韩娜妮, 赵 莉
(陇东学院 智能制造学院, 甘肃 庆阳 745000)
多自主体系统的协调控制研究包括一致性问题[1-2]、编队控制[3-4]和集群算法[5]等.其中,分布式编队控制由于其在各领域广泛的应用而受到了学者的关注.
在编队控制中,自主体之间不仅就某些状态量要达到一致,比如时间、速度等,而且要在多自主体行进的过程中,保持预先设定的队形,同时又要适应环境的约束,其包括固定编队和时变编队.关于固定编队已经有了较多的研究成果[6-12].Alexander等[6]研究了多自主体系统的网络通信及协同控制,将多自主体之间的通信拓扑用图论来描述,并且对系统编队的稳定性进行了分析.Zhao等[7]针对一阶多自主体系统,研究了网络中有一个leader时的编队控制问题.考虑通信时延,Liu等[8]研究了二阶多自主体系统的编队控制问题,Gao等[9]研究了二阶多自主体系统的编队及避障问题.基于多步预测机制,Zhang等[10]提出了高阶离散多自主体系统的分布式编队控制协议.利用内部模型法,Wang等[11]研究了异构多自主体系统在不确定切换网络下的分布式编队输出调节问题.Seng等[12]研究了多移动机器人系统的分布式编队及障碍躲避问题.
在时变编队中,多自主体系统形成的编队按照一定规律进行变化.Rahimi等[13]研究了特殊应用领域中unmanned aerial vehicles(UAVs) 和unmanned ground vehicles (UGVs)的时变编队问题.考虑执行器故障,Hua等[14]研究了二阶多自主体系统的容错时变编队跟踪控制问题.Dong等[15]针对高阶连续多自主体系统,研究了其在切换网络拓扑下的时变编队控制问题,并且给出了时变编队参考函数的具体形式.基于分布式观测器,Gong等[16]研究了分数阶线性多自主体系统的时变编队控制问题.Wang等[17]利用自适应控制方法研究了高阶多自主体系统分布式编队控制问题.文[18～21]是多自主体系统时变输出控制的研究成果.Dong等[18]利用动态反馈的方法研究了连续高阶多自主体系统的时变输出编队控制问题.考虑网络拓扑切换对系统的影响,Hua等[19]研究了系统参数和维数都不同的异构多自主体系统的时变输出编队跟踪问题.Duan等[20]通过设计自适应有限时间观测器,观测leader的状态及相互的信息交换,以实现多自主体系统的有限时间时变输出编队跟踪控制目标.Hua等[21]假设leader的输入未知,利用自适应更新机制设计了分布式观测器,研究了异构多自主体系统的时变输出编队跟踪问题.
时延广泛存在于实际系统中,其不仅会影响系统的性能指标,甚至会破坏系统的稳定性[22-23].本文考虑时变时延,研究了有向拓扑网络下的高阶多自主体系统的时变编队跟踪控制问题.首先,针对follower自主体,设计了基于分布式观测器的时变编队跟踪控制协议,然后利用图论及李雅普诺夫稳定定理,分析了所设计协议有效的充分条件,并且对时变编队参考函数进行了详细的分析.仿真结果证明所设计的协议能使follower自主体形成所要求的时变编队,并且跟踪leader的轨迹.与文[15,18,19]对比,本文的创新点有两点:(1) 假设follower自主体不能得到leader自主体的信息,利用leader自主体的输出设计了状态观测器;(2) 对follower自主体设计了时变编队跟踪控制协议,使得follower自主体在实现时变编队的同时,跟踪leader自主体由输入控制的任意状态轨迹.
考虑由1个虚拟leader自主体和N个follower自主体组成的多自主体系统,其中leader的数学模型描述为
(1)
其中:A∈Rn×n、B∈Rn×r、C∈Rm×n分别为系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵;x0(t)∈Rn、u0(t)∈Rr、y0(t)∈Rm分别是leader的状态、控制输入和输出.
N个follower自主体的模型描述为
(2)
其中:xi(t)∈Rn、ui(t)∈Rm是第i个自主体的状态和控制输入.
定义1对于follower自主体,若存在函数r(t)满足
(i=1,2,…,N)
(3)
则称follower自主体实现了时变编队,并且跟踪leader的轨迹.其中:hi(t)是时变编队函数,r(t)是编队参考函数.
注1参考文[15,19,23]中关于状态(输出)时变编队的定义,在式(3)中加入虚拟leader状态项x0(t),以实现时变编队跟踪控制目标.
