董继蕾 缪广红 张宏学 卢小雨
【摘 要】 以两根等长等宽等高的矩形截面异质双材料叠合悬臂梁为对象，研究双材料叠合悬臂梁受集中荷载作用时的解析解和有限元解。先利用弹性理论对双材料叠合悬臂梁进行内力分析，然后利用有限元分析软件对双材料叠合悬臂梁进行数值模拟分析，并将模拟结果和应力解析解进行比较。结果表明：叠合梁上、下两层梁中，弯矩-剪力是按照其刚度来分布的，当上层梁自由端上所承受的外力总和大于或等于某值时，上层梁与下层梁的弯矩才能维持相对稳定的接触；
解析解和有限元解比较一致，验证了弹性理论应力解析解的正确性。
【关键词】 叠合梁；
集中荷载；
弹性理论；
有限元分析
Analytical Solution and Finite Element Analysis of Bimaterial Composite Cantilever Beams Subjected to Concentrated Loads
Dong Jilei， Miao Guanghong， Zhang Hongxue， Lu Xiaoyu
（Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001，China）
【Abstract】 The analytical and finite element solutions of two heterogeneous bimaterial composite cantilever beams with rectangular cross-sections of equal length， width， and height under concentrated loads are studied. Firstly， the internal force analysis of the bimaterial composite cantilever beam is conducted by using elastic theory. Then， numerical simulation analysis of the bimaterial composite cantilever beam is carried out by using finite element analysis software， and the simulation results are compared with the stress analytical solution. The results show that in the upper and lower beams of the composite beam， the bending moment shear force is distributed according to its stiffness. When the total external force borne by the free end of the upper beam is greater than or equal to a certain value， the bending moment of the upper beam and the lower beam can maintain relatively stable contact; the analytical solution is consistent with the finite element solution， which verifies the correctness of the stress analytical solution in elastic theory.
【Key words】 composite beams; concentrated loads; elastic theory; finite element analysis
〔中图分类号〕 TB301 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）02- 0052 - 05
[收稿日期] 2023-12-20
[基金项目] 国家自然科学基金“基于湿-热-弹本构和刚柔耦合理论的变桨旋转风力机叶片动力学特性研究”（119002002）；
2021年度安徽省高等学校省级质量工程项目（2021xxkc033）；
省级研究生线下示范课程：弹塑性力学（2022xxsfkc023）
[作者简介] 董继蕾（1990- ），女，硕士，安徽理工大学力学与光电物理学院实验师，研究方向：力学实验教学与学科竞赛。
0 引言
叠合梁是由两种或两种以上材料组合而成的梁构件，多种材料叠合而成的叠合梁能充分发挥每一种材料的性能，在力学性能、经济效益和绿色环保等方面展示出单种材料梁无法比拟的优势［1］。
