林庆勇
(封开县水利水电工程质量监督站，广东 封开 526500)
1.1 裂纹模型
在对有裂缝的衬砌结构进行稳定评估计算之前，必须选择裂缝模型。目前主流的混凝土裂缝数值分析模型有三种，如下所示：
(1) 离散裂纹模型。离散裂纹模型是一种用于描述裂纹产生和扩展过程的模型。在该模型中，假设裂纹出现在每个单元的边界上，并且裂纹的扩展是由节点的力状态决定的。当裂纹尖端前面节点的节点力超过抗拉强度标准时，裂纹就会扩展。为了确保裂纹始终位于单元边界上，节点会被拆分为两个节点，并假设裂纹尖端扩展到下一个节点[1-2]。
这种离散裂纹模型能够自然地模拟裂纹的形成和扩展过程，并且可以在已知裂纹位置和方向的情况下计算裂纹的深度。然而，由于在计算过程中需要不断调整元素边界，这就需要进行大量的计算工作。
通过离散裂纹模型，研究人员可以更好地理解裂纹的行为和特性，以及裂纹对材料性能和结构强度的影响。这种模型对于预测材料的断裂行为、评估结构的安全性以及设计可靠的防护措施具有重要意义。尽管在计算过程中需要耗费大量计算工作，但离散裂纹模型为深入研究裂纹问题提供了一种有效的数值方法。
(2) 分布式裂纹模型。分布式裂纹模型是一种与传统模型完全不同的方法，它不需要直接模拟裂纹。该模型假设在混凝土开裂后，材料仍然保持连续性，并允许应用各种失效标准和强度理论。在该模型中，当构件中的拉伸应力超过结构材料的极限拉伸强度时，裂纹将垂直于拉伸应力方向出现，并在法向上失去拉伸刚度[3]。
与离散裂纹模型不同，分布式裂纹模型不需要事先知道裂纹的位置和方向，也不需要改变网格和节点，因为裂纹是自动形成的。这种模型的优点在于不需要对裂纹进行明确的建模和定义，从而简化了计算过程。然而，与离散裂纹模型相比，分布式裂纹模型无法计算裂纹的宽度。
分布式裂纹模型在结构破坏分析和断裂力学研究中具有重要的应用价值。它可以帮助工程师和研究人员更好地理解结构的失效行为和裂纹扩展机制，从而指导工程设计和结构安全评估。然而，对于需要计算裂纹宽度的特定应用场景，其他方法或模型可能更为适用。
(3)断裂力学模型。断裂力学模型是一种专注于研究现有结构中裂纹扩展和不稳定性的方法。该模型考虑到裂纹尖端处的应力集中效应对裂纹扩展的影响。与分布式裂纹模型不同，断裂力学模型要求事先知道裂纹的位置，并且可以模拟裂纹的宽度、长度和深度等参数[4]。
断裂力学模型的主要目标是分析裂纹的行为特征，如裂纹的扩展速率、路径选择和扩展方向等。通过考虑材料的断裂韧性、裂纹尖端处的应力集中效应以及加载条件等因素，断裂力学模型可以提供对裂纹行为的深入理解。
该模型在许多领域中都有广泛的应用，包括结构工程、材料科学和地质学等。它可以帮助工程师评估结构的断裂风险，并制定相应的维修和加固策略。此外，断裂力学模型还可以为材料研究提供理论基础，用于开发新材料或改进现有材料的断裂性能。
断裂力学模型是一种重要的工具，用于研究裂纹行为和结构断裂问题。它能够提供有关裂纹扩展机制和断裂过程的深入洞察，从而为工程实践和材料科学领域的相关应用提供支持。
对于已经存在裂纹的隧道衬砌，考虑到上述三种模型的特点，选择了断裂力学模型作为本文的模型。
1.2 评估方法
本文采用断裂力学模型和Griffith理论对具有裂纹的衬砌结构进行稳定评估。Griffith理论是基于能量释放率的理论，它指出当应力场中的有效应力达到或超过裂纹扩展所需的能量时，裂纹将继续扩展[5]。
在研究中，考虑到二次衬砌混凝土材料的离散性和多轴强度的特点，过度追求数值精度并不一定能提高计算结果的精度，反而会使计算变得过于复杂。同时，获取更准确地参数需要付出更高的代价，而这可能导致成本与收益之间的不平衡。
基于Griffith理论，本研究利用弹性力学中的椭圆孔应力解，并提出了一套强度标准用于评估衬砌结构的稳定性。这些强度标准与裂纹扩展所需的能量有关，当应力场中的有效应力满足这些标准时，裂纹将扩展。
通过采用断裂力学模型和Griffith理论，本文为衬砌结构的稳定性评估提供了一种新的方法。这种方法能够考虑到裂纹的扩展行为和能量释放率，为工程实践中的衬砌结构设计和评估提供了有力的支持。通过合理的强度标准，可以预测衬砌结构的裂纹扩展情况，从而提高工程的安全性和可靠性，如式(1)：
(1)
式中：σ1为最大主应力，MPa；
σ3为最小主应力，MPa；
σt为裂纹尖端的最大主应力，MPa；
σs为衬砌结构材料的极限抗拉强度，MPa。
通过将有限元法获得的裂纹尖端的最大拉应力与衬砌结构材料的极限抗拉强度进行比较，可以确定裂纹是否扩展。
确定隧道衬砌结构中的裂缝是否会扩展的公式，如式(2)：
sf=σt/[σ]
(2)
式中：sf为开裂标准，如果sf
[σ]为衬砌混凝土材料的极限抗拉强度允许值，MPa。
1.3 计算示例
