刘 钊
(长沙师范学院 马克思主义学院， 湖南 长沙 413100)
西方学术传统一直重视数学学科。一般认为，近代科学两个重要的特征是自然的数学化和实验方法的使用，两者之中，自然的数学化显得尤为重要。这种传统和方法源自古希腊，毕达哥拉斯学派十分重视数的作用，把数看做世界的本原。希腊化时代，亚历山大里亚学派的欧几里得创立平面几何，托勒密和阿基米德则完成了早期自然数学化的工作[1]。中世纪早期，波埃修斯(Boethius, 480—524)就提倡数学的重要性，卡西奥多拉斯(Cassiodoriu, 490—585)首倡“四艺”(Quadrivium)，其中就有几何和算术，这也成为中世纪大学课程中重要的“自由七艺”(Septem Artes Liberales)内容。在这样的历史传承和时代背景下，中世纪盛期经院哲学内部出现了一些学者，他们开始逐渐发现并强调数学的重要性，罗吉尔·培根就是这股思潮在13世纪的代表。
罗吉尔·培根(Roger Bacon，1214—1292)是13世纪英国杰出的学者，他曾就读并任教于牛津大学，是圣方济各会修士，其最重要的学术成就之一是《大著作》(Opus Majus)。在经院哲学盛行的年代，培根特别关注和传统经院哲学不尽一致的学科领域，尤其强调数学的重要性。《大著作》第四部分标题就是《数学》(Mathematicae)，培根在其中全面论述了他的数学观。从中可以发现，培根在13世纪的观点似乎预示了四百年后近代科学发展的方向，培根成为了走在时代前列的人。
培根数学知识的主要来源是前辈学者的著作。培根通晓许多经典的数学著作或和数学相关的著作，这都体现在培根的论著中。
(一)受西方数学先贤影响
从古希腊到中世纪早期的诸多西方学者首先影响了培根的数学思想。培根引用柏拉图的《蒂迈欧篇》，这其中有很多数学与天文学的论述。培根几乎引用了亚里士多德的所有著作，精通欧几里得的《几何原本》(Elements)和《光学》(Optics)，十分熟悉托勒密的《天文学大成》(Almagest)和《光学》(Optica)，读过狄奥多西(Theodosius of Bithynia，前160—前100)的《论天球》(Sphaerics),并且几乎知道希帕克(Hipparchus，前190—前120)、阿波罗·尼奥斯(Apollonlus，前262—前190)和阿基米德的所有著作。他也通过二手材料了解了尼科马霍斯(Nicomachus of Gerase，60—120)的著作。罗马之后的拉丁学者为培根常常提及的是波埃修斯，以及那些后期著作家如伊西多尔(Isidore of Seville，560—636)、卡西奥多拉斯、比德(Bede，673—735)和约翰努斯·内莫拉里莫斯(Jordanus Nemorarius)，他们均活跃于13世纪[2]160。
(二)熟悉东方数学众杰
培根同时也熟悉东方诸多学者尤其是阿拉伯学者，这其中他主要关注天文学和光学等方面较有成就的人。有些学者的光学研究需要用到数学(几何)知识，因此也被培根看作数学家。影响培根的阿拉伯数学学者包括伊本·哈塔姆(Ibnel-Haitam)、阿维森那(Avicenna)、阿尔金地(Al-Kindi)、泰比特·伊本·科拉(Tabit Ibn Qorra)、阿尔·法格尼(Al-Fargani)、阿尔巴塔尼(Al-Battani，858—929)。[2]161这其中对培根影响最大的是伊本·阿尔哈曾(Ibn Al-Haytham)，他的主要成就在于透视学，其影响一直持续到17世纪。阿尔法拉比(Al-Farabi，872—950)的《论科学》(De Scientiis)和《知识的兴起》(De Ortu Scientuarum)也为培根所提及[3]。需要指出的是，在代数方面，培根知道一些学者的名字，却没有在他的著作里提到任何代数学的著作和具体知识。另外，培根的著作中没有提到中世纪伊斯兰世界最著名的数学家欧玛尔·海亚姆(Omar Khayyam，1048—1122)，这也说明培根并不算是一个专业的数学家。
在《大著作》中，培根对数学的论述有三个特点。第一个特点是篇幅长，内容多。在《大著作》第四部分，培根以洋洋洒洒三百多页的内容讨论了数学这个主题，这远超同时代的非数学专业学者，同时这部分内容在培根《大著作》中所占的篇幅也是最长的。第二个特点是“笔端常带感情”，但又不失理智。仔细阅读《大著作》文本就会发现，培根对于数学的讨论语句，充满了对数学的赞美和颂词，而其他学者所表现出来的往往是冷静哲学风格的分析。培根的作品不是分门别类条目式的数学论文，而是从心底的呐喊，是对教皇的宣传和演说。他想积极说服教皇，只有数学才是拯救基督教之良方。这并不是说培根的作品里面缺乏深刻的分析和哲理，而是其字里行间透露出的热忱将冷静的深刻思考掩盖住了，如果剥离掉文本之中的感情，仍旧可以发现热情之下冷静的理智[4]。第三个特点是培根以数学在整体学科中的地位来看待数学。培根所关注的不是数学本身，而是数学在整个学科分类和学习中的地位和次序。培根是一个百科全书式的学者，他是从所有学科的整体性这个高度出发来看待数学，尤其关注数学学科教育的过程。
