摘 要：平面几何中的最值问题是历年中考的热点，也是难点.当问题中含有直角或定点与定长时，则可根据图形特征构造圆，然后利用圆的性质和相关几何知识解决最值问题.
关键词：平面几何；
最值问题；
直角；
构造；
圆
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）14-0057-04
收稿日期：2024-02-15
作者简介：朱锦灶（1977.1—），男，福建省莆田人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.
平面几何中的最值问题倍受命题者的青睐，这类问题形式丰富多样，涉及的知识较多，求解方法灵活，承载着一定的选拔性功能，对学生而言具有一定的难度.本文以可构造辅助圆的几何问题为例，谈谈如何通过构造辅助圆巧妙解决一类与最值有关的平面几何问题.
1 题型一：利用直角构造圆
如果线段AB是定长，且∠APB=90°，则点P的运动轨迹就是以AB为直径的圆.然后利用圆的性质和相关平面几何知识即可求解最值问题.
例1 如图1所示，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为［1］.
解析 设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆，如图2所示.
因为四边形ABCD为矩形，所以∠BAP+∠MAD=90°.因为∠ADM=∠BAP，所以∠MAD+∠ADM=90°，所以∠AMD=90°，所以点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，连接OB交圆O与点N.因为点B为圆O外一点，所以当直线BM过圆心O时，BM最短.因为BO2=AB2+AO2，AO=AD/2=2，所以BO2=9+4=13，所以BO=13，所以BM的最小值BN=BO-AO=13-2.
点评 本题主要考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是作出点M的轨迹，然后利用直角三角形和圆的相关知识求解．
例2 如图3所示，四边形ABCD中，AB//CD，AC⊥BC，∠DAB=60°，AD=CD=4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则△MBC面积的最小值为．
解析 如图4所示，取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF.
因为AB∥CD，∠DAB=60°，AD=CD=4，所以∠ADC=120°.因为AD=CD， 所以∠DAC=30°，所以∠CAB=30°.因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°，所以∠B=90°-30°=60°，所以∠B=∠DAB，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以BC=AD=4.因为∠AMD=90°，AD=4，OA=OD，所以OM=AD/2=2，所以点M在以点O为圆心，2为半径的圆上.因为ABCD，所以∠GCF=∠B=60°，所以∠DGO=∠CGF=30°.因为OF⊥BC，AC⊥BC，所以∠DOG=∠DAC=30°=∠DGO，所以DG=DO=2，所以OG=2OD·cos30°=23，GF=3，OF=33，所以ME≥OF-OM=33-2，当O，M，E三点共线时，ME有最小值33-2，所以△MBC面积的最小值为1/2×4×33-2=63-4．
点评 本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识，确定点M轨迹的是解题关键．
例3 （1）如图5所示，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC，交BD的延长线于点M，请计算AC/BD的值及∠AMB的度数.
（2）在（1）的条件下，若OD=2，AB=8，将△OCD绕点O在平面内旋转一周．
①当直线DC经过点B且点C在线段BD上时，求AC的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线OB距离的最大值［2］．
解析 （1）AC/BD=3，∠AMB=90°，过程从略.
（2）①如图6所示，当直线DC经过点B且点C在线段BD上时，在△ODB中，∠D=60°，OB=AB/2=4.过点O作BD的垂线，垂足为H，则OH⊥BD.因为∠D=60°，所以∠DOH=30°，所以HD=1，HO=3.在Rt△OHB中，由勾股定理得BH=BO2-OH2=16-3=13，所以BD=13+1.因为△DOB∽△COA，所以AC/BD=3，即AC=3BD=3+39.
②如图7所示，因为∠AMB=90°，AB=8，所以点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且∠OMB=∠OAB=30°.欲求点M到直线OB的最大值，需确定动点M距离直线OB最远时的位置，根据图形特征，点D的轨迹也是圆，点M运动极限位置取决于∠MBO的最大值.因为OD=2，OB=4，所以当且仅当OD⊥BM时，∠MBO取得最大值.即在Rt△ODB中，sin∠OBD=2/4=1/2，所以∠OBD=30°.过点M作OB的垂线，垂足为G，则MG⊥BG，即线段GM即为所求.在Rt△MGB中，sin∠GBM=MG/MB=1/2.因为∠OBD=30°，所以∠MBA=60°-30°=30°.因为AB=8，所以AM=4，MB=82-42=43，所以MG=BM/2=23，所以M点到直线OB距离的最大值为23．
点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识.从求解过程来看，学生需熟练掌握“手拉手”模型证明三角形相似.对于求点到直线的最大距离问题，要注意寻找动点的轨迹和影响最大值的主要因素，进而运用几何知识综合判断.
