王清和，赵国柱，马国鹭，朱目成，宗建宇，王立斌，彭小武
（1.西南科技大学 制造科学与工程学院，四川 绵阳 621010；
2.中国空气动力研究与发展中心空天技术研究所，四川 绵阳 621010）
高程测量是测量特征点沿铅锤线方向到测量基准的距离，相较于直接测量得到的距离值，其结果更能体现特征点的动态变化特性，被广泛运用到地质勘探[1]、大型机械装配[2]、运动部件位姿检测[3]等领域。
常用高程测量设备有经纬仪、全站仪、激光跟踪仪等通用测量设备，为准确获取传感器与物理水平基准面之间的高程值，需对传感器或测量设备在测量过程进行优化设计以及对测量值进行修正补偿[4-7]。高春峰等利用一维激光多普勒测速仪与单轴旋转惯性导航系统组合的测量方法，以车载的方式实现了对连续动态物体的高程测量，在20 km 跑车实验中实现高程测量误差的标准差在1 m 左右的预期指标[8]；
成益品等利用全站仪组成的便携式测量系统，在恶劣的海上环境实现了5.5 km的长距离高精度的高程测量目标，与经纬仪倾角法对比差值达3.2 mm[9]；
何林等利用数字水准仪与姿态探针组合的测量方式，实现了对空间特征点的高度差的测量，在10 m 测量范围实现姿态测量的相对精度优于0.001 5°[10]。上述高程测量方式受测量环境、工况以及操作便捷性等因素限制，无法在空间狭窄[11]、测量特征点阻隔[12]等环境下准确获取得到高程值。体积更小、精度更高的激光位移传感器能够适应更复杂的测量环境和工况，孙彬等探究了被测物体倾角变化对激光位移传感器测量结果的影响，从软件方面建立了一种量化的误差补偿模型，对传感器测量结果进行修正，使其能够适应复杂曲面的测量环境[13]。KIENLE P 等从硬件入手，探究了激光位移传感器内部光学机械结构的微小变化对传感器测量结果的影响，通过添加参考光束来补偿测量误差，验证了来自激光抖动、光束弯曲以及光机变形等因素对测量值的影响[14]。前者虽然能提高激光位移传感器测量得到的高程值准确性，但其优化补偿过程复杂，处理时间冗长，大大损失了激光位移传感器测量的实时响应特性；
后者在宏观上降低外部环境因素对测量得到的高程值的影响，但并未完全排除来自激光位移传感器及内部精密部件对高程测量的影响。
因此，本文提出一种基于物理水平基准的组合式高程测量方法，通过分析激光三角测量原理以及反射光束的散射光场，追溯传感器在高程测量过程中误差产生的原因，并建立了误差修正模型以及相应的数学补偿模型。通过自主研制的标定平台对基于水平基准的高程测量系统进行实验验证，将激光位移传感器修正补偿后的测量高程值与传统方法测量得到的高程值进行分析对比，其修正后高程测量误差波动能够得到有效抑制，同时为被测物体在任意姿态下的高程测量方式提供了一种更为准确的测量方法。
1.1 基于水平基准的高程测量原理
高程测量系统由激光位移传感器、高精度倾角传感器以及测量基准构成，如图1（a）所示。激光位移传感器是采用激光三角测量原理的光学精密测量仪器，激光器发出的激光信号经被测物体表面后在传感器内部转换为电信号，再在光敏面上对光斑质心位移进行识别，进而得到被测物体表面变化量（位移值）。由于激光位移传感器安装过程出现的倾角误差将会对激光光束的光路造成影响，进而对激光位移传感器测量得到的高程结果带来误差。为准确获取激光位移传感器与高精度倾角传感器组合时所形成的内部安装误差，以及在使用过程中组合测距设备与被测物体表面之间出现的倾角微变化，其高程测量方式如图1（b）所示。高精度倾角传感器一方面能够获取传感器在组合过程中形成的倾角变化，并对其进行补偿；
另一方面，在高程测量过程中，获取被测物体表面测量点处的倾角变化，反馈至修正系统，对测量得到的高程值进行补偿修正，以达到提高高程测量准确性的目的。
图1 基于水平基准的高程测量原理图Fig.1 Schematic diagram of elevation measurement based on horizontal reference
