耿 勇,张金玉,王 丹,李春晖,王晓丽
齐鲁工业大学(山东省科学院) 数学与人工智能学部,山东 济南 250353
孤立子理论的提出和发展[1-3],极大地促进了非线性偏微分发展方程的研究。学者们提出了一系列求孤子方程的经典方法,如Hirota双线性导数法[4]、Bäcklund变换法[5]、CK直接法[6]、Darboux变换法[7]、Wronskian 行列式法[8]、幂级数法[9]、Lie对称法[10]等。其中Hirota双线性导数法是日本数学家Hirota在1972年提出的,其思想是通过适当的变换将偏微分方程化为双线性形式,并用摄动法求得其孤子解。
1996年,Lambert、Gilson、Nimmo在Bell多项式的理论基础上,建立了Hirota双线性算子和Bell多项式之间的联系[11],解决Burgers等方程的双线性化问题。本文将利用Bell多项式和双线性算子之间的关系,研究(2+1)维变系数Sawada-Kotera(S-K)方程的多孤子解。
该方程在亚临界弦、量子引力规范场论、共形场论等物理分支[12-14],例如Dresselhous自旋轨道耦合体系[15-17]中具有广泛的应用。当α=1,β=-5,γ=5时,方程(1)可化为(2+1)维Sawada-Kotera(S-K)方程[12]
该方程是著名刘维尔场论中的一类守恒流方程,精确孤子解已由Hirota双线性法求出[18-19]。
下面给出Bell多项式和双线性算子的关系,并且求解方程(1)的孤子解。
定义1[20]假设f=f(x1,x2,…,xn)是一个定义在C∞上的n元函数,称
为f的Bell多项式。
例如,若f=f(x,y),则f的Bell多项式为:
Yx,y(f)=fxy+fxfy。
(6)
定义2[21]假设v=v(x1,x2,…,xn),w=w(x1,x2,…,xn)是两个定义在C∞上的n元函数,称
Yn1x1,n2x2,…,nlxl(v,w)≡Yn1x1,n2x2,…,nlxl(f)|f, (7)
例如,若v=v(x,y),w=w(x,y),则(v,w)的双Bell多项式为:
特别地,当v=0,w=ln(f2(x,y))时,(8)和(9)式化简为:
Y3x,y(v,w)=2(fxxxyf-3fxxyfx+3fxyfxx-fyfxxx)f-2; (10)
定义3[22]假设f=f(x,t)和g=g(x,t)都是关于变量x和t的可微函数,引入新的微分算子,称
为作用在函数f和g上的双线性算子,其中m和n是非负整数。
性质 1[23]设f=f(x,t)和g=g(x,t)都是关于变量x和t的可微函数,双线性算子具有如下性质:
定理 1[24]设f=f(x,t)和g=g(x,t)都是关于变量x和t的可微函数,双Bell多项式和双线性算子之间存在如下等价转换关系
特别地,当f(x,t)=g(x,t)时,有
f-2DxDy(f·f)=Yx,y(v=0,w=ln(f2)), (14)
f-2D6x(f·f)=Y6x(v=0,w=ln(f2))。
(15)
定理2 设u=6(lnf)xx,变系数(2+1)维S-K方程(1)的双线性形式为:
证明:在方程(1)中,令u=3qxx,在等式的两边对x进行积分并取积分常数为0,化简得到:
将q=2lnf代入(17),得到
由(10)式和(11)式,化简(18)式得到方程(1)的双Bell多项式形式为:
Yx,t(v=0,w=lnf2)+αY6x(v=0,w=lnf2)+βY2y(v=0,w=lnf2)+γY3x,y(v=0,w=lnf2)=0。
(19)
由(14)式和(15)式,化简(19)式得到方程(1)的双线性形式为:
定理3 变系数(2+1)维S-K方程(1)的N孤子解为:
特别地,当N=1时,单孤子解为:
当N=2时,双孤子解为:
u=6[ln(1+eη1+eη2+a12eη1+η2)]xx, (25)
当N=3时,三孤子解为:
u=6(lnf)xx=6[ln(1+eη1+eη2+eη3+a12eη1+η2+a13eη1+η3+a23eη2+η3)]xx, (27)
证明:将f=f(x,y,t)按参数ε展开
f(x,y,t)=1+f(1)ε+f(2)ε2+…+f(j)εj+…, (29)
并把(29)式代入双线性方程(16)中,再按参数ε幂次整理排列
……
由双线性算子的性质1(3)相容性,方程(30)等价于偏微分方程
该方程有解
f(1)=exp(η1), (34)
可取f(2)=f(3)=…=0满足方程组(30)、(31)和(32),则f的展开式截断为有限项的和
f=1+εf(1)。
(36)
下面求解变系数(2+1)维S-K方程(1)的双孤子解和N孤子解。方程(30)有解
f(1)=exp(η1)+exp(η2), (38)
=-2((P1-P2)(Ω1-Ω2)+α(P1-P2)6+β(Q1-Q2)2+γ(P1-P2)3(Q1-Q2))eη1+η2。
(39)
设(39)式的一个解f(2)=a12eη1+η2,代入(39)式得a12为:
将得到的f(1)和f(2)代入(32)中,取f(3)=f(4)=…=0满足方程组(30)、(31)和(32),因此f可以截断为有限项
f=1+ε(eη1+eη2)+ε2a12eη1+η2。
(41)
f=1+eη1+eη2+a12eη1+η2。
(42)
因此变系数(2+1)维S-K方程(1)的双孤子解为:
u=6(lnf)xx=6[ln(1+eη1+eη2+a12eη1+η2)]xx, (43)
同理变系数(2+1)维S-K方程(1)的三孤子解为:
u=6(lnf)xx=6[ln(1+eη1+eη2+eη3+a12eη1+η2+a13eη1+η3+a23eη2+η3)]xx, (45)
归纳可得变系数(2+1)维S-K方程(1)的N孤子解可表示为:
对于变系数(2+1)维S-K方程(1),取α=3,β=-2,γ=2,t=1时方程为:
图1 色散关系
再根据(24)式得到方程(50)的双孤子解为:
又根据(26)式得到方程(50)的三孤子解为:
具体图像如下:
从图2中发现,S-K方程的孤立波在传播时,波发生弹性碰撞,可以线性叠加,其波的位置互相作用之后发生偏移,但其形状不变,波速不变。
本文对于变系数S-K方程(1),在方法上借助了Bell多项式,先对变系数S-K方程进行约化,再转化成可双线性化的Hirota算子形式,从而将变系数S-K方程转化成双线性算子形式,进而求得其多孤子解;在结果上,孤子解体现传统粒子在非全局刘维尔守恒流中的分布情况,可以更好的理解传统粒子的运动情况。
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