张艳 吴志坚
［摘 要］ “画数学”是学生数学学习的一种重要方式。引导学生“画数学”，用多样化的图表、图式、图形表征数学概念、关系等，能有效地提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。在小学数学教学中，教师要引导学生“画题意”“画意义”“画推理”“画模型”等，促进数学课程的开发和学生的数学学习。“画数学”彰显着学生数学学习的本质力量，是学生生命实践智慧的确证与表征。
［关键词］ 小学数学；
画数学；
学习力；
形象支撑
数学是一门抽象化、理性化、形式化的学科，而小学生的数学思维却是直观的、具体形象的。如何有效地引导学生理解抽象的、形式化的数学知识？笔者在教学实践中应用“数学画”这样一个形象化、直观化的载体、媒介，助推学生的数学理解、数学建构和数学应用。在数学教学实践中，笔者一直坚持将抽象的问题“直观地教”，将复杂的问题“形象地教”的原则。“数学画”是学生数学学习的有益支撑，也是学生数学学习的“润滑油”“催化剂”，能让学生的数学学习事半功倍［１］。教师要由浅入深、循序渐进地引导学生“画数学”。实践证明，引导学生“画数学”，用多样化的图表、图式、图形表征数学概念、关系等，能有效地提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。
一、画题意：让问题得到表征
教材中的相关数学习题，往往是以“文字”“符号”等形式呈现的。对于“文字”和“符号”，小学生天生就有一种不适应的心理，这是因为文字、符号等都是抽象化、理性化、形式化的。借助于“画数学”，将抽象的文字、符号等变为形象化、直观化的图形，就能促进学生对题意的理解，进而有助于学生建立题意在头脑中的心理表征。“画数学”是数学可视化教学的一种方式，它能让题目的含义变得触手可及。画题意的方式有很多种，比如可以画线段图、实物图、示意图、思维导图等。借助于“画数学”，教师可以使学生的数学学习更加个性化、自主化。
“画题意”不仅要画出题目，而且要画出题目中蕴含的相关知识的本质，揭示题目中蕴含的知识的关联。比如，教学“解决问题的策略——假设”中的“鸡兔同笼”问题，鸡和兔一共有8只，它们的腿一共有22条，鸡有几只，兔有几只？在这样的一个问题中，由于未知量有两个，对学生来说富有一定的挑战性。教学中笔者引导学生画图：有学生画了8个小圆圈表示8只小动物，然后在每一个小圆圈下面画上两点，表示给每只小动物装上两只脚，最后发现一共画了16条腿，而题目说一共有22条腿，这样就少画了8条腿。那么，这8条腿是谁的呢？显然是兔子的。由于每只兔子少画了2条腿，而总共少画了8条腿，所以一共就有4只兔子。这样的一种题意表征的过程，也就是学生对题意进行深入理解的过程。在画图的过程中，当学生发现少画了几条腿时，自然会思考：“为什么会少画？”“少画的腿是谁的？”“一共有多少只这样的小动物（指兔子）？”一边画图，一边理解题意，一边展开分析，这应该是学生数学学习的常态。在这个过程中，学生找到了“假设问题”的解决策略，形成了“假设问题”的一般性的解决问题的思路。通过画图，题意就能以直观、形象的方式呈现出来，问题的本质就会暴露出来，学生就能把握题目中的条件和问题之间的关联。
“画题意”是学生解决实际问题的第一步。在数学教学中，“画题意”能让题目中复杂的关系简单化，能让陌生的关系熟悉化，能建立起新旧知识的关联，能打开学生的数学思维和想象之门。“画题意”能变“看不见的数学”为“看得见的数学”［２］。同时，画图的过程也能拓宽学生的思路。比如在上述教学中，有学生先给每只“小动物”装上了4条腿，结果发现腿装多了；
还有学生将“先画2条腿的方法美其名曰‘增腿法”，将“先画4条腿的方法美其名曰‘砍足法”，等等。尽管这些方法的名称不太准确，但却表达了学生对这种画题意分析问题的方法的喜爱之情。
二、画意义：让本质得以揭示
