(β),另一方面im(β)=im(υα)⊆im(α),所以im(α)=im(β);
(⟸) 若im(α)=im(β),则α,β可分别表示为
其中,|im(α) |=|im(β)|=r,且Xn关于等价关系ker(α),ker(β)的商集分别为Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象为ai,Bi在β之下的象为bi(i=1,2,…,r).
接下去,分别取定pi∈Bi,qi∈Ai(i=1,2,…,r),并定义μ,δ如下:
则μ,υ∈(Tn(1))1且α=μβ,β=υα,得αLβ.
关于Tn(1)上的格林关系D有
定理3设α,β∈Tn(1),则αDβ⟺|im(α)|=|im(β)|.
证明(⟹) 设α,β∈Tn(1),若αDβ,则存在γ∈(Tn(1))1,使得αLγRβ.由定理1,得ker(β)=ker(γ);由定理2,得im(α)=im(γ).于是|im(α)|=|im(γ)|=|Xn/ker(γ)|=|Xn/ker(β)|=|im(β)|.
(⟸) 若|im(α)|=|im(β)|,则α,β可分别表示为
其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn关于等价关系ker(α),ker(β)的商集分别为Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象为ai,Bi在β之下的象为bi(i=1,2,…,r).
令
则γ∈(Tn(1))1,由定理1与定理2,得αLγRβ,即αDβ.
关于Tn(1)上的格林关系J有
定理4设α,β∈Tn(1),则αJβ⟺|im(α)|=|im(β)|.
证明(⟹) 设α,β∈Tn(1),若αJβ,则存在γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1,使得γαρ=β,δβθ=α.于是,由|im(α)|=|im(δβθ)|≤|im(β)|=|im(γαρ)|≤|im(α)|,得|im(α)|=|im(β)|.
(⟸) 若|im(α)|=|im(β)|,设α,β可分别表示为
其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn关于等价关系ker(α),ker(β)的商集分别为Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象为ai,Bi在β之下的象为bi(i=1,2,…,r).
以下分4种情况讨论
情形1 1∈Xn(im(α)∪im(β)).
此时,记Y1=Xna1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令
则γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.
情形2 1∈im(β)im(α).
不失一般性设1=br,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r,令
则γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.
情形3 1∈im(α)im(β).
不失一般性设1=αr,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令
则γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.
情形4 1∈im(β)∩im(α).
不失一般性设1=ar,1=br,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令
则γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.
最后,结合定理1、定理2、定理3与定理4,立即有如下的推论.
推论设α,β∈Tn(1),则
(1)αHβ⟺ker(α)=ker(β),im(α)=im(β).
(2)D=J.
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