邱惠铭 何桂添 唐国吉
摘 要：本文引入第一型曲线瑕积分的概念，并获得了它的计算公式，得到了第一型曲线瑕积分依曲线方程类型的不同可相应地转化为无穷积分或瑕积分的结论。讨论了第一型曲线瑕积分的一些性质和收敛判别法，它们可看作是一元瑕积分相关性质和收敛判别法的推广。由于瑕积分的Dirichlet判别法和Abel判别法比无穷积分和（数项或函数项）级数的都要复杂，大多的数学分析教材并未研究。本文研究了第一型曲线瑕积分的Dirichlet判别法和Abel判别法，一元瑕积分的Dirichlet判别法和Abel判别法是本文结果的特殊情况。
关键词：第一型曲线瑕积分；
收敛；
单调；
Dirichlet判别法；
Abel判别法
中图分类号：O172.2
1 概述
郇中丹教授在文献［1］中谈“数学分析”课程改革的几点意见中指出，目前国内《数学分析》教材或教学实践中存在的主要问题之一是：一元微积分的讨论不厌其烦，而多元微积分则显得相当薄弱，这一方面是由于以往人们认为多元微积分是一元的平行推广（这大概与菲赫金格尔兹的数学分析教材的影响有关）。另一方面，由于一元部分相对简单并且结果颇多。华东师范大学数学系编《数学分析》（第三版）［2］在附录一介绍微积分简史中也指出，积分论仍在发展，Riemann积分的推广仍不能说已经完成这些认识是客观的。
几乎所有的《数学分析》教材［24］都研究曲线上的正常积分（包括第一型和第二型的）。1999年，赵清理等［5］给出了无穷曲线积分的定义，讨论了其某些性质和收敛的判别法和计算方法。最近，唐国吉［6］引入了定义在曲线上的函数的单调性概念，并证明了第一型曲线积分的第二中值定理。受上述文献的启发，本文讨论了第一型曲线瑕积分的一些性质和收敛判别法，它们可看作是一元瑕积分相关性质和收敛判别法的推广。
2 第一型曲线瑕积分的概念
定义2.1：在平面光滑曲线C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，β）上，A（φ（α），ψ（α））为曲线C的一个端点，若limt→β-φ（t）=p，limt→β-ψ（t）=q，记点B（p，q），D（φ（t），ψ（t））是曲线C上的任一点，s（A，D）表示曲线C上以A，D为端点的弧段（记为C（A，B））的弧长，若limt→β-s（A，D）=limt→β-∫tαφ′2（u）+ψ′2（u）du=s。则称曲线C是以A、B为端点（B∈-C）的有穷曲线，s为曲线C的弧长。
类似地，我们可以定义参数方程为x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，+
）（或t∈（-SymboleB@
，α］，或t∈（β，α］）的缺端点的有穷曲线，这时相应考察的极限为：
limt→+SymboleB@
s（A，D）=limt→+SymboleB@
∫tαφ′2（u）+ψ′2（u）du=s
（或limt→-SymboleB@
s（A，D）=limt→-SymboleB@
∫αtφ′2（u）+ψ′2（u）du=s，或limt→β+s（A，D）=limt→β+∫αtφ′2（u）+ψ′2（u）du=s）。
下面我們给出第一型曲线瑕积分的定义。
定义2.2：设C是以A、B为端点（B∈-C）的平面有穷曲线，s-表示其弧长，f是定义在曲线C上的二元函数，U（B，r）表示平面上以B为心，r为半径的邻域，对于任意的r>0，f在U（B，r）∩C上无界，但对曲线C上的任一点D，s表示曲线C上以A，D为端点的弧段（记作C（A，D））的弧长，f在C（A，D）上有界且第一型可积，若
lims→s-∫C（A，D）f（x，y）ds=J，（2.1）
则称此极限J为无界函数f在曲线C上的第一型反常积分，记作J=∫Cf（x，y）ds，并称反常积分∫Cf（x，y）ds收敛。若极限（2.1）不存在，则称∫Cf（x，y）ds发散。
在定义2.2中，对任意的r>0，f在U（B，r）∩C上无界，这时称点B为f的瑕点，而曲线C上的无界函数反常积分∫Cf（x，y）ds又称为第一型曲线瑕积分。
当∫Cf（x，y）ds收敛时，我们容易得到其计算公式。
情形1：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，β），则
J=∫Cf（x，y）ds=lims→s-∫C（A，D）f（x，y）ds
=limt→β-∫tαf（φ（u），ψ（u））φ′2（u）+ψ′2（u）du
=∫βαf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；
类似地，
情形2：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，+SymboleB@
），则
J=∫+SymboleB@
αf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；
情形3：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈（-SymboleB@
，α］，則
J=∫α-SymboleB@
f（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；
情形4：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈（β，α］，则
J=∫αβf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt.
