崔鹏龙,徐善永
(安徽理工大学 电气与信息工程学院,安徽 淮南 232001)
永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM)的矢量控制需要位置传感器对转子位置进行实时检测,而这类传感器的引入不仅降低了系统的可靠性,而且增加了系统硬件成本,因此,对于电机无位置传感器的研究成为了研究热点。基于扩展卡尔曼滤波器(Extended Kalman Filter,EKF)的无位置传感器控制方案不仅可以在相对较宽的速度范围内对转子位置进行准确估计,而且在存在系统误差与测量误差的情况下仍可对系统状态进行有效估计,并且具有收敛速度快、动态性能好、抗干扰能力强等优点[1]。但是EKF的性能严格依赖于噪声协方差矩阵的选取,如果选取不当,系统响应很难达到理想的情况,甚至会出现滤波发散、系统失稳[2]。通常情况下,EKF中的噪声协方差矩阵是未知的或者很难获取其真实值,一般通过多次试凑来确定其值,这样不仅耗时,而且具有一定的盲目性。对此,文献[3]采用遗传算法(GA)对其寻优,取得了理想的效果。文献[4]则采用多目标非支配排序遗传算法-II(NSGA-II)将速度和转矩同时作为优化的目标,实现了噪声协方差矩阵的多目标优化。
鲸鱼优化算法[5](Whale Optimization Algorithm,WOA)于2016年由澳大利亚学者Mirjalili等提出,该算法启发于自然界中座头鲸的捕食行为,属于群智能优化算法的一种,具有调整参数少、算法整体稳定性高、收敛速度快等优点。本文将其应用在了噪声协方差矩阵的优化上,并取得了较为理想的优化结果。
随着对电机控制性能的要求越来越高,传统的PI控制器难以适应于电机的高性能应用场所,而模型预测控制[6](MPC)具有原理简单、动态响应快、对模型的准确性要求不高、易于包含约束项、鲁棒性强等优点,在电力传动领域引起了众多学者研究。由于EKF具有延迟效应,使得系统在负载突变时,转速跌落较大,目前为提高永磁同步电机控制系统的抗负载扰动能力,国内外主要采用负载扰动前馈补偿的方法[7]。
综上,本文采用了鲸鱼优化算法对噪声协方差矩阵进行寻优,另外将传统的PI控制器替换为MPC控制器,并引入了Luenberger负载观测器,增强了系统的鲁棒性和快速性,仿真结果表明了本文所采用方案的有效性。
在忽略空间谐波,不考虑磁路饱和,忽略铁心损耗等情况下,表贴式PMSM在α-β坐标系下电流状态方程为
(1)
式中:uα、uβ,iα、iβ分别为α-β坐标系下的定子电压、电流;Rs、L、ψf分别为定子电阻、定子电感和永磁体磁链;ωe、θe分别为转子电角速度和电角度。
(2)
表贴式永磁同步电机在旋转正交坐标系下的转矩方程、运动方程分别为
(3)
(4)
式中:iq为旋转正交坐标系下的q轴定子电流;Te为电磁转矩;pn为永磁同步电机极对数;TL为负载转矩;J为转动惯量;B为摩擦系数;ωm为转子机械角速度。
根据状态方程(2)可构建如下的非线性数学模型,即
(5)
y(t)=Hx(t) ,
(6)
其中,x=[iαiβωeθe]T,
u=[uαuβ]T,
y=[iαiβ]T,
式中:x为状态变量;u为输入向量;y为输出向量;B为输入矩阵;H为输出矩阵。
为了适应EKF算法,这里需要对f(x)进行线性化,进而得到系统的雅可比矩阵,即
2.1 基于EKF的状态估计
假设离散化的采用周期为T,同时考虑到系统噪声W(k)和测量噪声V(k+1),根据式(5)～(6)可得
x(k+1)=x(k)+T[f(x)+Bu(k)]+W(k),
(7)
y(k+1)=H[x(k+1)]+V(k+1),
(8)
式中:W(k)、V(k+1)为互不相关的高斯白噪声,其协方差矩阵分别为Q、R。
由式(7)～(8),并根据EKF的递推公式,即可完成对PMSM转子位置及转速的在线递推估计。具体步骤如下:
(9)
2) 预测状态误差协方差矩阵,有
(10)
3) 计算卡尔曼增益矩阵,有
(11)
4) 根据测量值y(k+1)以及EKF的增益矩阵Kk+1对步骤1)中的状态预测值进行反馈校正,则
5) 更新状态预测误差的协方差矩阵,为下一次的状态估计做准备,有
(13)
以上递推迭代过程中的噪声协方差矩阵Q、R对EKF的性能影响较大,只有在选取合适的噪声协方差矩阵的情况下,EKF才能对系统状态进行有效、可靠的估计。
2.2 鲸鱼算法优化噪声协方差矩阵
鲸鱼优化算法主要由围捕猎物、气泡网捕食和搜索猎物3个阶段组成,其具体寻优过程可以参考相关文献。
通常将噪声协方差矩阵设置为[8]
Q=diag[q11q11q2q3],
R=diag[r11r11],
式中:q11、q2、q3、r11即为4个待优化的参数。
本文以电机的实际转速与估计转速之差的平方对时间的积分作为适应度函数,即
(14)