1.2 高程测量误差模型
由激光三角测距原理[15]可知，当激光投射器和光敏面与测量平面之间存在倾角时，就会产生传感器的倾角误差。激光位移传感器倾角偏差的现象对高程测量结果的影响主要表现在：激光光束射至被测物体表面时，由于光束的散射，使激光光束的光强和能量大幅度衰减，从而影响激光测量光路，进而影响激光位移传感器测量得到的高程值。
激光光束在被测物体表面的散射光场如图2所示。根据朗伯余弦定律[16]，其光强I(ω)的分布为I(ω)=I0cosω。
图2 激光光束散射光场分析示意图Fig.2 Schematic diagram of analysis for laser beam scattering light field
单位时间内，被测条形面元 dS的光能为 dE=Icos(θ0-θ)dΩ；
在当散射激光束I(ω)垂直射至接收面元 dΩ 上，假设条形面元 dS与接收透镜轴线之间的夹角 θ=θ1，将接收面元 dS均分为两部分，使两部分接收的光能相等。规定条形面元 dS绕向量转动时，逆时针转动时 θ为正，反之为负。
如图1（a）和图2（b）所示，对式（1）进一步积分有：
式中：θ1为光锥中光能质心线在接受透镜的角位置。根据激光三角测量的几何关系，光能质心在光敏面上的位移量为
联立式（2）和式（3）可知，传感器存在倾角时光敏面上的光能质心位移量x′′为
根据图1 及激光三角测量原理，可解算出未考虑倾角误差时的光能质心位移量x′：
联立式（4）和式（5），可以分析出激光位移传感器测量得到的高程值在光敏面上的偏移量误差Δxα为
式中：参数L、L′、R、x均为确定量，因此在高程测量误差模型中，激光位移传感器的偏移量误差对倾角变化 α比较敏感，是影响高程测量值精准性的主要指标。
由图1 高程测量及实现原理图分析可知，为使激光位移传感器能够在任意姿态下实现准确的高程测量，需获取激光位移传感器与安装接触面之前的倾角，对其测量值进行修正补偿，使激光位移传感器测量得到的数值能够准确体现测量特征点与基准面之间的距离，其高程测量空间坐标矢量模型如图3 所示。
图3 高程测量方法的空间坐标矢量模型Fig.3 Spatial coordinate vector model of elevation measurement method
全局坐标系oxyz是传感器在任意姿态下测量的基准坐标系，X、Y轴为传感器高程测量过程中的水平面，Z轴正方向垂直于XY轴组成的水平面竖直向下。高精度倾角传感器坐标系oqxqyqzq为倾角传感器获取姿态倾角构成的坐标系，X、Y和Z轴方向与目标坐标系oxyz一致。激光位移传感器坐标系ojxjyjzj是激光位移传感器的自身测量坐标系，是由姿态角传感器坐标系oqxqyqzq旋转平移而形成，且与各坐标轴方向一致。
在实际高程测量过程中，激光位移传感器测量得到的距离值Ls；
高精度倾角传感器获取得到传感器在XY组成的水平面上的二维倾角变化 (α,β)，即获取得到激光位移传感器在高程测量过程中的俯仰角 α和滚动角 β变化；
测量特征点在空间坐标系下的坐标表示为 (xp,yp,zp)。
因此，测量特征点在目标坐标系oxyz下的空间坐标转换为
式中：R(α,β,η) 和T(xp,yp,zp)分别为激光测距设备的转换矩阵和平移矩阵。
由于激光位移传感器坐标系ojxjyjzj是由高精度倾角传感器坐标系oqxqyqzq平移转换得到，因此有：
式中：Tt(xtp,ytp,ztp)为坐标系oqxqyqzq到坐标系ojxjyjzj的平移矩阵，其平移参数为 (tx,ty,tz)；
(xtp,ytp,ztp)为激光位移传感器坐标系原点在高精度倾角坐标系下的坐标。
因此，测量特征点P在激光位移传感器坐标系下测量得到的高程值为
则测量特征点P在目标坐标系下测量得到的高程值为