由以上讨论可以知道，第一型曲线瑕积分依曲线的不同类型可相应转化为无穷积分（见情形2和情形3）或瑕积分（见情形1和情形4）。
文献［6］引入了平面曲线上的二元函数的单调性概念，并且证明了第一型曲线积分的第二中值定理。
定义2.3［6］：设C：x=φ（t）； （1）f（φ（t1），ψ（t1）） f（φ（t2），ψ（t2）），则称f为曲线C上的增函数，特别地，当成立严格不等式f（φ（t1），ψ（t1）） （2）f（φ（t1），ψ（t1））f（φ（t2），ψ（t2）），则称f为曲线C上的减函数，特别地，当成立严格不等式f（φ（t1），ψ（t1））>f（φ（t2），ψ（t2））时，称f为曲线C上的严格减函数。 我们指出：曲线上函数的单调性概念是一元函数单调性的推广。 引理2.1 （第一型曲线积分的第二中值定理）［6］：设函数f在光滑曲线C：x=φ（t）； 3 第一型曲线瑕积分的性质和收敛判别 这一节我们主要给出第一型曲线瑕积分的一些简单性质和收敛判别，对于一些显而易见的结果我们不加证明地直接罗列。 定理3.1（第一型曲线瑕积分的Cauchy收敛准则）：设A，B为曲线C的两端点，B∈-C，f（x，y）是定义在曲线C上的二元函数，B是f的瑕点，则第一型曲线瑕积分∫Cf（x，y）ds收敛的充要条件是：对任意给定的ε>0，存在δ>0，只要P1，P2∈U（B，δ）∩C，就有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε。 证明：根据定义，∫Cf（x，y）ds收敛（B为瑕点）等价于lims→s-∫C（A，D）f（x，y）ds存在，这又等价于对任意给定的ε>0，存在δ>0，只要P1，P2∈U（B，δ）∩C，就有|∫C（A，P2）f（x，y）ds-∫C（A，P1）f（x，y）ds|=|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε。 性质3.1（线性性质）：设A、B为曲线C的两端点，B∈-C，f1、f2定义在曲线C上，B同为它们的瑕点，k1、k2为常数，则当第一型曲线瑕积分∫Cf1（x，y）ds与∫Cf2（x，y）ds都收敛时，第一型曲线瑕积分∫C［k1f1（x，y）+k2f2（x，y）］ds必定收敛，并有： ∫C［k1f1（x，y）+k2f2（x，y）］ds=k1∫Cf1（x，y）ds+k2f2（x，y）ds 性质3.2（按弧段可加性）：设A、B为曲线C的两端点，B∈-C，f定义在曲线C上，B是f的瑕点，D为C上任一点，则第一型曲线瑕积分∫Cf（x，y）ds与∫C（D，B）f（x，y）ds同敛态，在收敛时有如下关系∫Cf（x，y）ds=∫C（A，D）f（x，y）ds+∫C（D，B）f（x，y）ds。其中∫C（A，D）f（x，y）ds为第一型曲线正常积分。 性质3.3（绝对值性质）：设A、B为曲线C的两端点，B∈-C，f定义在曲线C上，B是f的瑕点，则当∫C|f（x，y）|ds收敛时，∫Cf（x，y）ds也必定收敛，并有 |∫Cf（x，y）ds| ∫C|f（x，y）|ds.（3.1） 证明：由∫C|f（x，y）|ds收敛，根据第一型曲线瑕积分的Cauchy收敛准则（必要性）知，对任给的ε>0，存在δ>0，只要P1，P2∈U（B，δ）∩C，就有|∫C（P1，P2）|f（x，y）|ds|= ∫C（P1，P2）|f（x，y）|ds<ε。利用第一型正常曲线积分的绝对值不等式，又有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds| ∫C（P1，P2）|f（x，y）|ds<ε。再利用Cauchy收敛准则（充分性），证得∫Cf（x，y）ds收敛。 又因|∫C（A，D）f（x，y）ds| ∫C（A，D）|f（x，y）|ds，两边取极限s→s-，立刻证得不等式（＼＼ref{3.1}）式。 当∫C|f（x，y）|ds收敛时，称∫Cf（x，y）ds绝对收敛。又称收敛而不绝对收敛的第一型曲线瑕积分是条件收敛的。 设A、B为曲线C的两端点，B∈-C，f定义在曲线C上，B是f的瑕点，对C上的任一点D，|f|在C（A，D）上的第一型曲线积分∫C（A，D）|f（x，y）|ds关于弧长s单调递增，因此∫C|f（x，y）|ds收敛的充要条件是∫C（A，D）|f（x，y）|ds存在上界。根据这一分析，容易推出第一型曲线瑕积分的比较原则。 定理3.2（比较原则）：设A、B为曲线C的两端点，B∈-C，f，g定义在曲线C上，B是f，g的瑕点，对C上的任一点D，f，g在C（A，D）上第一型可积，若对任一个P∈C，|f（P）| g（P），則当∫Cg（x，y）ds收敛时，∫C|f（x，y）|ds收敛； 4 Dirichlet判别法和Abel判别法 定理4.1（Dirichlet判别法）：设A、B为曲线C的两端点，B∈-C，曲线C的弧长为s-，f，g定义在曲线C上，B是f的瑕点，P（u，v）是曲线C上的任一点，若F（u，v）=∫C（A，P）f（x，y）ds在曲线C上有界，g（x，y）在曲线C上当s→s-时单调趋于零，则∫Cf（x，y）g（x，y）ds收敛。 