张 毅,于 浩,杨秀霞,姜子劼
(海军航空大学,山东 烟台 264001)
随着通信技术和计算机网络技术的发展,多智能体系统在无人系统协同控制、电力、交通等领域得到了广泛应用[1-3]。多智能体系统最显著的特征就是能够实现基于分布式通信网络的协同控制,避免了集中式控制存在的可靠低、鲁棒性差的问题。
一致性问题作为研究多智能体系统的一个重要问题,受到国内外许多学者的广泛关注,并取得了丰硕的研究成果。文献[4]通过设计一致性控制策略实现了多智能体系统在预定的时间收敛。文献[5]研究了多智能体系统的方向一致性问题,提出了系统达到一致的条件,Ren[6]等研究了拓扑切换下多智能体系统的一致性问题。文献[7]研究了均等通信时滞下多智能体系统的控制问题,给出了时滞系统的稳定性条件。文献[8]基于一致性理论,设计分布式控制律对有向切换拓扑通信条件下的多智能体系统进行了研究。
近年来,基于竞争-合作思想的分组一致性控制成为多智能体系统的研究热点。在实际应用中,复杂的多智能体系统往往由多个子网络构成,子网络内智能体是合作关系,而不同子网络间是竞争关系,各个子网络因任务的不同需收敛到各自的状态值,而同个子网络中的智能体具有相同的任务需收敛到相同的状态值。Altafini[9]等通过将通信边的权值设为负值来描述不同子网络中智能体间的竞争关系。文献[10]基于竞争原则和竞争-合作原则分别设计了多智能体系统的分组一致性控制协议,但未考虑时滞对系统的影响。文献[11]针对无拓扑结构的分组一致性问题,设计了有无时滞两种情况下的控制协议,但其采用的模型为一阶系统,实际的应用范围较小。文献[12]在文献[11]的基础上将模型推广为二阶系统,但仅考虑了在固定时滞情况下控制律的设计。
上述文献针对分组一致性的研究都是基于无向通信拓扑进行的,而对于有向通信拓扑下控制律的设计却鲜有研究;另外,上述文献仅研究了固定时滞的情形,即某一确定大小的时滞在系统中一定会发生的情况,而实际应用中,通信时滞可能是以某一概率随机出现的,所以含确定性时滞的控制律应用于实际系统具有一定的局限性。
本文在一致性控制和时滞系统理论的研究成果上,重点解决了随机时滞情况下多智能体系统的分组一致性控制问题。相比于已有的研究成果,本文通过将时滞信息与当前信息相结合,基于竞争原则进行分组一致性控制算法的设计,研究不同时滞情况对多智能体系统收敛性能的影响,解决了有向连通二部图的通信拓扑结构下具有随机时滞的多智能体系统控制问题,并通过构造Lyapunov-krasovskii函数给出了系统达到分组一致性的条件。
2.1 图论基础
在多智能体系统中,可用通信拓扑来表示智能体间的信息交换。设系统中包含n个智能体,其通信拓扑用G=(V,E,A)表示,其中V={v1,v2,…,vn}表示n个节点,即n个智能体组成的集合,vi表示第i个智能体。E={e1,e2,…,en}⊆V×V,表示拓扑图的边集,即智能体之间的通信链路集,其任一元素eij=(vi,vj)∈E表示第i个智能体能接收到第j个智能体的信息,边集权值矩阵为A=[aij],其中aij≠0(i≠j),aij=0(i=j),Ni={vj∈V|(vi,vj)∈E}表示第i个智能体邻居的集合。定义图G的入度矩阵为
D=diag{di,i=1,2,…n}
2.2 定义及相关引理
定义1(二部图[13]):设G=(V,E)表示系统的通信拓扑,如果节点的集合V可分为两个互不互不相交的子集(G1,G2),使各个边(vi,vj)所连接的两个节点vi和vj分别属于这两个不同的节点集(vi∈G1,vj∈G2),则称图为G二部图,如图1所示。
图1 含有5个节点的有向二部图
引理1[14]Moon不等式:设C∈Rn×n是任意的正定矩阵,对于任意的向量x,y∈Rn满足以下不等式
-2xTy≤xTC-1x+yTCy
(1)
考虑具有n个节点的二阶多智能体系统
(2)
其中,I={1,2,…,n},xi(t)、vi(t)、ui(t)分别为第i个智能体在t时刻的位置、速度以及控制输入。
本文的控制目标是研究系统(2)在随机时滞的情况下实现分组一致,通过设计控制律使得同一子网络中智能体的状态趋于一致。受文献[10]启发,本文用(xi(t)+xj(t))、(vi(t)+vj(t))表示智能体i和智能体j之间存在竞争关系,并考虑时滞产生的随机性,得到基于竞争原则的分组一致性控制律
(3)
其中,τ为时滞参数,γ>0,表示位置状态和速度状态的权重系数,ε(t)为随机变量,表示智能体发生时滞的随机性,0≤ε(t)≤1。
当ε(t)=0时,表示在t时刻第i个智能体能够接收到第j个智能体传输的当前信息,此时控制律为:
即为不含时滞时分组一致性控制律的形式。
当ε(t)=1时,表示智能体间无法完成当前状态信息的传输,此时控制律为
vi(t-τ)+vj(t-τ))]
即为纯时滞情况下分组一致性控制律的形式。
需要说明的是,多智能体系统的时滞取决于通信状况,当智能体间的通信数据量较小、通信质量高时,时滞量很小趋近于0;而当通信压力较大、通信质量较差时,时滞则会影响系统的稳定性,因此研究智能体间的通信时滞,需考虑时滞产生的随机性。为此,在上述控制律的设计中,本文用服从二项分布的随机变量ε(t)来描述t时刻通信时滞的随机性,更加具有实际的应用价值。
假设ε(t)服从参数为p∈(0,1)的二项分布,可得E[ε(t)]=E[(ε2(t)]=p。
将控制律带入系统模型(1)中,得到
(4)
(5)
定理:假设多智能体系统有n个智能体组成,系统时滞参数为τ,那么对于方程(5),若存在正定对称矩阵P,Q,R>0满足
(6)
则控制律(3)能够使系统(2)在基于连通二部图的通讯拓扑下达到分组一致。
证明:构造具有如下形式的Lyapunov-krasovskii函数。
(7)
令
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(8)
对(8)式求导可得
=2(1-ε(t))φT(t)PMφ(t)
+2ε(t)φT(t)PNφ(t-τ)
+ε(t)φT(t-τ)NT]R[(1-ε(t))Mφ(t)
+ε(t)Nφ(t-τ)]
+τε2(t)φT(t)MTRMφ(t)
+τε(t)(1-ε(t))φT(t)MTRNφ(t-τ)
+τε(t)(1-ε(t))φT(t-τ)NTRMφ(t)
+τε2(t)φT(t-τ)NTRNφ(t-τ)
2ε(t)φT(t)PNφ(t-τ)
≤2ε(t)φT(t)PNφ(t)+τε(t)φT(t)PNR-1NTPTφ(t)
(9)
进而可得
(10)
其中K=2(1-ε(t))PM+2ε(t)PN
+τε(t)PNR-1NTPT+Q+τ(1-ε(t))2MTRM
系统中含有的随机变量ε(t)可由期望来代替,即E[ε(t)]=p。
为方便后续简化,令
进而可得
对式(10)取数学期望得
(11)
其中W=2Pη+2pPN+τpPNR-1NTPT+Q+τηTRη。
(12)
因式(12)含非线性项,为将其转化为线性矩阵不等式,利用引理2,将W化为如下形式:
(13)
其中,Ψ=2Pη+2pPN+Q+τηTRη。
得到一致性判据
所以当满足上述定理时,具有随机时滞的多智能体系统的位置和速度状态可达成一致。
为验证控制律设计的正确性和有效性,令n=4,即4个智能体对本文设计的控制算法进行验证,多智能体系统的通信拓扑如图2所示,易知,节点v1、v2以及节点v3、v4分别属于不同的子网络G1、G2。若控制律(3)成立,则两个子网络中的智能体将分别收敛到同一状态。
图2 多智能体系统通信拓扑
设各连接边权重为1,未连接边的权重为0,位置速度权重系数γ=1.5。设系统的初始状态为:x1(0)=-6,x2(0)=5,x3(0)=-1,x4(0)=3;v1(0)=-2,v2(0)=5,v3(0)=-5,v4(0)=0。
为研究时滞以不同概率发生时对系统一致性的影响,设时滞时间τ=0.3s,分别取随机概率为0.2、0.6,得到如下仿真结果:
1)时滞τ=0.3s
从图3中可以得知,在设计的控制律作用下,随着仿真时间的增加,4个智能体的位置和速度状态能够实现随机时滞下的分组一致。
图3 随机概率为0.2时系统的状态响应
图4 随机概率为0.6时系统的状态响应
图6 随机概率为0.6时系统的状态响应
对比上述两种情况下的仿真结果可以看出,当多智能体系统存在的时滞时间一定时,随着产生时滞概率的增大,系统的位置和速度两个状态信息的波动变大,系统达到一致的速度明显变慢。
时滞τ=0.5s
对比(1)、(2)两种情况下的仿真结果可知,当系统中时滞产生的概率相同时,随着时滞时间的增加,4个智能体达到一致的时间明显变长。
本文基于有向二部图的通信拓扑结构,研究了多智能体系统在随机时滞作用下实现分组一致的问题。考虑时滞产生的随机性,设计了含当前/时滞符合状态信息的分组一致性控制律,使得对问题的研究更加符合应用实际;利用Lyapunov稳定性理论,得到了在该控制律下多智能体系统实现分组一致性的充要条件。仿真结果验证了本文控制律设计的正确性和有效性。
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