叶巧卡
数学反思性学习由于思考角度不同，有多种定义.其一认为，数学反思性学习就是学习者对所学知识的正反两个方面的思考过程，是对知识的全面认识和思考；
其二认为，数学反思性学习就是学生自觉主动地对自己的数学学习行为、方法以及由此产生的数学结果进行的审视和调控.我国著名的心理学专家林崇德教授认为，一个学习好的学生，应该是善于反思学习的学生.波利亚说过：“数学问题的解决仅仅是一半，更重要的是解题之后的回顾.” 反思是学好数学知识的重要环节，同时也是提高学生数学认识水平的关键.
本文中针对学生存在的下面四类典型问题——基础知识问题、运算问题、综合能力问题、考试心理问题，分别提出了不同的、具体的反思学习策略，从而提高学生对数学的理解并培养学生解决问题的技能.下面按照图1所示的流程进行阐述.
1 针对基础知识问题的反思学习策略
基础知识问题主要指学生对数学概念的理解不到位，记忆模糊不清，错在粗心大意或是对基础知识掌握不扎实.造成这类问题的关键是学生对数学概念，以及相似或相关的知识点等不清楚或记忆模糊.
1.1 教师层面
首先，在教学中可以通过简化概念、图像化表达、联系已知概念、举例说明、重点标注、引导学生思考等手段，促使学生更加牢固地掌握基础知识.
其次，要善于根据已有经验，准确把握易错点，并采取得力措施，如对易混淆易错的概念进行比较对照、反复强调、反复梳理等，加强对易错易混知识点的教学.
再次，有意识将学生的练习、作业或各类考试中出现的问题暴露出来，与学生一起分析导致知识缺漏、思维障碍的原因，避免无意识地再次犯错.
最后，对于基础知识问题总是出错的学生，可以引导他们多重视课本基本概念和基础知识的学习和记忆.
这样在教师的经常引导下，学生能够真正投入到课堂学习中，逐步形成较强的反思能力，减少低级错误的产生，从而促进数学学习能力的提高.
例如，在一次考试中有下面这道题：
西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测.现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.
（1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
（2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记X表示抽到一等品的箱数，求X的分布列和期望.
本题12分，但整个年级学生的平均分只有5.9分，大大低于预期.笔者针对本题进行了如下反思：
分析原因：原因是学生理解错误，把第（2）问看成了超几何分布，事实是二项分布.为什么会这样？其实是学生对这两种分布的本质没有理解透彻.
辨析实质：如何才能让学生清晰地理解和掌握二项分布与超几何分布的本质区别呢？笔者作了如下讲解.
首先，对比两种分布的概念，以帮助学生更好地理解它们.接下来，帮助学生明确它们的本质区别：
超几何分布可以看作是古典概型，它涉及从总体中不放回地抽取 m 个元素，总体中一共有 n 个元素.这意味着每次抽取都会减少总体数量.
二项分布则是由 n 个相互独立的两点分布组成，每个两点分布都有相同的成功概率.在题目中，关键词通常包括“以频率作为概率”或者“使用样本来估计总体”，以及“从大量不明确总数的产品中进行抽取”.此外，这个分布也涉及到有放回的抽样和相互独立事件.
总之，离散型随机变量分布列问题的关键在于仔细审题，捕捉关键词，以确定使用哪种分布类型来解答.最后，通过多个实际例子帮助学生判断上述问题是使用超几何分布还是二项分布来解决，从而更清晰地区分这两种分布.
1.2 学生层面
首先，学生需要重视基础知识的学习和对知识的深刻理解.这可以通过深入阅读教材，真正领悟数学概念的内涵和外延，确保基本公式和定理牢记于心.
其次，最好能自己仔细演绎一遍，以强化记忆和理解.同时，重做错误的练习题是一个有益的反思过程.
最后，通过反复学习和反思，建立起知识体系.通过重新解答做错的问题并认真分析反思，可以找出学习行为或思维方式上的问题，从而不断提高学习能力.只有掌握了知识，才能真正掌握学习的本领.
2 针对运算问题的反思学习策略
学生最常见的问题是出在数学运算上，他们通常将自己的运算错误归因于粗心，然而实际上，这些错误更常源于他们对公式的错误记忆或者未正确选择适当的计算方法，更深层次的问题在于他们对数学法则、公式等缺乏真正的理解，甚至可能因为自行“创造”公式等原因而导致错误.
