秦 论
(温州大学数理学院，浙江 温州 325035)
平面曲线扩散流是近几年提出的一种较为特殊的平面曲线流.事实上，曲线扩散流是一类退化的四阶抛物型拟线性偏微分方程，这就导致我们在研究曲线收缩流时常用的极大值原理和比较原理不再适用.经典曲线收缩流中许多好的性质在扩散流中大都不再成立，例如保凸性等.针对这些问题，国内外学者展开了一系列的研究.Wheeler 在文献[1]中详细地研究了曲线扩散流，通过限定初始曲线的振荡曲率和等周比，得到一族在扩散流下能长时存在的曲线，并证明了其最终会以较快的速度趋向于圆.但Wheeler 在证明其短时存在性时，认为这是一种显而易见的结果，因此并未给出详细的证明.
实际上曲线流的短时存在性是非常重要及关键的问题.近年来，许多学者也对这类具有退化的四阶抛物型拟线性偏微分方程组特点的曲线流的存在性展开了研究，例如在文献[2]中，Dziuk考虑了 Rn中通过弹性能量梯度流移动的曲线，即曲率的L2积分，在两种情况下证明了其存在性；
文献[3]和[4]在说明各自的流的存在性时都是直接应用了文献[2]中的定理；
在文献[5]中作者利用演化曲线具有自由边界的特点以及借助压缩映射原理等，证明了一类具有接触角的曲线扩散流的短时间存在性.但是，在经典曲线收缩流中证明短时存在性的方法，即考虑偏微分方程解的存在性，在曲线扩散流中并未被应用.本文采用初等方法，通过考查曲率函数满足的偏微分方程，把证明曲线扩散流的存在性问题转化为证明曲率函数的偏微分方程的解的存在性问题，再利用曲线论基本定理，由曲率函数构造出平面曲线，此曲线即为扩散流的解.
在本节中，将介绍证明主要定理中所需的曲线发展方程和一些基本结论.引入如下记号.是平面上的一族嵌入闭曲线，其中κ(s,t)是曲线的曲率，⇀(s,t)是单位内法向，⇀(s,t)是曲线的单位切向量，那么曲线扩散流的发展方程可以表示为：
因为切方向上的分量不影响曲线的演化过程，只影响其参数表示形式，所以为了简化运算，可以选取适合的切方向上的分量ρ.因此，在计算中考虑如下方程：
引理3 在曲线扩散流（2）下，曲率κ随时间的演化方程为：
本节将从最基本的偏微分方程的角度出发，证明（1）的短时存在性.
证明：注意到弧长参数s与时间t相关，为此引入新的参数θ和τ，其中θ是法线与x轴正向的夹角.令τ=t作为时间参数，但需注意到 ∂ /∂t≠∂ /∂τ，因为前者是当u固定时的偏导算子，而后者是当θ固定时的偏导算子.在引入新的角度参数θ后，有：
这里θ是u和t的函数.
引理4 将曲率κ的函数进行参数替换后，有：
根据等式（6）—（8）以及κds=dθ，计算得到κ关于τ的偏导数，即
方程（9）是一个抛物型的四阶拟线性偏微分方程，其解的存在性证明是比较复杂的，参考文献[6]中的方法，具体过程如下.
这里g都是光滑的且依赖于a，关于参数θ的不同阶导数的函数.这样就将四阶拟线性偏微分方程转化成了以下四阶线性偏微分方程：
且初始条件为z(·, 0) = 0, ∀(θ,t) ∈S1× {t= 0}.
由于本文中的边界为空集，故满足所有的边界条件，因此根据文献[7] Ch IV 6.4 的结论，可得到线性问题（10）有唯一的解z∈C0∞(S1× [0,T)).在这里将结果具体表述为以下命题.
命题1 如果z0:S1→R 是一个光滑的浸入闭曲线，那么存在一个最大的T∈ [0, ∞)，使得四阶线性问题（10）在空间C∞(S1,[0,T))上有唯一的解.
接下来，由上述命题就可以证明方程（9）的解的存在性.
如此，验证了方程（9）满足文献[8]中定理4.4 的条件，并由此可知方程（9）有唯一的光滑的解，从而证明了曲率κ的存在性.
最后，根据曲线论基本定理，可知存在以κ(θ, )τ为曲率的曲线⇀.下面来验证曲线是否满足曲线扩散流的发展方程.
将（9）式代入，得：
首先计算.对（11）式的前两项进行分部积分并合并同类项后得：
观察（13）式后三项积分，再次利用分部积分的方法可对其进行化简.具体计算过程如下：
综上所述，可得：
同理可得：
整合（14）式和（15）式就得到了
下面做参数变换消除方程（16）中切方向上的分量.
如此完成了曲线扩散流的初等证明.
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