尹国萍
【摘要】在教学活动和生活过程中，我们要注重学生动手能力的培养，在数学教学中学生的动手能力的培养，对于开发学生的思维有着十分重要的作用[1].通过折纸操作活动，引导学生观察折痕所形成的角边关系，帮助学生建立折纸操作与数学内容的联系，可以学会运用数学的思维去观察分析，培养学生的动手能力、观察能力、想象能力和创造性思维能力[3].笔者发现，折纸对培养学生的团队合作精神，探究精神和创新精神，培养学生的观察能力、归纳能力、发现问题和解决问题的能力有明显的效果.
【关键词】初中数学；
折叠；
矩形
1研究背景
在数学学习中，我们经常会遇到折叠的问题.笔者组织学生做了一份关于折叠的题目，统计了正确人数，发现以下两题错误较多.学生如何能更好地把握折叠题呢？如何抓住核心知识？我们如何做到快速解题？
例如 如图1，在长方形纸片ABCD中．AB＝6，BC＝10，先将纸片折叠，使点A落在BC边上的点P处，折痕为EF（点E，F分别在AB，AD边上），则BP长的取值范围是（）
（A）0＜BP≤6.（B）0＜BP≤10.
（C）2≤BP≤6.（D）2＜BP≤8．
如图2，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）
（A）210.（B）25.（C）6.（D）5.
笔者认为有些问题如果我们实践操作一下会更好地理解和解决这类数学问题.
2数学课本找折叠
七年级课本上册第169页
七年级课本下册第13页探究活动
七年级课本下册第29页14题
八年级课本上册第7页做一做：
（1）任意剪一个三角形，角折叠的方法（如图3），画出这个三角形的三条角平分线你发现了什么？（请与你的同伴交流）
（2）任意剪一个三角形，用折叠的方法（如图4），找出三条边的中点，画出三条中线．你发现了什么？（请与你的同伴交流）
八年级课本下册第117页第5题
八年级课本下册第121页合作学习
八年级课本下册第133页第15题
九年级课本上册第108页课题学习：有關正多边形的折纸，只用一张长方形的纸片，能做出一个正方形吗？
例如把长方形纸按图5折叠，摊开、铺平后，折痕 ABCD 即构成一个正方形.通过折痕来构造图形的基本原理是：叠合可以产生全等图形，由此就能得到些相等的角和相等的边，为所要构造的图形提供合适的条件.
下面我们再看一例：如图6，用一张正方形纸折出一个正三角形.
九年级课本上册第151页探究活动
把标准纸（长与宽之比为2）一次又一次对开，按图叠放起来，你发现了什么有趣的现象？你能给出数学解释吗？
九年级课本上册第76页合作学习
九年级课本下册第19页第6题：如图7，在一张长方形纸片ABCD中，AD =25 cm ， AB =20 cm，点E，F 分别是CD和AB的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，求∠DAH 的大小及EG的长（精确到0.1cm）.
笔者再次翻看6册数学课本，找出了以上的折叠活动和折叠题.
3折纸得出的数学核心知识
通过折纸操作活动，让学生更直观和深度地认识了折叠中的边角关系，常见的基本图形的本质特征重叠部分为等腰三角形[3]，认识了折叠中常见的图形之间的全等和相似等关系，[4]面积、对称性质联系在一起[5]．涉及画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与代数、几何均有联系．在解题过程中要充分运用以上结论.借助辅助线构造直角三角形，结合相似性质、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题[6]如图8、图9.
我们接着探索如何折4个角折出弦图如图10，开始折的时候我们决定这个很简单，但是折的时候我们有的成功了，有的并不对，会出现不重合的现象.
我们提出猜想：这个折痕不是任意的，应该有一个确定的量，于是我们开始先对弦图研究.
研究结论根据数学知识推理，△AHE≌△DGH，AH=DG，当折叠时我们先确定折痕的一个点H，另一个折痕的另一个端点G也随之确定，这样我们就确定了折痕HG，以此类推，我们成功地折出了弦图.
让学生更好地感受到折叠变化过程中的不变性，以及常见的数学核心知识.折叠问题的实质是图形的全等变换.
4再次回归课本
我们对八年级下P117的第5题的图形进行了实践操作，我们再一次遇到了折弦图一样的问题，我们不能折出一个无缝隙、无重叠的四边形.于是我们又一次对图形进行数学知识的分析.
学生提出疑问：
（1）是不是任何矩形都可以折出如图11的矩形？
（2）折痕是固定的吗？
（3）控制什么量可以折出此矩形
研究过程：
我们根据数学知识推理得出，我们设矩形的长和宽为AE=a，AH=b，BF=C，根据△AEH∽△BFE，可得a2=bc，同时b+c是矩形的长，2a是矩形的宽. 我们通过测量和计算，得出AH的长，从而确定了折痕EH.
我们根据a2=bc，量好a，b，c 的数据再进行折叠，由此我们进行实践折叠，成功地折出了图形.我们找老师用几何画板进行模拟折叠.
结论
（1）对于一个确定的矩形可以折出如图的矩形，EH和HG长度互换可以折出两个，但是AH或者DH需要通过计算求得，然后根据长度进行折叠.
（2）我们也可以控制AH，AE，BF的长度，使其满足AE2=AH×BF.
发散可拓展的衍生点，提升学生的思维.学习数学就是要为学生思维打开搭建平台.真正提升学生的数学思维.
在活动中学生体会了折纸的乐趣，更加大胆地去提出问题，从不同的视角去挖掘图形的特点，创造性的拓展图形的同时提高了自己 的思维能力.
5展示成果，再次面对折叠题
（1）制定展示方案，贴在黑板上；
（2）学生弦图等折纸；
（3）学生讲题等.
学生的思维从被激活后就活跃于整个课堂.解決折叠问题时，一是要对图形折叠有准确定位，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量，发现图形中的数量关系；
二是要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质.提高数学思维能力，在实践的过程中，注重收集学生的折叠作品、数学知识的深度理解、创新性操作和思维，这些都是在实施过程中最宝贵的内容，也是最实在的经验之谈.包括活动现场照片、作品等.将此素材在教室内进行展示，受同学们热烈的欢迎.
6结语
陆游曾说过：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.”折纸便是一次实践的过程，在对于折叠问题时运用折纸的方法有时可以较容易且方便地得出一个答案.在活动中对数学知识体会更深刻，反过来也用数学知识来帮助学生更好地进行折叠操作.在折纸的过程中锻炼了学生的动手操作能力[7]，更在折后的比较，计算、发现规律中提高数学“思维能力”.折纸让数学中的折叠题变得更加亲和.也可以领悟到时常地去进行作图与构图，在不断地尝试中发现新的奥秘.让学生有一种成就感与喜悦感！数学学习是数学思维能力的学习，在吸收数学知识的同时，更重要的是发展数学思维能力，这种能力并非一朝一夕能够形成.笔者将继续研究，进一步完善折纸活动的开发，让不同的学生在学习过程中获得乐趣和成功感.
参考文献：
[1]肖芳.折叠问题的探究[J].数理天地（初中版）.2021（06）：8-9.
[2]李二军.折叠问题的常见求解技巧[J].初中数学教与学.2022（15）：42-45.
[3]蔡卫兵，杨一丽.一道轴对称试题的“三生三味”[J].中学数学教学参考.2022（11）：57-60.
[4]江建华.例说中考中的翻折问题[J].数理天地（初中版）.2022（01）：24-25+23.
[5]霍明霞，耿娅.变化的图形折叠 不变的数学思想——2020年中考“折叠问题”考法和命题特色分析[J].中国数学教育.2021（11）：39-46.
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