由于叠合梁的种种优势，其在工程应用中有很高的实用价值，目前已有大量关于叠合梁的研究成果。易超［2］根据材料力学、弹性力学相关理论对受任意线性荷载下的悬臂梁进行分析，提出了满足相容方程和边界条件的应力函数表达式，采用半逆解法得到了悬臂梁的应力和位移解。谭宸［3］基于MATLAB平台，开发了一个结构良好、易于使用的计算悬臂梁结构弹性变形的有限单元分析程序。利用该程序，可以进一步加深学生对采用有限元法分析问题编制程序的理解。万泽青等［4］为分析由不同材料组成的任意多层合梁的弯曲性能，以一矩形截面层合梁为例，采用相当截面法确定了组合截面中性轴的位置，利用静力平衡条件建立任意多层复合材料层合梁横截面上任一点处弯曲切应力的一般公式。刘一华等［5］采用弹性力学的应力函数法，求得了双材料叠合悬臂梁在自由端受集中力作用时的理论解，所得的应力理论解可退化为已有的单材料悬臂梁在自由端受集中力作用时的理论解。郝英奇等［6］研究了钢纤维混凝土组合材料中应力波演化机理及衰减规律。Bouazaoui.L等［7］对粘结钢—混凝土组合梁进行了一系列的力学性能试验，将薄板钢梁和混凝土板材用胶粘剂进行粘接组合，结果表明，该方法能够有效地提高混凝土构件的承载能力。Nasser-Eddine等［8］通过将两个相同梁的两端面接触连接起来，验证通过边界指数形式可以控制稳定系统。
以上研究主要集中在两种异质材料的叠层结构上，国内外关于双材料叠合梁受荷载作用时的解析解和有限元分析还很少，采用弹性理论进行分析的研究更是鲜见。本文将在已有研究成果的基础上，利用弹性理论对双材料叠合梁受集中荷载作用时进行解析分析和有限元分析，以检验其弹性力学解析解的正确性，并将有限元分析与理论分析进行对比。
1 叠合悬臂梁弹性理论解析解
如图1所示，设由两根等长等宽等高异质材料的矩形截面梁叠合的叠合悬臂梁，叠合悬臂梁的长度为[L]，宽度为[b]，高度为[h]，在自由端受集中向下的集中力[P]作用。假设上梁的弹性模量为[E1]，泊松比为[μ1]；
下梁的弹性模量为[E2]，泊松比为[μ2]。
1.1 叠合悬臂梁轴力
上、下层梁中的轴力分别为：
[FN1=-h0σx1bdy=0FN2=0hσx2bdy=0] （1）
其中：[FN1]、[FN2]分别为上层梁和下层梁的轴力值；
[σx1]、[σx2]分别为上层梁和下层梁的正应力值。
1.2 叠合悬臂梁剪力
上、下层梁中的剪力分别为：
[FQ1=-h0τxy1bdy=E1I1E1I1+E2I2FFQ2=0hτxy2bdy=E2I2E1I1+E2I2F] （2）
其中：[FQ1]、[FQ2]分别为上层梁和下层梁的剪力值；
[τxy1]、[τxy2]分别为上层梁和下层梁的剪应力值。
1.3 叠合悬臂梁弯矩
上、下层梁中的弯矩分别为：
[M1=-h0σx1ybdy=E1I1E1I1+E2I2Fx-lM2=0hσx2ybdy=E2I2E1I1+E2I2Fx-l] （3）
其中：[M1]、[M2]分别为上层梁和下层梁的弯矩值；
[I1=I2=bh312]分别为上层梁和下层梁的惯性矩。
通过对叠合梁横截面受力情况的分析，可以看出在叠合梁上、下两层中，弯矩-剪力是按照其刚度来分布的，也就是说，弯矩-剪力分布在叠合梁上、下两层中。而且，在梁的端部，当上层梁所受的外力之和[F1≥E1I1FE1I1+E2I2]时，叠合梁在荷载作用下发生变形，上层梁和下层梁结构之间始终存在着一定的接触。相反，在上面受到的外力的总和[F1]满足[F1≤E1I1FE1I1+E2I2]时，上层梁和下层梁两个层间存在着相互分离和独立的变形过程，其变形过程由有限元软件得到，如图2所示。
2 有限单元法结果检验
有限元法是一种基于有限元理论的数值计算方法，它的基本思想是：将一个连续的结构离散为有限多个单元，在每一个单元内设置有限多个结点，将一个连续体系视为一系列仅在结点上相连的单元所组成的整体。采用有限元方法，以场函数的结点值为基元，对每个单元引入一种近似的内插函数，来描述各单元内的场函数分布，并运用变分原理，构建有限元方程，将连续区域内的无穷自由度问题转化为离散区域内的有限自由度问题。
在此基础上，本文提出了一种新的数值分析方法。有限元法在固体力学、流体力学、热传导、电磁、声学、生物力学等方面有着重要的应用。有限元法有如下特点：
（1）整个系统离散为有限个元素。
（2）将能量最低原则和函数的数值性质联系起来，建立相应的数学模型。
（3）处理过程非常简明。
（4）线性、非线性均适用。
（5）离散处理需要在整个局部区域进行，这个过程需要大量的输出空间和计算机内存，并且解决问题需要相当长的时间。
（6）无限区域的问题较难仿真。
利用有限元分析对两种材料的叠合悬臂梁进行数值计算，以检验其弹性力学解析解的正确性，并将结果与理论分析结果进行对比。内力分析结果表明，只有在上部自由端面上承受的荷载足够大，才能保证上部自由端面上的应力集中。由圣维南原理可知［9］，在梁上施加集中力或等效荷载时，其应力变化微乎其微，为了分析方便，采用在右端加集中力方式进行，按上、下层中不同的弯曲刚度（[E1I1≥E2I2]、[E1I1≤E2I2]）情况进行数值求解，然后将数值解与弹性力学所得的解析解进行比较［10］。