数学的概念是抽象的，数学的法则也是形式化的。在数学教学中，教师可以引导学生通过“画数学”，将相关数学知识的意义、本质等揭示出来。尤其是对于一些形式化、抽象化的算法，通过画图能揭示其内在的算理。在数学学科中，算法解决的是“怎样算”的问题，而算理解决的是“为什么这样算”的问题。借助于“画数学”，学生能深刻地理解“为什么这样计算”。因此，在数学教学中教师应该且必须引导学生画图。正如数学教育家华罗庚所说，“数形结合百般好，隔离分家万事休”［３］。
比如“分数乘分数”这部分主要内容是让学生理解“分数乘分数的意义”，建构“分数乘分数的法则”。对于这样的两个内容，笔者在教学中引导学生“画数学”。比如对于“3/4×2/3”这样的一个乘法算式，笔者唤醒、激活学生旧知：如何用一个长方形图表示3/4？学生纷纷画出一个长方形表示单位“1”的量，然后将这个长方形平均分成4份，表示其中的3份，并涂上阴影。在此基础上，笔者引导学生思考：如何表示3/4的2/3？有学生认为，应该重新将3/4看作单位“1”的量，然后将单位“1”的量再平均分成3份，表示其中的2份；
有学生认为，可以直接将3/4换一个方向平均分成3份，表示其中的2份。在此基础上，笔者引导学生在原有阴影的基础上再涂上“阴影”。最后，在引导学生完成画图之后，笔者让学生观察图中的“单层阴影”和“双层阴影”，从而让学生理解“3/4×2/3”的意义，即“将3/4平均分成3份表示其中的2份，也就相当于将原来的单位‘1的量平均分成了12份，表示其中的6份”。由此，学生自然地从“分数乘分数”的意义出发，建构了“分数乘分数”的法則。
“画数学”的过程就是学生数学思维“可视化”的过程。当学生经历了这样的过程之后，数学知识抽象化的意义、法则就变得看得见、摸得着了。在小学数学教学中，借助于“画数学”，不仅能让数学知识变得形象化，而且能促进学生消除数学理解的障碍、困惑，突破数学知识学习的重难点等。“画数学”是学生数学学习的有效路径，也是学生数学学习的有效策略。
三、画推理：让过程得以严谨
学生的数学学习过程从某种意义上说，就是一个抽象、推理和建模的过程。其中，推理在学生的数学学习中占据着重要地位，具有重要的意义和价值。在小学数学教学中，教师可以引导学生“画推理”，使学生将新旧知识进行比较，从而让其推理思维更严密、更严谨。“画推理”的过程，能让学生尝到“甜头”［４］，也能让学生品尝数学思维的乐趣、数学推导的乐趣、数学探究的乐趣。
比如教学“圆的面积”这部分内容时，笔者就引导学生用“画数学”的方式进行问题表征、推理。由于圆是一种曲线图形，而已经学习的“多边形面积”中的多边形都是直线图形，通过画图沟通直线图形与曲线图形就显得尤为重要。教学中，笔者一方面借助多媒体课件，向学生动态展示一个圆滚动后圆面留下的轨迹；
一方面引导学生将圆平均分成16份，并将每一份拼在一起形成了长方形。在此基础上，笔者引导学生比较圆与长方形。通过比较，学生会积极主动地思考：长方形的长相当于什么？长方形的宽相当于什么？长方形的面积相当于什么？由此，学生会借助“图”，直观地推导：长方形的长相当于原来圆的周长的一半，长方形的宽相当于原来圆的半径，长方形的面积相当于原来圆的面积，又因为长方形的面积等于长乘宽，所以圆的面积就等于圆的周长的一半乘圆的半径。通过化简，学生就能得到圆的面积计算公式。在这个过程中，教师还可以引导学生比较“圆”和他们所画的“长方形”，进而想象：如果将圆平均分成32等份会怎样？如果将圆平均分成64等份会怎样？平均分成1280分呢？……通过想象，渗透、融入数学的极限思想，让学生感悟“极限”的数学方法。这样的一种通过“画数学”引导学生学习的过程，能培育学生的概括、抽象、推理等多重能力。
