金贤河 李栗
摘要：文章采用仿真技术，以三维流体动力学为理论基础，利用Simdroid平台对螺带式搅拌器的内部流体进行了数值模拟。通过对搅拌器内部流体进行动态分析和数学统计，得出了流体的速度场并对其进行了分析和解释。数学基础理论在螺带式搅拌器内部流体仿真中具有重要的应用价值，能够深入研究搅拌器内部的流体运动规律，为搅拌器的设计和改进提供更加科学的理论依据。
关键词：数学基础理论；
螺带式搅拌器；
CAE仿真；
流体分析；
Simdroid平台
doi：10.3969/J.ISSN.1672-7274.2024.04.022
中图分类号：TH 16，TP 391.9 文献标志码：A 文章编码：1672-7274（2024）04-00-04
Application and Practice of Mathematical Basic Theory in Internal Fluid Simulation of Spiral Belt Stirrer
JIN Xianhe， LI Li
（School of Mathematics and Statistics， Liaoning University， Shenyang 110036， China）
Abstract：
The article adopts simulation technology， based on three-dimensional fluid dynamics theory， and uses the Simdroid platform to numerically simulate the internal fluid of the spiral belt agitator. Through dynamic analysis and mathematical statistics of the fluid inside the agitator， the velocity field of the fluid was obtained and analyzed and explained. The basic mathematical theory has important application value in the internal fluid simulation of spiral belt agitators， which can deeply study the fluid motion laws inside the agitator and provide more scientific theoretical basis for the design and improvement of the agitator.
Keywords：
mathematical basic theory; spiral belt mixer; CAE simulation; fluid analysis; simdroid platform
螺帶式搅拌器是一种常用的混合设备，其内部流体特性的研究受到了广泛关注。相关研究成果表明，搅拌器内部流体的混合效果受到多种因素的影响，例如搅拌器的结构、转速、物料性质等。流体在搅拌器内部的流动和混合是复杂的，需要运用数学模型进行仿真研究和实验验证。随着科技的不断发展，数值计算和仿真技术得到了广泛应用，将计算机模拟的方法应用到搅拌器内部流体的研究中，已经成为一个重要的研究方向。
在研究过程中，探究搅拌器内部流体的运动规律和特点是非常重要的。而数学基础理论和三维流体动力学模拟方法可大大提高对该设备内部流体的理解，能够揭示流体混合过程中复杂的运动规律和物理机制。
国内外相关研究成果表明，在数学理论应用于流体仿真方面，已经取得了一些重要成果。例如，利用CFD技术，可以对流体在搅拌器内部的流动进行三维紊流计算，揭示流体的运动规律和特性。此外，采用数值计算方法可以对流场进行数学统计，得出流体的速度场、压力场、温度场等参数。
在螺带式搅拌器内部流体特性的研究方面，国内外的研究者们做了不少工作。例如，廖泽楚[1]等人研究了新型结构的螺带式搅拌器内的流动特性，得出了新型搅拌器结构在流体混合方面的优缺点。曹阳[2]运用数值模拟和实验验证的方法，对螺带式搅拌器内部流体的流动进行了研究，对功率消耗和混合效果等参数的变化规律也进行探究。
综上所述，数学理论在流体仿真中有着广泛的应用前景，在螺带式搅拌器内部流体特性研究中发挥着越来越重要的作用。未来，随着科技的不断发展，研究者们还将进一步探索数学模型在搅拌器内部流体仿真中的应用，为混合设备的设计、运行和改进带来新的科学和技术进展。
1 流体仿真中的数学基础理论
1.1 流体力学理论