2 题型二：利用定点与定长构造圆
设A为定点，如果AM的长度为定值，则点M的轨迹是以A为圆心，AM的长为半径的圆.如果题目涉及定点与定长，则可构造圆，利用圆的性质和相关几何知识求解最值问题.
例4 如图8所示，点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，6），C为坐标平面内一点，BC=22，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为．
解析 如图9，因为点C为坐标平面内一点，BC=22，所以C在⊙B上，且半径为22，在x轴上取OD=OA=6，连接CD.因为AM=CM，OD=OA，所以OM是△ACD的中位线，所以OM=1/2CD，即当OM最大时，CD最大.而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大.因为OB=OD=6，∠BOD=90°，所以BD=62，所以CD=82，且C（2，8），所以OM=CD/2=42，所以OM的最大值为42.因为M是AC的中点，则M（4，4）.
点评 本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点．
例5 如图10所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=4，点G是EF的中点，连接AG，CG，则四边形AGCD面积的最小值为［3］．
解析 如图11所示，连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值.四边形AGCD面积等于△ACG与△ACD面积之和，即S四边形AGCD=SΔACG+24．连接BG，由G是EF中点，EF=4知，BG=2，故G在以B为圆心，BG为半径的圆弧上，圆弧交BH于G′，此时四边形AGCD面积取最小值.由勾股定理得AC=10，又因为AC/2·BH=AB/2·BC，所以BH=4.8，所以G′H=2.8，即四边形AGCD面积的最小值为1/2×10×2.8+24=38.
点评 本题考查了勾股定理及矩形中与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到BG=2，从而确定出G点的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆．
例6 如图12所示，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点B′在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为．
解析 因为点B与B′关于DE对称，所以BD=B′D，则点B′的运动轨迹在以D为圆心，BD为半径的圆弧上.
①如图13所示，当点B′恰好落在AB边上时，连接AD和DE，由题意及“三线合一”知，AD⊥BD，BD=BC/2=3.在Rt△ABD中，AD=AB2-BD2=52-32=4.根据对称性得DE⊥AB.由等面积法得AB/2·DE=AD/2·BD，所以DE=12/5.
在Rt△BDE中，BE=BD2-DE2=95.
②如图14所示，当点B′恰好落在AC边上时，连接AD、DE、BB′和DB′，由题意，BD=DB′=DC，所以∠DBB′=∠DB′B，∠DB′C=∠DCB′，所以∠DBB′+∠DCB′=∠DB′B+∠DB′C，即∠BCB′+∠CBB′=∠BB′C，所以∠BB′C=90°，即BB′⊥AC.因为点B与B′关于DE对称，所以DE⊥BB′，BE=B′E，所以DE//AC，所以∠BED=∠BAC，∠DEB′=∠AB′E.由对称性得∠BED=∠DEB′，所以∠AB′E=∠BAC，所以AE=B′E，故AE=BE=B′E，即此时点E为AB的中点，此时BE=AB/2=5/2.
综上所述，BE长的范围为9/5＜BE＜5/2.
点评 本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动点B′的运动轨迹（即圆弧），并构建适当的三角形进行求解是解题的关键．
3 结束语
在初中数学教学中，教师应引导学生对平面几何中的最值问题进行归纳，并提炼出解决问题的方法，提高解题效率［4］.如果∠APB=90°，且AB的长度为定值，那么点P的轨迹是以AB为直径的圆.如果动点P到定点A的距离是定值，那么点P的轨迹是以A为圆心，AP的长为半径的圆.这两种情形是平面几何的最值问题中比较常见的，可通过构造圆，然后利用圆的性质来解决.除此以外，如果AB的长为定值，且动点P满足∠APB为定值，则动点P的轨迹是以AB为弦的圆.学生熟悉以上有关圆的几何模型，可提高分析问题和解决问题的能力，进而提升其数学核心素养.
参考文献：［1］ 刘桂景.初中数学几何最值问题的解题思路分析［J］.数理天地（初中版），2024（1）：49-50.
［2］ 崔怀胜.平面几何中与动点有关的最值问题［J］.数理天地（初中版），2022（19）：21-22.
［3］ 李鸿昌.由一道竞赛模拟题引发的探究［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2023（11）：30-32.
［4］ 李鸿昌，曹莹.例谈平面几何法“破解”圆锥曲线小题［J］.数学通讯，2017（1）：10-13.
［责任编辑：李 璟］
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