假设1Follower自主体网络拓扑中存在有向生成树.
引理1[25]若图G满足假设1,则对应的矩阵L有一个特征值为0,其余特征值均具有正实部.
针对follower自主体(2),设计如下的时变编队跟踪控制协议:
xj(t-τ(t))+hj(t-τ(t)))
(i=1,2,…,N)
(4)
(5)
其中:K1∈Rr×n、K2∈Rr×n、L0∈Rn×m是常数矩阵;τ(t)是时变时延,满足:
(6)
(7)
根据状态观测器的设计原理,当A+L0C的特征值均具有负实部时,观测器(5)有效,即
则
(8)
其中:I表示适维单位阵;⊗表示克罗内克积.
将其代入系统(8)中,有
(9)
式(9)两边同时左乘(U-1⊗In),则
(10)
引理2若下式成立:
(13)
则系统(2)在编队协议(4)的作用下可实现编队跟踪控制.
(14)
(15)
引理4[22]假设ζ(t)∈Rn是一阶连续微分向量函数,则对于任意矩阵Q1∈Rn,Q2∈Rn和X=XT>0,下式成立:
(16)
下面给出follower自主体在协议(4)作用下实现时变编队跟踪控制的充分条件.
定理1假设follower自主体网络中存在有向生成树,矩阵A+L0C的特征值均具有负实部,若下列条件同时成立:
(i=1,2,…,N;j∈Ni)
(17)
2) 存在正定对称矩阵P、Q、R及矩阵P1、P2,满足
(i=1,2,3,4)
(18)
则follower自主体(2)在控制协议(4)的作用下能实现时变编队跟踪控制目标.其中:
证明若式(17)成立,则
(19)
(20)
(21)
当式(21)成立时,系统(12)可以写为
(22)
系统(22)的稳定性等价于如下系统的稳定性:
(i=2,3,…,N)
(23)
(i=2,3,…,N)
(24)
针对系统(24),构造李雅普诺夫函数:
Vi(t)=Vi1(t)+Vi2(t)+Vi3(t)
(25)
其中:
对式(25)求导,有
(26)
(27)
(28)
其中:
(29)
根据引理4,有
根据式(26～31),可得:
(32)
其中:
根据Schur补原理及引理3,可得当式(18)成立时,系统(23)渐近稳定,即系统(22)渐近稳定.根据引理2及定义1,follower自主体实现了时变编队,并且跟踪leader的轨迹.即证.
注2系统(22)和系统(23)不等价,但当系统(23)渐近稳定时,系统(22)也渐近稳定.
当矩阵K1、K2未知时,可由下面的定理2确定.
(33)
其中:
证明令
根据Schur补原理,式(18)可以写为
(i=1,2,3,4)
(34)
其中:
选择P1=-P,P2=Q,则
(35)
对式(34)左乘diag{Ψ-T,I,R-1},右乘diag{Ψ-1,Ι,R-1},可得:
(i=1,2,3,4)
(36)
其中:
Ψ-Tdiag{Q,-(1-μ)Q}Ψ-1
推论1当系统(2)实现时变编队跟踪时,其编队参考函数满足:
(37)
证明当编队实现时:
(38)
(39)
根据式(11),有
φ(t)=e(A+BK1)tφ(0)+
(40)
因为
(41)
所以
(42)
根据式(38)和定义1,有
即证.
本文考虑由4个follower自主体组成的多自主体网络,假设其为有向网络,并且存在一个生成树,具体如图1所示.4个自主体的编队函数分别为
图1 多自主体系统网络拓扑图
图2 系统(12)状态轨迹图
为了进一步证明所设计协议的有效性,将协议(4)应用于系统(2)中,得到t=0.1、1、10、12 s时的follower自主体的状态轨迹,如图3所示,其中,星号表示编队参考函数.由图3中可以看出,4个follower自主体经过一段时间形成所要求的时变编队.
图3 Follower自主体的编队状态图
假设leader的控制输入为常数,图4是leader-following自主体网络的状态轨迹图.从图4中可以看出,当follower自主体形成时变编队的同时,还跟踪leader的轨迹,证明所设计的协议有效.
图4 Leader-following多自主体系统跟踪轨迹图
本文针对存在时变时延的连续多自主体系统,假设follower自主体不能得到leader的状态信息,设计了基于状态观测器的分布式时变编队跟踪控制协议,利用图论及李雅普诺夫稳定定理证明了协议的有效性.今后的研究方向主要是异构多自主体系统的时变编队跟踪控制.
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