2.1 教师层面
首先，可以帮助学生提高数学运算能力，通过准确记忆与计算相关的公式，特别是那些具有规律性的公式，例如三角函数的诱导公式，可借助简单的口诀来帮助记忆，从而更好地运用公式进行计算.
其次，教师可以帮助学生通过课本的脉络将那些规律性的公式联系起来，以便更好地记忆和应用它们.对于规律不那么明显的公式，可以通过在日常教学中多次运用、回顾、整理和强化记忆来帮助学生记忆和应用.
再次，定期对学生进行公式默写检查也是一种有效的方法.
最后，进行专题训练，特别是在学生掌握得不够好的领域进行限时练习，可以帮助他们提高解题熟练度，如练习对数和指数的运算，以及复杂函数的导数计算等.
另外，良好的数学运算能力需要学生具备一定的逻辑思维能力，因此，可鼓励学生通过分析来深化对公式的理解，从而提高逻辑思维水平，进一步提高数学运算能力.
2.2 学生层面
首先，学生应当重视数学的基本知识、核心技能和基本思想方法的学习.
其次，鼓励学生积极参与课堂总结或问题反思，以便他们整理每堂课所掌握的知识、方法和技巧，并在这一过程中思考自身的收获和不足之处，这有助于巩固他们的学习成果.
最后，建议学生在每次考试后进行深入的自我反思，包括考试状态、犯过的错误以及学到的知识，以总结解题思路.
通过这样的反思过程，学生能够不断巩固所学内容，提高课堂学习效率，增强综合能力，并降低运算错误的发生率.
3 针对综合能力问题的反思学习策略
综合能力问题意味着学生可能已经掌握了一定的基础知识，但他们在运用知识解决问题时存在一些不足之处.他们的思维方式相对单一，不具备辩证性，缺乏对问题的多角度思考，难以灵活应对新问题.通常情况下，学生可以解决老师已经讲过的题目，但问题一旦稍有变化，他们还是会坚持老师所讲题目的解题思路，缺乏变通性，陷入定势思维，难以应对新问题.最近几年的数学高考题再次表明：日常教学中仅仅侧重于训练解题速度和解题数量，而不注重培养学生自主思考能力是不够的.
3.1 教师层面
首先，教师可以采用多样化的方法，例如提供不同形式的练习或变式问题，以便学生获得更多的体验和理解，从而培养他们的联想和批判思维能力.
其次，重点总结各种题型，特别是那些重要的题型.实际上，不论什么题型，都存在一般的解题思路和方法.只要学生熟练掌握某类题型的解答要领，并能仔细分析特定题目的特点，就能够有效地解答这类问题.
再次，通过反复练习类似的错题，学生可以逐渐形成举一反三的能力，提高解题的灵活性和创造力，并时刻获得新的见解，从而提高思维能力.
最后，采用多种方法和手段，通过比较、总结和综合运用数学知识，帮助学生更深入地理解和掌握数学知识，提高他们的综合能力水平.
学生的思考方式不会与标准答案完全相同，但如果能够培养学生的自我反思能力，根据自己的想法寻找合适的解题思路，然后结合标准答案进行修正，学习效果将会显著提高.
3.2 学生层面
首先，对于学生经常出现的计算错误或复杂的问题，建议他们创建一个“学习反思记录”，用以审视并修正错误.在学习过程中，学生难免会遇到不会或答错的问题，特别是那些经典难题.通过对这些问题的订正和深刻反思，学生可以发现错误背后的原因，并通过纠正这些错误来弥补自己的数学知识漏洞，使数学学习更为深入，朝向深度学习迈进.
其次，鼓励学生进行问题的不同变式练习，因为变式之间常常存在看似相似但又稍有变化的关系，这将激发学生从更加灵活的角度来分析和研究问题.
最后，鼓励学生主动对经典数学问题进行适度的调整和改编，使他们能够全面经历问题的演变和发展过程，从而提升知识的迁移能力.
例如，有一次在班级答疑群里学生甲提出课本（人教A版）必修一第155页第7题“设函数f（x）=ax2+bx+c （a>0，b，c∈R），且f（1）=－0.5a，求证：函数f（x）在（0，2）内至少有一个零点”想不到怎么做，按照常规思路，若f（0）f（2）<0则可得到函数f（x）在（0，2）内有一个零点，可是好像没法证明，如果有两个零点就更复杂了.
数学科代表回答：由f（1）= －0.5a可得到a+b+c=－0.5a， 即3a+2b+2c=0，则 f（0）+f（2）=c+4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a=a>0， 因此f（0）与f（2）至少一个大于0，又f（1）<0，由零点存在性定理可得到结论.
