朱皖琳 耿显亚
摘 要：假定[Gn]表示由随机 n个十边形构成的线性结构分子图，借助图的结构特点，计算[Gn]的 Gutman指数的数学期望，并获得了随机十边形链Gutman指数的极值.
关键词：Gutman指数；
随机十边形链；
数学期望；
极值
[ 中图分类号 ]O157．6 [ 文献标志码 ] A
Research on Gutman Index of Decagon Chemical Graphs
ZHU Wanlin，GENG Xianya
（School of Mathematics and Big Data，Anhui University of Science and Technology，Huainan
232001，China）
Abstract：It is assumed that Gn respresents a linear molecular graph of random decagons，and derived from the structural characteristics of the graph we calculate the expected value of Gutman index in a random decagon chain. And the Gutman index of random decagonal chains with extremal value are also obtained.
Key words：Gutman index；
random decagon chain；
expected value；
extremal value
化学图论中一个最重要的方法是拓扑指数，许多十边形的化合物，其衍生物一直是有机化学领域的重要研究课题.正十边形的结构十分特殊，它是唯一符合黄金分割比的正多边形，因此，越来越多的人研究其结构和性质.本文只考虑有限的简单连通图，研究具有[n]个十边形的化合物链的Gutman指数，符号与专业术语参考文献[1-8].
1 随机十边形链的Gutman指数的数学期望
设[G=（VG，EG）]是顶点集为[VG]、边集为[EG]的非平凡简单连通图.图[G]中顶点[u]和[v]之间的最短距离[dG（u，v）]（简称[d（u，v）]）称为最短路.维纳指数[W（G）]就是基于距离的图不变量，计算图[G]中所有顶点对之间的距离和.[9]Gutman指数的提出扩展了与顶点距离和度相关图参数的研究领域，是一个重要的图参数，与很多分子的结构特征有着密切关系.[10]
具有[n]个十边形的随机化合物链[Gn]是由[n-1]个十边形链[Gn-1]连接一个新的末端十边形[Hn]得到的，见图1.当[n≥3]，末端十边形[Hn]有5种连接方式，将其表示为[G1n，G2n，G3n，G4n，G5n]，见图2. 具有[n]个十边形的随机化合物链[Gn（p1，p2，p3，p4）]是通过逐步添加末端十边形得到的.在每一步[k=（3，4，5，……，n）]添加中，可随机选择5种连接方式中的一种.[11-13][Gn→G1n+1]的概率为[p1]，[Gn→G2n+1]的概率为[p2]，[Gn→G3n+1]的概率为[p3]， [Gn→G4n+1]的概率为[p4]， [Gn→G5n+1]的概率为[1-p1-p2-p3-p4].
其中，[p1，p2，p3]和[p4]為常数，与参数[k]无关.
计算随机十边形链的Gutman指数的数学期望.随机十边形化合物链[Gn+1]是由[Gn]连接一个新的末端十边形[Hn+1]得到的，其中，[Hn+1]是由顶点[x1，x2，x3，……，x10]构成，新的边为[unx1]，见图1.一方面，对于所有的[v∈VGn]，有
[d（x1）=d（un，v）+1， d（x2）=d（un，v）+2，…， d（x6）=d（un，v）+6，d（x7）=d（un，v）+5， d（x8）=d（un，v）+4， …， d（x10）=d（un，v）+2.]
[v∈VGndGn+1（v）=22n-1].
另一方面，
[i=12kd（xi）d（x1，xi）=50， i=12kd（xi）d（x2，xi）=51， …， i=12kd（xi）d（x6，xi）=55，]
[i=12kd（xi）d（x7，xi）=54， i=12kd（xi）d（x8，xi）=53， …， i=12kd（xi）d（x10，xi）=51].
定理1 当[n≥1]，无规十边形链[Gn]的Gutman指数的期望为
[E（Gut（Gn））=（1 452-968p1-726p2-484p3-242p4）n33+（968p1+726p2+484p3+242p4-132）n2 +（447-1 936p1-1 452p2-968p3-484p4）n3-1.]