式中:e(t)为实际转速和估计转速的差值。
鲸鱼优化算法对噪声协方差矩阵的优化过程如图1所示,其中的性能指标即式(14)的适应度值。
图1 鲸鱼算法优化噪声协方差矩阵过程
模型预测控制基本原理如图2所示,主要包括预测模型、反馈校正和滚动优化3个部分[9]。
图2 模型预测控制结构框图
3.1 速度环预测模型
对式(4)进行前向欧拉离散化,并将式(3)代入其中,整理可得
(15)
式中:Ts为速度环的采样周期;ωm(k)为kT时刻的实际转速。
由上式可得
(16)
由于采样周期比较小,即认为TL在相邻的采样周期内是不变的。由式(15)减去式(16),可得转速预测模型,即
(17)
则式(17)可简写为
(18)
3.2 转速反馈校正
根据k时刻模型预测输出误差对k+1时刻的预测转速进行反馈校正。
ωp(k+1)=ωmp(k+1)+e(k),
(19)
e(k)=ωm(k)-ωmp(k),
(20)
式中:e(k)为k时刻的预测偏差;ωp(k+1)即为经过修正后的k+1时刻的预测转速。
3.3 转速参考轨迹
为了使实际转速向设定值平滑过渡,通常取如下形式的一阶指数变化的参考轨迹,即
ωr(k+1)=αωm(k)+(1-α)ωref(k),
(21)
式中:ωref(k)为转速的设定值;ωr(k+1)为转速参考轨迹;α为柔滑系数,α∈(0,1)。
3.4 优化准则
J=q[ωp(k+1)-ωr(k+1)]2+
(22)
式中:q、r为加权系数,分别表示对转速跟踪误差和q轴电流变化的抑制程度。
e(k)-ωr(k+1)].
(23)
则k时刻的q轴电流给定值为
(24)
根据永磁同步电机的运动方程与TL为阶跃常值型负载的假设,可得
(25)
取状态变量x=[ωmTL]T,输出向量y=ωm,可得如下的状态空间表达式,即
(26)
由式(25)可构建如下闭环状态观测器方程,即
(27)
上式可简写为
(28)
(29)
由式(29)可得如下的特征多项式,即
(30)
设系统矩阵(A-GC)所期望的闭环极点为λ1、λ2,则对应的期望特征多项式为
p*(s)=(s-λ1)(s-λ2)=s2-(λ1+λ2)s+λ1λ2.
(31)
对比式(30)～(31)可得输出偏差反馈增益矩阵为
本文提出的系统整体框图如图3所示,通过Matlab对该控制方案的有效性进行了验证。速度环和电流环的采样频率均为20 kHz,MPC控制器所采用的参数设置为:柔化因子取0.998,加权系数q∶r=700∶1;d、q轴电流PI控制器的比例、积分系数均设置为:Kp2=60、Ki2=4 790;EKF中的状态变量初值和误差协方差初值分别为:x0=[0.001 0.001 0.001 0.001],P0=diag[0.1 0.1 0.01 1],EKF算法的采样周期为50 μs;鲸鱼优化算法中的相关参数设置为:鲸鱼种群大小为15,最大迭代次数为10,4个待优化参数的范围均设为[1e-7,100]。系统仿真所采用的永磁同步电机参数为:直流母线电压311 V,定子电阻0.958 Ω,定子电感0.012 H,永磁体磁链0.1827 Wb,转动惯量0.000 1 kg·m2,电机极对数为4,无阻尼系数。
图3 系统整体框图
5.1 优化的EKF仿真曲线
采用鲸鱼优化算法对噪声协方差矩阵寻优的仿真环境设置为:时间2 s,空载启动,给定电机阶跃转速1 000 r/min,在0.8 s时加5 N·m的阶跃负载。最终得到的优化参数为
Q=[2.9262e-7,2.9262e-7,4.2292,2.9262e-7],R=[3.9044,3.9044].
图4为采用经过优化的Q、R进行转速估计的结果,可以看出:实际转速和估计转速几乎重合,说明采用鲸鱼优化算法进行寻优的有效性。
图4 实际转速与估计转速对比曲线
5.2 不同控制方法下的空载启动及抗负载干扰性能对比仿真
为了表明MPC配合Luenberger观测器的优越性,将其与单独的MPC控制器以及PI控制器进行了对比仿真,此时的仿真环境为:时间4 s,电机空载起动,给定阶跃转速1 000 r/min,0.8 s时加5 N·m阶跃负载,3 s时去掉负载,1.5 s时转速为800 r/min,2.5 s时转速为1 200 r/min。仿真曲线如图5所示,可以看到:MPC配合Luenberger观测器的方案无论是在启动阶段还是加载、变速阶段都表现出了优越的性能。
图5 不同控制方法下的转速响应曲线
1) 经过鲸鱼优化算法优化后的EKF使得系统状态估计准确,表明了在选取合适的噪声协方差矩阵的条件下,EKF是一种性能优越的状态观测器。
2) MPC配合Luenberger观测器的控制方案器提高了基于EKF的无传感器控制系统的稳定性和鲁棒性。
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