卢恩良
江西省九江市第三中学 (332000)
已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线y=x-2与抛物线C交于A，B两点.
(1)求△FAB的面积；
(2)过抛物线C上一点P作圆M：(x-3)2+y2=4的两条斜率都存在的切线分别与抛物线C交于异于点P的两点D，E.证明：直线DE与圆M相切.
本题是典型的抛物线多动点问题，结合直线与圆的位置关系进行考查，对学生逻辑推理能力和数学运算能力有较高的要求.直线与圆锥曲线综合问题，常规方法是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，将几何条件代数化进行求解，但往往求解复杂，运算繁琐.
因抛物线方程的特点，对于抛物线多动点问题，我们常采用设点法，利用抛物线的两点弦方程简化计算.本文主要对试题第(2)问进行解答.
思路分析：虽然P，D，E三点都在抛物线上运动，但点D和E的运动都是由点P引起的.因此，只要确定好了点P，点D和E相应也会确定，切线PD和PE也能确定下来.如此看来，我们应该想办法借助于点P来表示直线DE方程，然后计算圆心M(3,0)到直线DE的距离等于半径即可证得此题.
抛物线上两点弦方程：已知抛物线y2=2px(p>0)上不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线AB方程为2px-(y1+y2)y+y1y2=0.
一般地，我们称此方程为抛物线上两点弦方程，证明过程略.
特别地，当A，B两点重合时，此时抛物线上两点弦方程变为抛物线的切线方程.
评析:试题要证明直线DE与圆M相切，因此我们关键在于写出直线DE的方程.因为点P，D，E三个点均在抛物线上运动，于是联想到抛物线上两点弦方程，然后根据直线与圆相切建立代数关系.在解答过程中，由PD方程得到PE方程体现了数学中的类比代换思想，直线DE方程的得到更是借助于同构式的特点，值得学习与借鉴.
通过对试题的解答，我们知道抛物线y2=4x上三个不同点构成的三角形，如果其中两条边与圆M相切，则第三条边也与圆M相切.这个性质仅针对圆M成立吗？还有没有其他符合该性质的圆？对于一般的抛物线y2=2px(p>0)是否也存在这样的圆？带着这样的疑问，笔者展开了研究，并得到了以下两个结论.
结论1 设抛物线C：y2=2px(p>0)，圆M：(x-4p)2+y2=4p2.点A1，A2，A3是C上的三个不同点，若直线A1A2，A1A3与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切.
由结论1，我们可以尝试对原试题进行改编.
改编试题1 过抛物线C：y2=4x上一点P作圆M：(x-8)2+y2=16的两条斜率都存在的切线分别与抛物线交于异于点P的两点D，E.请判断直线DE与圆M的位置关系，并说明理由.
由结论2，我们可以得到改编试题2.
改编试题2 已知抛物线C:y2=4x，圆M：(x-t)2+y2=1(t>0).过抛物线上一动点P作两条斜率都存在的切线分别与抛物线交于异于点P的两点D，E.是否存在实数t，使得直线DE与圆M相切？如果存在，请求出t的值；
如果不存在，请说明理由.