流体力学是研究流体运动规律和力学性质的学科，是流体仿真的基础理论。对流体力学理论进行研究，可以建立流体运动的数学模型，提高流体仿真的准确性。
流体模型在计算过程中需要遵循几个基本物理原理：质量守恒原理、动量守恒原理和能量守恒原理[3]。由基本物理原理得到流动控制方程：质量守恒方程（连续方程）、动量守恒方程、能量守恒方程。
（1）质量守恒方程。
得到 （1）
（2）动量守恒方程。
（2）
（3）能量方程。
（3）
1.2 解析几何理论
解析几何在CAE中的应用主要有三个方面：一是在设计准备阶段，可以精确分析几何图形，了解不同形状之间的互相关系，以及定义材料参数和迭代设计参数；
二是在设计数据处理中，可以快速检测几何错误、重叠和缝隙等缺陷，并能够根据物理原理和计算条件，预测表面张力分布等；
三是在设计结果评估阶段，可以根据几何特征快速定量分析关键尺寸和重要参数，从而保证模型的正确性和有效性。
1.3 数值计算方法
流体仿真需要大量的计算，而数值计算方法提供了对流体力学方程的近似解法，扩展了流体仿真的应用范围。
在流体仿真中，流体运动的控制方程一般为偏微分方程组，较为复杂的流动问题在目前还无法求解其精确解，只能通过相应的数值计算方法来分析[4]。而偏微分方程数值求解是流体仿真的核心，常用的离散化方法有有限元法、有限差分法、有限体积法等[5]。
有限元法对螺带式搅拌器内部流体进行数值模拟的具体步骤如下。
①将搅拌器的几何模型离散化为有限元网格。
②利用Navier-Stokes方程描述流体的运动，其矢量形式为：
（4）
使用欧拉法对方程进行求解，得到流场的速度和压力分布。
③根据黏性流体本构方程和初始条件，求解方程组得到流体的运动状态和力学特性参数。
④经过多次迭代计算，获取稳定收敛的数值解，得到最终的流场分布。
1.4 计算机模拟技术
计算机模拟技术为流体仿真提供了高效的手段，可以模拟各种流体现象和行为，通过仿真实验快速验证和改进设计方案，提高流体系统的性能，缩短设计周期。本次研究使用北京云道智造科技有限公司研发的自主可控的通用仿真平台进行流体仿真模拟。此平台具有CAD建模功能、网格剖分功能、求解分析功能、后处理功能与App开发功能。
综上所述，数学基础理论在流体仿真中具有不可替代的角色，它是流体仿真技术的核心要素之一，对于实现精确、高效、可靠的流体仿真具有至关重要的作用。
2 螺带式搅拌器的CAE仿真
2.1 几何建模
螺带式搅拌器的叶片为螺带状，螺带的数量为两到三根，被安装在搅拌器的螺杆上。螺带式搅拌器的螺距决定了螺带的外径，螺带的外径与螺距相等。文中选择的是两根螺带的螺带搅拌器，内部结构图见图一，主要结构为中央螺杆、两根螺带以及外部罐身。三维螺旋线的螺距决定了两条平行螺带之间的距离。三维螺旋线的半径决定了螺带距离中央螺杆的半径，设置不同的螺旋线半径可以生成不同的螺带组合。三维螺旋线的高度可以决定搅拌器叶片整体的高度。外部罐身两旁有入口和出口，液体由入口进入，在罐内经过充分搅拌后经由出口段。
螺带搅拌器各参数：罐身整体高度为1.3 m，半径为0.5 m；
入口高度为0.1 m，半径为0.03 m；
出口高度为0.1 m，半径为0.05 m；
内部螺旋杆半径为0.015 m，高度为1 m，距离罐身为0.15 m；
内部螺旋带截面的半径厚度为0.01 m，宽度为0.05 m，高度为1 m，螺距为0.3 m。如图1所示。
2.2 划分网格
网格划分方法主要分为结构化网格划分和非结构化网格划分两种。两种网格划分各有使用环境，主要根据网格区域内的毗邻位点是否具有相同的毗邻单元进行划分。
结构化网格只能用于规则的形状，因此不适用此建模。非结构网格设置具有灵活性，对复杂的结构处理结果更为准确，因此选用非結构网格设置对螺带叶片以及罐身进行网格划分。
由于螺带叶片与流体接触处速度场变化过于复杂，为了确保计算结果的准确性，对外部罐身约束网格尺寸为0.02 m，对内部叶片整体约束网格尺寸为0.01 m，最终得到网格单元总数为201万个。
2.3 计算模型选择
螺带式搅拌器在工作的过程中涉及层流的稳态单项流动，Simdroid平台中提供了多种流体的流动分析。对于流体运动的描述分为层流和湍流两种。层流应用于流体层与层之间互相没有任何干扰，层与层之间既没有质量的传递也没有动量的传递。湍流应用于流体层与层之间相互干扰，且干扰的力度还会随流动而增大，层与层之间既有质量的传递又有动量的传递。根据流体流动过程及流动过程中流体的物理参数是否与时间有关，可以将流体分为定常流动和非定常流动：流体运动过程中的物理量与时间无关为定常流动，也称为稳态流动。流体流动过程中某个或某些物理量与时间有关为非定常流动，也称为瞬态流动。螺带式搅拌器工作时的物理量与时间无关，所以为定常流动。
流体在仿真的过程中需要关注的性质有流体的黏性。黏性是流体在运动的状态下所产生的抵抗剪切变形的性质。黏性大小是由黏度衡量的，流体的黏度主要有动力黏度和运动黏度之分。