证明 无规十边形链[Gn+1]是通过将[Gn]连接一个新的末端十边形[Hn+1]而获得的，这里的[Hn+1]由顶点[x1，x2，x3…x10]构成，新边为[unx1]，如图2，那么有
[Gut（Gn+1）={u，v}?VGnd（u）d（v）d（u，v）+v∈VGnxi∈VHn+1d（v）d（xi）d（v，xi）+{xi，xj}?VHn+1d（xi）d（xj）d（xi，xj）]
其中，
[{u，v}?VGnd（u）d（v）d（u，v）={u，v}?VGn＼{un}d（u）d（v）d（u，v）+v∈VGn＼{un}dGn+1（un）d（v）d（un，v）={u，v}?VGn＼{un}d（u）d（v）d（u，v）+v∈VGn＼{un}（dGn（un）+1）d（v）d（un，v）=Gut（Gn）+v∈VGnd（v）d（un，v）.]
当[d（xi）=3]，对于[i∈2，3，4…10]，有
[v∈VGnxi∈VHn+1d（v）d（xi）d（v，xi）=v∈VGnd（v）[3（d（un，v）+1）+…+2（d（un，v）+5）+2（d（un，v）+ 4）+…+2（d（un，v）+2）]][=v∈VGnd（v）（21d（un，v）+71）=21v∈VGnd（v）d（un，v）+71v∈VGnd（v） ]
[ =21v∈VGnd（v）d（un，v）+71（22n-1）.]
[{xi，xj}?VHn+1d（xi）d（xj）d（xi，xj）=12i=110d（xi）（j=110d（xj）d（xi，xj）= 12[3×50+2×51+…+2×55+2×54+…+2×51]=550.]
综上，得到
[Gut（Gn+1）=Gut（Gn）+22v∈VGnd（v）d（un，v）+1 562n+479].
对于无规十边形链[Gn]，[v∈VGnd（v）d（un，v）]的数值是一个随机变量，可以把它的期望表示为
[An：=E（v∈VGnd（v）d（un，v））].通过直接计算，可以得到无规十边形链[Gn]的Gutman指数期望值的递推关系.
[E（Gut（Gn+1））=E（Gut（Gn））+22An+1 562n+479].
考虑以下5种可能的情况：
情况1：[Gn→G1n+1]，在这种情况下，[un]考虑顶点[x2]或[x10]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u2，v）]或[v∈VGnd（v）d（u10，v）]两种结果，概率为[p1].
情况2：[Gn→G2n+1]，在这种情况下，[un]考虑顶点[x3]或[x9]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u3，v）]或[v∈VGnd（v）d（u9，v）]两种结果，概率为[p2].
情况3：[Gn→G3n+1]，在这种情况下，[un]考虑顶点[x4]或[x8]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u4，v）]或[v∈VGnd（v）d（u8，v）]两种结果，概率为[p3].
情况4：[Gn→G4n+1]，在这种情况下，[un]考虑顶点[x5]或[x7]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u5，v）]或[v∈VGnd（v）d（u7，v）]两种结果，概率为[p4].
情况5：[Gn→G5n+1]，在这种情况下，[un]考虑顶点[x6]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u6，v）]这种结果，概率为[1-p1-p2-p3-p4].根据以上5种情况，可以得出期望值[An]为：
[An=p1v∈VGnd（v）d（x2，v）+…+p4v∈VGnd（v）d（x5，v）+（1-p1-p2-p3-p4）v∈VGnd（v）d（x6，v） =p1[v∈VGn-1d（v）d（un-1，v）+2v∈VGn-1d（v）+51]+…+p4[v∈VGn-1d（v）d（un-1，v）+ 5v∈VGn-1d（v）+54]+（1-p1-p2-p3-p4）[v∈VGn-1d（v）d（un-1，v）+6v∈VGn-1d（v）+55].]
通过将期望运算符应用于上述等式，可以获得期望值：
[E（An）=An].
[An=p1（An-1+44n+5）+p2（An-1+66n-17）+p3（An-1+88n-39）+p4（An-1+110n-61） +（1-p1-p2-p3-p4）（An-1+132n-83） =An-1+（132-88p1-66p2-44p3-22p4）n+88p1+66p2+44p3+22p4-83.]