推理的过程就是学生抽象学习对象，并进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的本质化、数学化、形式化、公理化的过程。借助于“画数学”，教师能有效地引导学生舍弃数学学习对象的非本质属性，提炼数学学习对象的本质属性。数学推理有助于发展学生的高阶思维，使学生形成高阶认知。“画推理”为学生的数学高阶思维、认知和为学生的深度探究提供了有益的支撑和支持。
四、画模型：让结论得以凝练
从某种意义上说，数学学科中的每一个数学知识点，包括概念、法则、公理等都是一个个小小的数学模型。数学模型是对学生数学学习对象的一种本质化、形式化、抽象化、公理化的提炼和概括。从这个意义上说，数学模型揭示了数学知识的本质属性，反映了数学知识的本质特征。为了帮助学生理解数学的概念、法则、公理等，教师可以引导学生画出数学模型，从而让学生的数学学习结论得到“必要的凝聚”（郑毓信语）［４］。引导学生画出数学模型，不仅仅要彰显数学模型的原生价值，更要彰显数学模型的育人价值。
数学模型是一种符号化、形式化的数学语言，体现了数学知识的“本质美”“简约美”“统一美”［５］。而“画数学模型”更能彰显出数学模型的一种内在的形象美。借助于“画模型”，能激发学生的数学思维、催生学生的数学想象，能鼓励学生的数学创新。可以这样说，“数学画”是学生个性化、情意化的一种表达。它能引导学生更加地亲近数学、喜爱数学，能让学生找寻到数学学习的内在兴趣、意味等。比如，“乘法分配律”这部分内容的数学模型就是“（a+b）×c=a×c+b×c”。为了促进学生理解数学模型，教师一方面可以引导学生用日常的生活语言对数学模型进行意义赋予，比如让学生举出生活中应用乘法分配律的例子；
另一方面可以引导学生画出这个数学模型。比如，笔者在教学中就引导学生画出两个等宽的长方形，其中“a×c”表征一个长方形的面积，“b×c”表征另一个长方形的面积，而“（a+b）×c”表征整个大长方形的面积等。如此，学生就能借助长方形的面积示意图来理解、建构乘法分配律的意义模型。这样的“图画模型”能夯实学生的模型表象，让学生深刻地认识到乘法分配律的几何意义。将抽象的数学符号模型变成图画模型，能有效地培育学生的数形结合思想。
“画模型”能有效地培育学生的数学意识，提升学生的数学能力，能让学生形成“数学的眼光”和“数学的大脑”，进而让学生用数学的眼光观照生活，用数学的大脑考量世界。在小学数学教学中，引导学生“画模型”，就是要引导学生充分经历数学模型的建构过程，促进学生对数学模型的深度化、直观化、形象化的理解。可以这样说，一切抽象的知识都可以用某种深入浅出的图形或图示方式表达出来。正如美国教育家布鲁纳所说，“任何知识都可以用适当的方式教给任何年龄的任何儿童”。
画画是学生的一种天赋性的爱好，画笔是学生探索未知世界的一种“武器”。同样的，“画数学”给学生提供了一种深入研究数学、学习数学的“秘密武器”［６］。在数学教学中，教师应当充分发挥“画数学”的育人效应，彰显“画数学”的育人价值，让学生充分地“画数学”。通过“画题意”“画意义”“画推理”“画模型”等，促进学生数学课程的开发，也促进学生的数学学习。“画数学”彰显着学生的数学学习的本质力量，是学生生命实践智慧的确证与表征。
参考文献：
［１］ 牛佳. 利用画图策略培养学生解决数学问题的能力［Ｊ］. 中国教育学刊，２０１７（１１）：１０７.
［２］ 蔡宝塔. 例谈几何直观在小学数学教学中的应用［Ｊ］. 亚太教育，２０１９（０２）：５５.
［３］ 俞正强. 种子课—— 一个数学特级教师的思与行［Ｍ］. 北京：教育科学出版社，２０１３.
［４］ 吳正宪. 吴正宪数学教学教例与教法［Ｍ］. 北京：人民日报出版社，１９９８.
［５］ 成尚荣. 学会数学地思维——小学数学教学案例解读［Ｍ］. 南京：江苏教育出版社，２００１.
［６］ 黄红成. 低年级数学画图教学的意义及方法［Ｊ］. 教学与管理，２０１９（２３）：３５－３７.
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