证明 对所讨论的积分∫Cf（x，y）g（x，y）ds的被积函数f（x，y）g（x，y）而言，B可能是其瑕点，也可能不是。 我们先考察B不是被积函数f（x，y）g（x，y）瑕点的情形。这时我们只需对函数f（x，y）g（x，y）在B点定义一个函数值，相应地，原来的曲线C就变成包含两端点的曲线（仍然记为曲线C），这样∫Cf（x，y）g（x，y）ds则为正常的第一型曲线积分。 现在讨论B是被积函数f（x，y）g（x，y）瑕点的情形。已知F（u，v）在曲线C上有界，即存在M>0，使|F（u，v）|=|∫C（A，P）f（x，y）ds| M，P（u，v）∈C。 对于任意给定的ε>0，由g（x，y）在曲线C上当s→s-时趋于零知，存在δ>0，使得对每一个P（x，y）∈U（B，δ）∩C，就有|g（x，y）|<ε4M。 对于任何P1（x1，y1），P2（x2，y2）∈U（B，δ）∩C，又因g为单调函数，在曲线段C（P1，P2）上利用第一型曲线积分的第二中值定理（引理2.1）得知，存在P（ξ，η）∈C（P1，P2），使得∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds=g（x1，y1）∫C（P1，P）f（x，y）ds+g（x2，y2）∫C（P，P2）f（x，y）ds。 于是有： |∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds| |g（x1，y1）||∫C（P1，P）f（x，y）ds| +|g（x2，y2）||∫C（P，P2）f（x，y）ds| =|g（x1，y1）||∫C（A，P）f（x，y）ds-∫C（A，P1）f（x，y）ds| +|g（x2，y2）||∫C（A，P2）f（x，y）ds-∫C（A，P）f（x，y）ds| ε4M·2M+ε4M·2M=ε。 由Cauchy收敛准则知，∫Cf（x，y）g（x，y）ds收敛。证完。 定理4.2 （Abel判别法）：设A、B为曲线C的两端点，B∈-C，曲线C的弧长为s-，f，g定义在曲线C上，B是f的瑕点，若∫Cf（x，y）ds收敛，g（x，y）在曲线C上单调有界，则∫Cf（x，y）g（x，y）ds收敛。 证明：与上个定理的证明类似，本文略去。 注4.1 定理4.1与定理4.2的结论对于三维或一般的n维空间中的第一型曲线瑕积分仍成立。 注4.2对于一元瑕积分有相应的Dirichlet判别法和Abel判别法（尽管大多的数学分析教材都没有给出），它们是本文定理4.1与定理4.2的特殊情况。在应用时只需注意到在定理的条件下∫baf（x）g（x）dx可能是定积分或者瑕积分就可以了。 参考文献： ［1］郇中丹.对师范大学本科数学专业《数学分析》课程改革的几点意见［J］.数学教育学报，2000，9（2）：1719. ［2］华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2001. ［3］刘玉琏，等.数学分析讲义（上、下册）（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2003. ［4］徐森林，薛春华.数学分析［M］.北京：清华大学出版社，2006. ［5］赵清理，于兴江，冷学斌.无穷曲线上的积分及其性质［J］.聊城师院学报（自然科学版），1999，12（3）：6871. ［6］唐国吉.第二型曲线积分的第二中值定理［J］.数学的实践与认识，2009，39（17）：200205. 基金项目：本研究受广西高等教育本科教学改革工程项目（2020JGA155）和广西民族大学数学与应用数学专业相思湖本科教育教学创新团队资助 作者简介：邱惠铭（1983— ），女，汉族，广西桂林人，本科，初级，研究方向：应用统计。 *通讯作者：唐国吉（1979— ），男，汉族，广西防城港人，博士，教授，博士生导师，研究方向：运筹学与控制论、数学教育。
y=ψ（t），t∈［α，β］为平面上的可求长曲线，曲线两端点为A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）），f（x，y）为定义在曲线C上的函数，若对任何的t1，t2∈［α，β］，当t1
y=ψ（t），t∈［α，β］（曲线两端点为A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）））上第一型可积。若g为曲线C上的单调函数，则存在P（ξ，η）∈C，使∫Cf（x，y）g（x，y）ds=g（φ（α），ψ（α））∫C（A，P）f（x，y）ds+g（φ（β），ψ（β））∫C（P，B）f（x，y）ds。
当∫C|f（x，y）|ds发散时，∫Cg（x，y）ds发散。