学生甲看到科代表的解答后反问，怎么想到这么巧妙的解法？科代表回答：为了充分利用已知条件.
学生甲觉得想不到这样巧妙的思路，然后自己经过反复思考，对比各种情况，他从结论出发，得到了如下思路：
因为f（1）<0，所以取两种很容易想到且符合在（0，2）上有零点的情况：如图2，根据事件A，B分别取A的对立事件A：x1≤0， B的对立事件B：x2≥2.
A：0＜x1
A：x1≤0
B：x＜2
B：x≥2
分类的方法：先取符合条件的个别情况（简单易想到的），再取对立事件，组合起来.用AB，AB，AB，AB可表示所有情况.其中AB，AB，AB符合（0，2）上有零点；
AB+AB推出满足f（0）>0，即可得到c>0; AB即A：f（0）≤0c≤0，且B：f（2）≥04a+2b+c≥0，又结合f（1）= －0.5a，推出a-c≥0（当c≤0时，又有a>0，即a≥c是肯定的）.综上，c∈R，都只能有AB，AB，AB中的一种情况，即只能有（0，2）上存在零点的情况，证毕.
学生甲成功解决了问题，并得出了结论，即通过答案提示了零点存在的两种情况，然后倒推常规分析方法.有时我们可能不会立刻想到巧妙的思路，但如果绘制函数的图象，可以更好地帮助我们理解问题的构思.只要满足f（1）<0，同时否定f（0）<0和f（2）<0的条件，就可以得出答案.当然，对于条件3a+2b+2c=0，需要充分加以利用.引导学生经常进行自我反思，按照自己的想法探索解题思路，然后与标准答案进行对比，将会提高学习效果.
4 针对考试心理问题的反思学习策略
考试心理问题是指学生在考试环境中面对陌生问题或难题时，可能会感到焦虑，难以集中注意力，思维变得混乱，反应速度减慢.这种情况通常与情绪紧张和心态失衡有关，尤其在重要考试时，这种问题可能更加显著，而在平时则可能不会出现.出现这一问题的原因是多方面的，包括学生可能对数学感到担忧，长期以来数学知识的掌握可能不够牢固，导致在考试环境中难以保持平常的冷静，从而影响他们在考试中的表现.
4.1 教师层面
首先，与学生积极互动，表现出对他们的关心.通过评估学生的数学学习情况，深入了解他们在不同方面遇到的问题，特别是在考试过程中，包括草稿纸的使用等方面的问题.根据不同情况提供相应的解决方法.
其次，强调培养学生解题的规范性和准确性，因为正确而规范的解答可以显著减少错误.在日常作业中要求学生严格遵守解题的规范性，以提高解题速度和准确度.
其次，每次考试后，详细分析学生的问题，鼓励他们自己总结和分析.可以将典型问题整理成案例或课件，供学生查阅，帮助他们更好地理解易错知识点.
最后，尽最大努力支持学生，包括定期辅导、答疑，以提高他们的信心.只有坚持不懈的努力才能取得更好的学习效果.
现代科技的发展也为数学教学提供了巨大帮助，例如智学网等应用程序可以帮助教师迅速评估学生的答题情况，及时提供反馈，有助于区分个别问题和共性问题，以决定是否需要进行个别指导或全班讲评.
4.2 学生层面
首先，学生应重视数学学习，每日投入充足时间来巩固基础知识.
其次，在非智力因素方面，平时的训练和培养至关重要.将一般性考试视为时间管理和情绪控制的练习场，努力克服焦躁情绪，提高自信心，以保持情绪稳定.
最后，每周的定时练习应设置时间限制，力求在两小时内完成.考试时要明智地规划时间，逐步提高解答“选择、填空和解答题”的速度.只有通过渐进的量变，才能实现质的飞跃.坚持不懈才能看到显著的效果.
一些学生已经总结出，每当他们完成一道数学题后，重新审视题目，总能够发现一些常犯错误，这对于在考试中避开陷阱非常有帮助.此外，还有学生对一道关键性的问题进行了详尽的反思，写下了两页的思考，从中获得了深刻的理解和领悟.这些都是学生通过反思性学习在数学问题中所获得的成果.
总而言之，通过针对典型问题的反思性学习，可以培养学生批判性思维技能.学生通过从错误中反思、探究和吸取教训，从失败中找出原因，养成反思学习的学习习惯，从而不断提高解题能力和创造性思维能力.
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