2.1[ E1I1≥E2I2]
如图3所示计算模型1，假设叠合梁的长度[L=160 mm]，上下层材料分别为钢和铝，其中上层钢的弹性模量[E1=206 GPa]，泊松比[μ1=0.3]；
下层铝的弹性模量[E2=70 GPa]，泊松比[μ2=0.3]。上、下层梁的高度[h=23 mm]，且梁的宽度相同[b=24 mm]，自由端受向下的集中荷载[F=2 KN]。
有限元分析计算结果的位移云纹图、应力云纹图如图4-图7所示。
将[yi]分别取-23、-18、-12、-6、-0、+0、6、12、18、23[ mm]处的[σxi]，[σyi] 和[τxyi]的理论值计算出来，然后将同一处的理论值和有限元值进行比较，计算出相对误差，相对误差的计算公式为：（理论值-有限元值）/理论值×100%，计算结果如表1所示。
2.2 [E1I1≤E2I2]
如图8所示计算模型2，组合梁的长度[L=160 mm]，上、下层梁的材料分别为铝和钢，上层铝的弹性模量[E1=70 GPa]，泊松比[μ1=0.3]；
下层钢的弹性模量[E2=206 GPa]，泊松比[μ2=0.3]。其中上、下层的高度[h=23 mm]，梁的宽度[b=24 mm]，自由端受向下集中荷载[F=2 KN]。
有限元模拟计算得出的应力云纹图、位移云纹图如图9-图13所示。
将[yi]分别取-23、-18、-12、-6、-0、+0、6、12、18、23 [mm]处的[σxi]，[σyi] 和[τxyi]的理论值计算出来，然后将同一处的理论值和有限元值进行比较，计算出相对误差，相对误差的计算公式为：（理论值-有限元值）/理论值×100%，计算结果如表2所示。
如上所述，双材料叠合悬臂梁的弯曲应力分布是线性的，在弯曲刚度越大的组合梁上，应力值越大。在叠合结构中，层间存在着相对滑移，并且在任意一段变形后，层间均不再是平直结构。用有限元方法对其进行了计算，结果表明，理论与数值研究结果之间误差较小，证明理论分析结果是正确的。
3 结论
（1）根据双材料叠合悬臂梁上层梁和下层梁结构中的受力情况，发现上层梁和下层梁的剪力和弯矩均按刚度分布，且只有在上部自由端受到的外力之和大于或等于某一值的情况下，上下两层才能始终保持接触。
（2）利用 ANSYS软件，对上层梁和下层梁的刚度比值进行分析，对上层梁和下层梁不同的弹性模量进行了详细的数据分析，得到以下结论：①在不考虑上层梁和下层梁之间存在摩擦力的情况下，所得到的计算结果与理论计算的结果最为一致；
②如果上层梁的弯曲刚度比下部的弯曲刚度小，则计算结果的误差较大；
③当上部和下层梁的弹性模量增加时，计算结果和分析结果之间的误差将增加。
［参考文献］
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［2］ 易超.任意线性荷载下悬臂梁半逆解法研究［J］.四川建筑，2023，43（6）：165-168.
［3］ 谭宸.基于MATLAB平台的悬臂梁静力弹性分析［J］.山西建筑，2023，49（20）：42-45+50.
［4］ 万泽青，陶阳，夏钰.双材料层合梁的弯曲切应力分析［J］.青海大学学报，2020，38（2）：81-86.
［5］ 刘一华，朱立军.双材料叠合悬臂梁端部受集中力作用的理论解［J］.合肥工业大学学报（自然科学版），2010，33（3）：391-395.
［6］ 郝英奇，叶中豹，周新贵.钢纤维混凝土材料中应力波演化机理及衰减规律研究［J］.安徽科技学院学报，2023，37（1）：63-68.
［7］ Bouazaoui L ， Perrenot G ， Delmas Y ，et al.Experimental study of bonded steel concrete composite structures［J］.Journal of Constructional Steel Research， 2007， 63（9）：1268-1278.
［8］ Nasser-Eddine T. Stabilization of a laminated beam with interfacial slip by boundary controls［J］.Boundary Value Problems， 2015，2015（1）：
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［10］罗吉安，周星越.有限单元法分析中应力奇异问题的研究［J］.廊坊师范学院学报（自然科学版），2021，21（4）：42-45+50.
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