式（10）即为高程测量的数学修正模型。在高程测量过程中，高精度倾角传感器获取到激光位移传感器在水平面上的二维倾角变化 (α,β)，然后与激光位移测量得到的测量值Ls进行初始化处理，同时根据组合高程测量方式的内部几何尺寸可以得到坐标 (xtp,ytp,ztp)以及平移参数 (tx,ty,tz)，并对测量值Ls进行进一步修正补偿；
最后对传感器最终获取得到的高程值以及参数 α 和 β进行系统性标定试验。
3.1 实验标定平台组成
为标定高程测量系统中的测量传感器以及最终测量得到的高程值，采用图4 所示的实验标定平台进行标定测试试验。本文激光位移传感器采用德国米铱ILD1420 系列的传感器，测量量程为500 mm，测量精度为0.1 μm。高精度倾角传感器型号为BWS5000，测量精度为0.001 0°。标定实验系统由安装座、升降座和控制箱组成，其主要组成设备有步进电机（Panasonic MHMF0222L 1V2M）、光栅尺（JCXE-DF-400 mm）、高精度二维倾角传感器（BWS2000S）。高精度二维倾角传感器的测量精度为0.001 0°，分辨率为0.000 5°，数据采集输出频率为5 Hz～100 Hz，通过RS-485 总线将高精度倾角传感器获取得到的数据传输至控制系统；
光栅尺用于精准获取电机运动的运动距离，其工作量程为400 mm，分辨率为0.001 mm，通过RS-422总线将光栅尺获取得到的数据传输至控制系统，在上位机对数据进行处理显示，将获取得到的数据反馈至步进电机控制单元，从而实现对标定平台高度的控制。
图4 实验标定平台组成示意图Fig.4 Schematic diagram of composition of experimental calibration platform
3.2 验证实验测试
由图4 可知，高精度倾角传感器分别安装在标定基准面下表面、标定平台上表面、升降座底部上表面，用来分别记录标定基准面（即待标定设备）沿X和Y轴的倾角变化 (α,β)以及标定平面沿X和Y轴的倾角变化 (α,β)，而光栅尺用于记录标定平面在竖直方向上的位移量，其标定验证实验设计原理如图5 所示。
图5 标定实验测试原理图Fig.5 Schematic diagram of calibration experiment test
验证X和Y轴倾角变化对传感器测量得到高程值的影响。调节标定基准面上的微分测微头改变传感器的倾角，调整范围为(-4°,4°)，规定倾角变化逆时针为正，反之为负，连续进行7 次采样试验，调整传感器的角度，并改变两次传感器的测量距离，分别记录组合激光测距设备内部高精度倾角传感器和激光位移传感器、高精度倾角传感器数据。分析对比X轴倾角变化、Y轴倾角变化、传统单一测量方式数据序列Zα和Zβ、修正后数据序列、X倾角修正误差、Y倾角修正误差，记录数据如表1 所示，分析结果如图6 所示。
表1 倾角实验数据记录Table 1 Record of inclination test data
图6 XY 轴倾角变化对应的误差分布Fig.6 Error distribution corresponding to inclination change of XY axis
上述试验表明，激光位移传感器测量得到的高程值误差主要来源于内部光敏面在X轴方向上的倾角变化；
当激光位移传感器由平衡状态向逆时针/顺时针旋转时，X与Y轴倾角引起的误差变化趋势相反，均给高程测量带来负值误差，其中由Y轴倾角变化引起的误差波动量较小；
而由X轴倾角引起的高程误差波动幅度更为明显，经修正后，激光位移传感器测量得到的高程误差可减少至20 μm 范围内。
为进一步验证测量距离变化对激光位移传感器测量得到的高程值的影响，以20 mm 为间距，改变激光位移传感器理论测量范围从450 mm 到150 mm，再以30 mm 为间距，改变激光位移传感器理论测量范围从150 mm 到450 mm，连续进行25 次采样试验。比较传统单一测量、X轴倾角修正、Y轴倾角修正、X和Y轴修正误差，分析结果如图7 所示。
