钟燕 刘君
摘 要：数的概念比较抽象，需要借助直观的图形来理解。数概念建构中直观想象的运用一般包括三个层次，即量的感知、形的理解、“系”的架构。基于此，《小数的意义》一课的教学，可以引导学生经历如下三个环节：借直观之形，理解量之间的关系，初步形成小数的表象；
借关联之形，理解数之间的关系，建构小数的本质内涵；
借结构之形，理解数的整体性，获得小数的系统认识。
关键词：小学数学；
直观想象；
数概念；
数形结合；
小数的意义
一、直观想象与数的认识
直观想象是連接直观与抽象的重要过程，也是探索形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。数是对数量的抽象化表达，数量是对现实生活中事物量的抽象。“在认识数之前首先要认识数量，并在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。”［1］数的概念是数学的基础（尤其是数的运算、数量关系的基础），也几乎是所有学科的基础。数的认识是小学数学的重要内容，涉及整数、小数、分数、百分数等的认识。
数的认识过程是一个从直观到抽象的递进过程。从具有现实意义的具体数量开始，如糖果的颗数、房子的幢数、车子的辆数等，在数数的过程中达成量与物的一一对应，在脑海中完成对数的构造，这一过程离不开实物的模型支撑。然后，在多与少的感受中，逐渐抽象成利用图形对应表征具体数量，把同等数量的不同事物对应于同一类图像，渐而形成数的模型——特别是基于心理数轴实现空间与数量的融合［2］。最后，将图形符号化来表示数。
对小学生来说，数的概念比较抽象。在教学中，教师需要引导学生借助能够显示数的直观材料，利用实物、图形等载体进行数学想象和思考，从而明确形与数的联系，建立数的直观模型，把握数的意义，由此让规定性的数学内容转化为理解性的数学知识，让数看得见、摸得着。
二、策略要义
纵观小学数学教材的编排，多以直观想象的借形理解策略引导学生对数的概念进行建构。但是，在实际教学中，直观想象的过程常被简化。实际上，使用借形理解策略帮助学生建构数的概念，应以“形”为载体积累表象，推动学生直观感知、分析、建构或拓展相应的认知结构，让学生经历完整的直观想象过程。具体来说，一般要经历以下三个层次：
第一，借助实际的具体数量，理解数的现实意义。基于学生的原始经验展开数概念的学习。原始经验可能来源于生活经验，也可能是之前的学习经验。教学时，可以根据现实意义创设情境，引导学生利用已有的经验表征数，如借助具象实物，通过摆一摆、10个一堆等行为，感知数所表示的具体量；
同时，通过画图圈一圈等方式，从实物到图形，对表象进行抽象，理解数量是一种对现实世界中与量有关的事物的抽象。
第二，借助图形的多样变化，理解数的抽象意义。数概念的理解是一次次抽象的过程，借形的要义在于关联与想象。要引导学生在图形之间、图形要素之间寻找关系，产生关联与想象，通过图形的多样变化，理解数的位值概念以及数位之间的进率关系，感知数中不同位值的大小关系，从而帮助学生更清楚地看到数的本质关系。
第三，借助数系的内涵拓展，理解数形的互鉴意义。数概念的学习是一次次数系拓展的过程，数系的形成是一个越来越抽象的过程。在此过程中，学生需要不断地借助直观的数轴进行丰富的想象，才能形成对数的完整理解、立体认知。在借形理解的过程中，数形关系的互通是建构数概念体系的重要过程。
三、实践案例
现以人教版小学数学四年级下册《小数的意义》一课为例，具体阐述数概念建构中直观想象运用的借形理解策略。
本课是学生在认识了整数以及初步认识了分数和小数的基础上，进一步学习小数的意义，为后续学习小数的四则运算打基础。学生在学习整数的过程中，对位值记数法、“满十进一”有着丰富的经验，能在具体情境中，借助十进分数理解小数表示的意思。但是，前测发现，学生对一个抽象的小数做图示化的意义解读，存在一定的困难。张奠宙先生认为：“小数的本质在于‘位置记数法的拓展，而不在‘十分之几的表述。小数是将个、十、百、千等不断扩大的位置计数方式，朝着另一个方向（‘不断缩小的位置计数方式）加以延伸，是整数的延续。”［3］由此，本课应当强化小数与整数的关联，引导学生通过十进位置制记数法的拓展理解小数的意义。借形理解策略可以在这样的学习目标引导下逐渐展开，助力学生立体建构小数的概念。
（一）借直观之形，理解量之间的关系，初步形成小数的表象
【教学活动1】 画指定长度的线段
教师先出示3、0.3、30、0.03这四个数，请学生读一读、认一认；
再加上长度单位“厘米”，提出任务要求“在半张A4纸上画出这四个长度的线段”，让学生自主完成、小组讨论。
这一活动，一方面立足学生的知识起点，以“计数单位”为核心，借助直观的长度模型——线段，让学生在具体画线段的过程中，感知小数的意义、小数与十进分数的联系；
另一方面，利用成组出现的四个数据，建立整数和小数的联系，促进十进位值制的迁移。
由于纸张大小以及操作精度的限制，在这个活动中，3厘米和0.3厘米容易被画出来；
而30厘米和0.03厘米一个太长，一个太短，很难被画出来。因此，教学反馈主要分两个层次：
一是3厘米和0.3厘米是怎么画出来的。结合线段图，引导学生重点理解3厘米是3个1厘米，和单位“1”建立联系；