下面使用ANSYS有限元软件对二次衬砌厚度为50 cm的衬砌结构和Ⅴ级围岩隧道的仰拱进行计算，如图1、图2所示。
图1 衬砌结构截面计算示例
图2 拱中初始裂纹的计算模型
该模型使用PLANE42单元进行隧道混凝土衬砌的模拟。PLANE42单元由四个节点定义，每个节点有两个自由度，即在x和y方向上的平移。为了模拟围岩对衬砌结构的约束，采用了link10二维梁单元。
在建模过程中，直接使用了surfl53表面效应单元来施加不均匀分布的载荷，而无须将其转换为节点载荷，从而简化了建模过程。为了提高计算精度，载荷增量应尽可能小。在本研究中，选择了每次增加30 kPa的载荷增量。当荷载介于两个荷载水平之间时，将均匀细分载荷增量，以建立开裂荷载。
对于具有裂缝的衬砌结构，采用断裂力学模型来模拟裂缝的行为。在模型中，初始裂缝位于拱顶、拱腹、拱脚和仰拱底部，以考虑不同位置对结构的影响。
通过以上建模方法，可以对隧道混凝土衬砌的行为进行仿真分析。这种模型结合了不同的单元类型和载荷施加方式，能够更准确地描述衬砌结构和围岩之间的相互作用。同时，对裂缝的建模也能提供对结构的更详细和准确的评估。
数值模拟分析表明：衬砌结构在荷载作用下应力集中在支架上；
应力和应变随着载荷的增加而增加，裂纹会扩展。有裂纹的衬砌结构在载荷作用下的最大拉应力如图3所示。
图3 荷载～不同位置有裂纹的衬砌结构的最大拉应力
从图3可知：
(1)以最大拉应力为稳定准则，当荷载达到0.225 MPa时，完整衬砌的最大拉应力为2.061 MPa。该值超过了二次衬砌结构混凝土材料的极限抗拉强度，导致衬砌结构开裂。在不同位置引起初始裂缝所需的荷载量如下：拱脚<拱顶<拱背。(2) 根据上述曲线趋势可知，如果在拱顶和拱脚处产生初始裂纹，则应力会随着载荷的增加而显著上升。如果在仰拱处产生裂缝，与完整的衬砌相比，应力会上升大约相等的值。这表明仰拱处的裂缝对衬砌结构的稳定影响最大，而拱顶和拱脚处的裂缝造成的危险程度最高。
(3) 对于有裂纹的衬砌，在最大拉应力超过衬砌材料的极限抗拉强度后，如果荷载继续增加，应力将急剧增加。
为了进一步研究现有含裂纹衬砌结构的力学性能，进行了承载力模型试验。模型试验的比例尺为1∶10。二次衬砌由沙子、水泥和石膏的混合物制成，并用钢丝网加固。测量点分别布置在拱顶、拱肩、拱顶、拱脚和仰拱处，如图4所示。
图4 测量点布局
试验采用工业润滑脂(摩擦系数tanp=0.05；
黏度c=400Pa；
体积模量1.6 GPa)模拟围岩。作用在由低摩擦岩石材料包围的衬砌结构上的力在测试过程中，千斤顶在水平和垂直方向上施加1∶1的载荷，以模拟x∶y=1∶1时的原始圆应力场。模型箱中充满润滑脂，通过润滑脂将载荷传递到二次衬里。通过控制制动器的运动，载荷以1.56 kPa的增量递增。每次递增时，负载保持3～5 min。只有在上一次修补和衬砌变形停止后，才能进行下一次修补。重复此程序，直到试样失效。在这个过程中，数据被收集了好几次。
该试验包括完整衬砌和仰拱处有裂缝的衬砌结构的承载力分析和比较。模型中衬砌结构在荷载作用下的内力可知：
(1) 当荷载达到12.48 kPa时，完整衬砌结构的内力发生突变，导致结构失效；
对于底拱有纵向裂缝的衬砌结构，当荷载达到7.80 kPa时，内力急剧变化，导致结构失效。裂缝的存在使结构的承载力降低了37.5%。
(2) 在对完整衬砌结构施加荷载的过程中，最大轴向力和最大弯矩都出现在加强处。然而，就内力的方向而言，该横截面中的轴向力是负的，即压缩应力，而弯矩总是正的，导致作为控制横截面的衬砌内侧产生张力。轴向力产生的压缩应力抵消了弯矩产生的部分拉应力，减缓了该横截面中拉伸应力的增长。此外，压应力较低的拱脚处的正弯矩仅次于hance处。因此，这两个地方成为隧道的控制截面，而其他截面的应力较小。
(3) 当仰拱底部出现纵向裂缝时，最大弯矩出现在拱冠和仰拱底部。拱冠处的弯矩为负，表明衬砌内侧受到压缩。该横截面中的轴向力为正，拉伸应力很小。因此，该横截面处于压缩控制之下，最终导致压碎失效。相反，倒置底部的弯矩是正的，衬砌内侧有张力。该横截面中的轴向力是负的，即压缩应力，但很小。由于衬砌混凝土材料的抗拉强度远低于其抗压强度，因此，在顶部开裂后，荷载继续增加后，裂缝会扩展，最终导致结构开裂失效。
对于有裂纹的隧道衬砌，基于断裂力学有限元理论对有裂纹的衬砌结构进行建模，逐步施加荷载进行分析，并确定其最大拉应力是否超过极限抗拉强度，是一种稳定评估方法。计算结果表明：在不同位置引起初始裂纹所需的载荷量为：拱脚<拱顶<拱背<仰拱；
如果在拱顶和拱脚处产生初始裂纹，应力会随着荷载的增加而显著增加，对衬砌结构的稳定性影响最大。有裂纹衬砌结构的承载力模型试验表明：裂纹的存在降低了结构的承载能力；
仰拱底部纵向裂缝的存在使衬砌的承载力降低了37.5%。