边界条件为：[A1=E（v∈VG1d（v）d（u1，v）=50].
根据上述递推关系和边界条件，得到
[An=（66-44p1-33p2-22p3-11p4）n2+（44p1+33p2+22p3+11p4-17）n+1.]
[因此，E（Gut（Gn+1））=E（Gut（Gn））+22An+1 562n+479=E（Gut（Gn））+][22[（66-44p1-33p2-22p3-11p4）n2 +（44p1+33p2+22p3+11p4-17）n+1]+1 562n+479.]
边界条件为：[E（Gut（G1））=500].
根据上述递推关系和边界条件，得到期望值[E（Gut（Gn））]为 ：
[E（Gut（Gn））=（1 452-968p1-726p2-484p3-242p4）n33+（968p1+726p2+484p3+242p4-132）n2 +（447-1 936p1-1 452p2-968p3-484p4）n3-1.]
特别地，如果[p1=1]，此时[p2=p3=p4=p5=0]，则[Gn?Mn].如果[p2=1]（相应的[p3=1]，[p4=1]），此时[p1=p3=p4=p5=0]（相应的[p1=p2=p4=p5=0]，[p1=p2=p3=p5=0]），则[Gn?O1n]（相应的[Gn?O2n]，[Gn?O3n]）.特别地，如果[p5=1]，此时[p1=p2=p3=p4=0]，则[Gn?Ln].
2 隨机十边形链的Gtuman指数的极值
定理2 对于无规十边形化合物链[Gn（n≥3）]，对链[Ln]实现[E（Gut（Gn））]的最大值，间链[Mn]实现[E（Gut（Gn））]的最小值.
证明 根据定理1，有
[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 936n3）p1+（-726n33+726n2-1 452n3）p2+（-484n3+ 484n2-968n3）p3+（-242n33+242n2-484n3）p4+1452n33-132n2+447n3-1.]
当[n≥1]时，通过求偏导数，有
[?E（Gut（Gn））?p1=-968n33+968n2-1 936n3<0， ?E（Gut（Gn））?p2=-726n33+726n2-1 452n3<0，?E（Gut（Gn））?p3=-484n33+484n2-968n3<0， ?E（Gut（Gn））?p4=-242n33+242n2-484n3<0.]
如果[p1=p2=p3=p4=0]，（[i.e.p5=1]），对链[Ln] 实现[E（Gut（Gn））]的最大值，[Gn?Ln] .如果
[p1+p2+p3+p4=1]，令[p4=1-p1-p2-p3]（[0≤p1≤1]，[0≤p2≤1]，[0≤p3≤1]），有
[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 936n3）p1+（-726n33+726n2-1 452n3）p2+（-484n3+484n2]
[-968n3）p3+（-242n33+242n2-484n3）（1-p1-p2-p3）+1 452n33-132n2+447n3-1.]因此，
[?E（Gut（Gn））?p1=-726n33+726n2-1 452n3<0， ?E（Gut（Gn））?p2=-484n33+484n2-968n3<0，?E（Gut（Gn））?p3=-242n33+242n2-484n3<0. ]
如果[p1=p2=p3=0]，（[i.e.p4=1]），得不到最小值.如果[p1+p2+p3=1]，此时令[p3=1-p1-p2]（[0≤p1≤1]，[0≤p2≤1]），有
[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 936n3）p1+（-726n33+726n2-1 452n3）p2+（-484n3+484n2-968n3） （1-p1-p2）+1 452n33-132n2+447n3-1.]
因此，
[?E（Gut（Gn））?p1=-484n33+484n2-968n3<0， ?E（Gut（Gn））?p2=-242n33+242n2-484n3<0. ]
如果[p1=p2=0]，（[i.e.p3=1]），也得不到最小值.如果[p1+p2=1]，令[p1=1-p2]（[0≤p1≤1]），有
[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 936n3）（1-p2）+（-726n33+726n2-1 452n3）p2+1 452n33-132n2+447n3-1]
此时，[?E（Gut（Gn））?p1=242n33+242n2-484n3>0. ]
当[p2=0]，（[i.e.p1=1]），[E（Gut（Gn））]取得最小值，此时[Gn?Mn].
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编辑：琳莉
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