0.3厘米是3个0.1厘米，说明把1厘米平均分成10份，其中的3份是就是0.3厘米，也即310厘米。
二是30厘米和0.03厘米画不出来怎么办。引导学生在想象画线段的过程中，理解30厘米是3个10厘米，或30个1厘米；
0.03厘米是3个0.01厘米，说明把0.1厘米再平均分成10份，其中的3份就是0.03厘米，也即3100厘米，或把1厘米平均分成100份，其中的3份就是0.03厘米。
画线段活动聚焦数的大小，在纸上反映出来也就是线段的长度。基于度量情境，在画图、观察、比较和说理等丰富的数学活动中，借形理解1厘米这一基本单位，感知小数概念的表象，实现小数与分数、整数的连接以及数概念教学的整体性和一致性。
（二）借关联之形，理解数之间的关系，建构小数的本质内涵
【教学活动2】 看图写数
教师出示图1，提出问题：这四幅图表示了四个数，你认为表示的是哪四个数？怎么想的？让学生独立思考、同桌交流。
這一活动，引导学生建立图形与数的关系，借助有关联的图形，获取数之间的关系。教学反馈主要分三个层次：
一是把小正方体看成1。学生基于整数学习的经验，把一个小正方体看成1，根据图形的特点，得到10个一是10，10个十是100，10个百是1000，从而认为这四幅图表示的数分别是1000、100、10、1。
二是把大正方体看成1。学生往另一个方向思考（退位的方向），把1个大正方体看成1，表示的数依次就变成了1、0.1、0.01、0.001。教师引导学生说明：把1平均分成10份，其中的1份就是0.1，也就是110；
把0.1再平均分成10份，其中的1份就是0.01，也就是1100；
把0.01再平均分成10份，其中的1份就是0.001，也就是11000。
三是把任意一个图形看成1。在变化比较中，学生受到启发，认识到可以把这四幅图中的任意一个看成1，根据它们之间的十进关系，得到不同的数。
随即，教师出示图2，提出问题：如果把左边的大正方体看成1，右边的这几幅图合起来表示几？学生回答后，教师追问：为什么表示0.22？引导学生认识到，这几幅图表示22个0.01或2个0.1加2个0.01。
以图形化问题为载体，从图形中获得直观想象的能力，即从图中获取合理的思维，认识从形入手，掌握从形起步，这也是借形理解的重要价值。这个环节，以正方体为载体，建立直观模型，突出1的关键作用，帮助学生理解小数概念的本质：以1为基本单位，可以向大小两个方向延伸，得到整数和小数；
整数是计数单位的累加，满足十进制；
小数是计数单位的均分，满足十分制。
（三）借结构之形，理解数的整体性，获得小数的系统认识
在利用看得见长度、体积的线段、方块图，引导学生充分认识小数的意义的基础上，再利用半抽象的计数器和数线模型，帮助学生系统建构小数的概念。
【教学活动3】 在计数器上表示数
这个活动主要分两个层次。一是在计数器上表示0.22，交流时聚焦计数单位。二是在0.22的基础上接着往下拨数，先一起数，计数器停在0.29时问：“再加一个0.01是几？你是怎么写的？”辨析得出10个0.01就是0.1。继续问：“再拨几个又要前进一位了？为什么？”辨析得出10个0.1就是1.0。
由此，从整数和小数联系的角度进行小结：数数也就是数计数单位的个数，都是满十进一。该活动借助计数器，紧紧围绕着十进位值制，帮助学生融合小数与整数的进率与位值，建构更为完整的记数系。
【教学活动4】 在数线上表示数
教师出示图3，布置任务：在数线上找出各个小数的位置。请学生独立完成。
反馈时重点交流0.72和1.3是如何确定的。0.72里有7个0.1和2个0.01，基于前面的学习，学生容易正确解答。对于1.3，学生可能出现的问题是标在0.13或1.03的位置。根据学生的真实错误，突出小数的计数单位，在辨析过程中明确数线上的1，以及1.3里有13个0.1。
该活动借助数线模型，进一步抽象数的直观表征，并且把小数纳入有理数的体系中，化形散为神合，发现数与数线上点的一一对应关系。［4］
回顾整节课的学习，借形理解是直观想象的典型特点：借线段之形、关联之形和结构之形，强化小数与整数的关联，结合十进制位值记数法的深刻认识，理解小数的意义。以“线段、立方体、计数器、数线”为载体的“形”，在助力学生理解小数的意义、感受小数的本质、建构小数概念的过程中，起到了重要的作用。
参考文献：
［1］ 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题［M］.北京：高等教育出版社，2013：3-7.
［2］ 吴增生.“有理数”单元教学研究：在教育神经科学视野下［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（4）：60.
［3］ 张奠宙，孔凡哲，黄建弘，等.小学数学教学研究［M］.北京：高等教育出版社，2010：89-94.
［4］ 费岭峰.三重认知，助力数概念立体建构——人教版四下“小数的意义”教与思［J］.小学数学教师，2018（7/8）：105-108.
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