动力黏度：，单位：Pa.s
运动黏度：，单位：
式中，τ为切应力，du/dy为流体的剪切变形速率。
其次还应该关注雷诺数，雷诺数是流体力学中最著名的无量纲数，是决定流动是层流还是湍流的参数。雷诺数的意义是流体的惯性力和黏性力之比，雷诺数从小到大的变化是黏性力逐渐减弱的过程。
（5）
式中，ρ为密度；
V为流体流速；
L为特征长度；
μ为动力黏性系数。
2.4 边界参数设置
在稳态单向流模型中，流体从入口进入，在搅拌器内搅拌后从出口被压出。因此入口处被设置成速度入口，进入速度为1 m/s，出口处被设置成压力出口，其余罐面为无滑移壁面，螺带叶片整体设置为旋转壁面，绕z轴的旋转速度为3 rad/s。初始场的速度设置为入口方向1 m/s。
2.5 仿真结果分析
2.5.1 流体仿真效果图及分析
上述控制方程和边界条件构成封闭的方程组，利用Simdroid平台可计算得出结果模型的效果图。
当内外螺带半径分别为0.2 m、0.4 m时，得出速度云图、等值线图、切面云图、流线图，分别如图2～图5所示。
流体仿真中的速度云图代表流体在不同位置的速度大小及分布情况，使用不同颜色来表示流场不同位置的速度大小，图2能够很直观地展示出流体在罐壁处的速度呈现出螺旋式的均匀变化。
流体仿真中的速度等值线图通过连通等速线行程线条来表示速度分布，等值线表示在两个点间流体速度相等的线，被等值线包围的区域表明其中所有点的流体速度相等，图3可以直观看出螺带与壁面之间的流体速度变化情况，螺线处的速度快而罐体边缘处的速度缓慢。
螺带式搅拌器内部流体的切面云图可以说明在搅拌器运转时，流体在不同位置的流速分布情况。能够看出，在入口处以及螺带外缘处的流体流速较快，而螺带内侧靠近螺杆处的流速相对平缓，可能造成搅拌不均，为工程师后续优化设备设计和操作参数提供了一定的依据。
螺带式搅拌器中流体的流线图可以清楚地展示流体的流动轨迹，可以用来分析流体的流动情况、混合情况、受力情况等。图5中流线在入口处淤积而在出口处稀疏，反映出可能存在的流体动力学问题，如不均匀的流速分布、流体的回流、漩涡等情况。
2.5.2 仿真结果对比分析
以流线图为例，将对于不同螺带半径的流体仿真结果做对比分析。当内外螺带半径如表1所示时，所得的流线图如图6所示。
研究结果显示，螺带半径对于搅拌器内部流动状态的影响比较显著。当外螺带半径为0.4 m，内螺带半径分别为0.2 m、0.25 m、0.3 m时，流体在搅拌器中的运动会呈现出较为复杂的漩涡运动，并且会出现流体卡顿等现象，导致搅拌效果不佳，并伴随流体沉积等现象。当内外螺带半径较为接近时，如当内螺带半径为0.25 m，外螺带半径分别为0.35 m、0.3 m、0.25 m时，流体运动比较均匀，出现的漩涡也相对简单，此时搅拌效果比较好，其中以外半径为0.3 m，内半径为0.25 m搅拌效果最佳。
3 结束语
在本文中，我们通过建立数学模型和进行数值模拟，采用仿真技术，以三维流体动力学为理论基础，利用Simdroid平台对螺带式搅拌器内部流体运动规律进行了深入研究，通过对搅拌器内部流体进行动态分析和数学统计，得出如下结论。
（1）螺带式搅拌器内部流体在螺带外缘速度更快，在中心螺杆处速度较缓。同时，较小的螺带半径使流体流动更剧烈，较大的螺带半径因流体流速过慢易产生不均匀混合效應。
（2）螺带半径差值较大的搅拌器容易出现复杂的漩涡运动，同时出现流体卡顿、沉积等现象，搅拌效果并不理想。螺带半径相接近的搅拌器能够取得较好的搅拌和混合效果，同时也具有较小的涡流。在进行了多组实验并分析流线分布图后得出结论：螺带半径分别为0.3 m、0.25 m时搅拌效果为最佳。
（3）本文对于螺带式搅拌器的设计和优化具有重要意义，能够指导实际生产中的应用和改进。同时本文还展示了数学基础理论在仿真工程上的应用，进而拓展到工业领域，可为进一步发展和完善这些技术提供有益参考。
虽然本文介绍的研究课题取得了一定的成果，但仍有许多问题需要我们进一步探究和解决。例如，我们没有考虑流体的非牛顿性和非均匀性对搅拌器内部流动的影响；
同时，我们也没有对搅拌器内的气体液体两相流进行研究。这些问题仍值得我们在以后的研究中深入探讨。
参考文献
[1] 廖泽楚，高伟，刘磊，等．螺带式混凝土搅拌器混合特性及DEM模拟[J]．过程工程学报，2019（4）：668-675.
[2] 曹阳．螺带式混凝土搅拌装置数值分析与优化研究[D]．济南：山东大学，2016.
[3] 应武权．双卧轴混凝土搅拌器叶片搅拌特性研究[D]．昆明：昆明理工大学，2019.
[4] 赵欢．粘弹性流体在双层系统中的双扩散对流线性稳定性研究[D]．济南：山东大学，2019.
[5] 刘晶．结构与非结构网格的生成、转化及应用[D]．南京：南京理工大学，2006.