图7 测量距离对测距设备误差的影响Fig.7 Influence of measuring distance on error of distance measuring equipment
针对测量量程为500 mm 的激光位移传感器，在测量距离变化的情况下，经高程测量方式误差修正后，激光位移传感器测量得到的高程值的误差波动范围可降低至±0.05 mm，并可预见其误差能够稳定在以0.05 为振幅的正弦函数范围内。试验结果表明，经修正后，XY轴倾角变化对激光位移传感器测量得到的高程值的相对误差显著降低。
调节标定平台与标定基准面之间的距离，并将标定平面调整至水平状态，对待标定设备进行重复性实验。调节标定平面与基准面之间的理论距离为434 mm，连续进行1 600 次重复采样试验，采样间隔0.5 s。根据修正后高程测量数据绘制误差分布图，如图8 所示。
图8 重复性测试试验误差波动Fig.8 Error fluctuation of repeatability test
上述试验结果表明，修正后激光位移传感器测量得到的高程值的重复性误差将得到有效抑制，通过图8 可以看出，在高程测量过程中误差波动较为集中，测量误差值基本可以控制在±0.02 mm范围内，提高了激光位移传感器在高程测量领域的准确性，增强了激光位移传感器在实际高程测量系统中的鲁棒性，使高程测量结果更为稳定可靠。
3.3 不确定度分析
根据不确定度的分析理论，高程测量系统的合成不确定度描述如下：
式中：xi为传感器直接或间接测量得到的数值；
Ω是变量 (x1,x2,···，xn)的函数，Ω=f(x1,x2,···，xn)；
u(xi)是变量xi的A/B 类标准不确定度；
ci为误差传递系数（i=1，2，···，n）。
根据说明书中倾角传感器标称的角度测量精度为0.001 0°，符合正态分布，取包含因子K=3，则其B 类不确定度为u1(α)=u1(β)=0.001 0/3≈0.005 8 mrad。当考虑环境或安装因素时，按均匀分布，其测量不确定度分量为u2(α)=u2(β)=≈0.001 1 mrad，因此高精度倾角传感器的标准不确定度为uB(α)=uB(β)=≈0.005 9 mrad；
同理，对激光位移传感器和光栅尺进行分析，其标准不确定度分别为uB(h)=≈0.169 1 mm和uA(g)=≈0.000 3 mm。
根据式（10）所示的高程测量系统修正模型，激光位移传感器测量不确定度和倾角传感器角度不确定度是高程测量不确定度的主要来源，而光栅尺测量的不确定度作为高程测量系统标定中tz(m)的引入量。因此，其高程测量系统的合成不确定度为
将相应参数带入式（12）中则系统合成不确定度为uc(Ω)=45 μm；
有效自由度 νeff采用韦尔奇-萨特斯威特（Welch-Satterthwaite）公式评估系统可靠程度，具体描述如下：
联立式（12）和式（13），该测量系统的有效自由度 νeff=50，高程测量系统合成不确定度为45 μm，通过重复性实验得到该系统误差波动范围为±20 μm，误差波动在系统不确定度允许的范围内，修正后的高程值具有较高的信赖程度。
本文采用激光三角测量原理的激光位移传感器，通过探究激光光束的几何光路，在散射光场中建立了相应数学模型，分析了高程测量系统中传感器测量误差来源，利用倾角仪获取激光位移传感器倾角变化，建立了相应的误差修正模型，并通过设计相应实验进行了验证。结果表明：本文提出的基于物理水平基准的组合式高程测量方法能够在测量空间以及测量工况等测量环境下实现精准的高程测量，经修正补偿后高程误差波动可控制在±20 μm 范围内；
高程测量系统在500 mm 测量量程范围内能够实现精准测量，其合成不确定度为45 μm，有效自由度为50，在高程测量过程中具有较高的信赖程度。本文所提出的高程测量方法从软硬件进行修正补偿，提高了激光位移传感器在高程测量过程中的精准性，能够在测量空间狭窄、测量特征点阻隔等复杂环境中实现精准测量，扩宽了激光位移传感器的适用范围，具有一定的使用和推广价值。