晋珺
【摘 要】 特征标的行列式是有限群特征标理论中的一个重要概念。利用对称群[S4]的特征标表和特征标的性质，计算[S4]的不可约特征标的行列式，进一步得到[S4]的任意特征标行列式的计算公式。
【关键词】 特征标；
特征标表；
特征标的行列式；
相似矩阵
Calculation about Determinant of Characters of Symmetric Group [S4]
Jin Jun
（JinZhong University， Jinzhong 030619， China）
【Abstract】 Determinant of character is an important definition in character theory of finite groups. Using the character table of[S4]and properties of character， the determinant of the irreducible characters of[S4]is obtained， then the calculation formula of the determinant of any character of[S4]is given .
【Key words】 character; character table; determinant of character; similar matrices
〔中图分类号〕 O152.6 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674 - 3229（2023）01- 0005 - 03
0 引言
设[G]为有限群，[?]为复数域，则一个从[G]到一般线性群[GL（n，?）]的同态[X]称为[G]的一个复表示，其中[n]为自然数。对任意的[g∈G]，[χg=trXg]定义了从[G]到[?]的一个函数[χ]，称之为[G]的由表示[X]提供的复特征标［1］，并且[χ]为群[G]上的类函数，即[χ]在[G]的同一个共轭类中的元素的取值都相等。显然，[χ（1）=n]，稱为特征标[χ]的次数，其中[1]为[G]的单位元。而一个特征标称为不可约的，如果它由不可约模提供。群[G]的所有不可约特征标的全体记为[Irr（G）]，并且群[G]的任意一个特征标[χ]可表示为[G]的所有不可约特征标的不全为零的非负整系数的线性组合。
当[χ（1）=1]时，[χ]称为群[G]的一个线性特征标。显然，线性特征标都是不可约的，而且群[G]的所有线性特征标在复函数乘法下构成一个群，称为[G]的线性特征标群，记为[Lin（G）]。设群[G]的特征标[χ]由表示[X]提供的，令[detχg=detXg]，则[detχ]为[G]的线性特征标，称之为特征标[χ]的行列式，而[detχ]在群[Lin（G）]中的阶称为特征标[χ]的阶。特征标的行列式及其阶在特征标的[π]-理论中有着重要的应用，1979年Gajendragadkar利用[χ]的次数和行列式的阶定义了[π]-可分群上的[π]-特殊的特征标［2］，随后的几十年间Isaacs在[π]-特殊的特征标的基础上逐步建立了特征标的[π]-理论［3-6］，该理论相关的一些问题已成为目前有限群表示论的热门课题。例如类似于Isaacs的特征标[π]-理论中的次正规原核和[Bπ]-特征标，Lewis根据正规列构造了新的原核［7］，并给出了该原核的应用［8-9］；
Grittini使用原核技术研究了[p]-长度问题［10］；
Rizo借助[Bπ]-特征标探讨了McKay对应的整除性问题［11］；
不可约特征标的顶点问题可参考文献［12］。
本文利用[S4]的特征标表和特征标的相关知识计算[S4]的任意特征标的行列式。涉及到的矩阵和群论的内容可参考相关文献［13-16］，特征标的相关术语和符号，可参考Isaacs著作［1］。
3 结语
在有限群的特征标理论中，特征标的行列式是一个比较抽象的概念。
本文以最常用的群[S4]为例，通过计算不可约特征标对应表示在每个共轭类代表元的相似矩阵，从而得到相应不可约特征标的行列式，最终给出[S4]的任意特征标的行列式的计算公式。
整个计算过程对更好地理解和掌握特征标的行列式的定义和性质有重要的指导作用。
特征标的行列式在Brauer特征标和Isaacs的[π]-特征标理论中有广泛的应用，本文研究结果对于特征标理论的学习和研究起到了夯实基础的积极作用。
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