(一)数学的基础性
1.数学是知识的“大门”与“钥匙”
培根在《大著作》中《数学》部分的开篇即开宗明义，就数学的基础地位来论述其重要性。培根认为：“我们如果没有四大科学是无法掌握其他科学知识的……，这些科学的大门与钥匙是数学，……忽视数学的人无法知道其他科学或这个世界上的其他事物。”[5]116
培根的这段话预示着数学知识在科学研究中的重大作用。当时科学的发展还不能发现数学是科学方法的特征之一。但是培根以他所处时代的知识论证了数学的重要性，其表现就是培根对中世纪的“透视学”(Perspective，Perspectiva)有非常精深的研究，他在透视学中频繁使用了几何方法。大卫·C.林德伯格认为，培根的透视学理论紧密结合了几何学知识，比较多地运用了数学尤其是几何方法，可称为“几何透视学”[6]。
2.数学是所有学科的基础
培根在强调数学重要性时借助了很多权威的理论。培根认同并引用波埃修斯(Boethius)在《算术》(Arithmetic)中的话：“如一个研究者不懂数学将不能认识真理。无论谁忽视这个方法，他将失去所有知识。除非他掌握‘四艺’，否则将不能到达哲学的高度。”[5]117在这一点上，培根认为亚里士多德是一个很好的例证。亚里士多德在《形而上学》第六卷中说到：“在三种哲学的基础——数学、自然科学和神学中，数学更为基础，并对掌握其他两种有帮助。”不难发现，培根认为权威都将数学看作是对其他知识有益的学问，并借助权威的观点来论证数学的重要性。
(二)数学的唯一确定性
1.数学本身的唯一确定性
培根同时还强调，数学的唯一确定性是数学学科的特点之一。他的论述极为精彩与透彻：“数学能使我们排除错误、追求真理，获得一个毫无疑点的确定性。数学有严密的逻辑推论与证明，通过作图与计算，我们所能认知的一切都是明确的，因此我们对数学知识没有不确定的怀疑。其他学科则不然。”[5]124
由此可以看出，培根认为数学几乎能超脱于感觉与经验事实，在确定基本原则之后，数学的命题与结论可以通过纯粹逻辑的推理与计算得出。培根能够认识到这点，首先是因为他能够很好地掌握欧几里得《几何原本》中的推理方法与数学精神。其次，他重视几何与算术，这也是中世纪“自由七艺”的学术传统。需要特别指出的是，培根在这里所说的数学更多地指向欧几里得的几何学，而不是算术。最后，在中世纪众多学者中，培根认为作为工具的数学能够使诸多学科体现出唯一确定性的特点，而这和以后自然科学的发展趋势是一致的。
2.数学能使其他学科达到唯一确定性
正是因为数学自身的唯一确定性，所以培根认为，其他学科的确定性也必须借助数学才能达到。这个原则在欧几里得《几何原本》第九卷中被提及：“问题不能为怀疑所确认，真理也不能由谬误来证明……但是只有数学……在必然性与验证范围之内是明确的，是可以验证的，因此所有其他科学都必须通过数学来进行掌握与验证。”[5]124-125
相当具有启发性的是他在《大著作》中讨论重物的降落时，区分了关于事实(quia)的证明与原因(propter quid)的证明，或者称之为通过结果与通过原因进行证明，即在所有原因的证明中都需要数学，而事实的证明则采用的是物理原理：“我们可以看到与自然事物有关的论证有两种模式：一种是从原因(cause，causas)开始的证明，一种是从效果(effect，effectum)开始的证明。……但是只有原因可以掌握真正的知识(scientia)，或者至少说到目前为止，通过原因掌握的知识比效果的知识要好一些，……因此，既然在自然事物中，通过原因进行证明可以通过数学进行证明，并且通过自然哲学可以通过结果进行证明，因此数学家比自然哲学家能够更好地获得自然事物的真正知识。”[5]189
这段话意味着两点：第一，培根的论述展示了他试图区分新科学与传统的经院哲学、自然哲学和物理学的不同。他的新科学是基于数学和经验的推理论证，经院哲学只是追求内在一致的推理论证，这样的推理论证迟早会沦落为诡辩[5]127。培根之后的康德通过指出逻辑的内在局限——二律背反，补充了培根的学说。至于自然哲学，培根认为自然哲学家不能与数学家相媲美，因为前者证明的过程是从效果到原因，是归纳的，后者是从原因到效果，是演绎的，因此数学家的证明更加严格。数学家研究自然得出的结论比自然哲学家更为可靠，所以培根认为自己利用数学和经验的新科学更加优越。第二，培根将数学看作是科学研究的重要工具，是知识的协调者。培根对数学的讨论在大部分时候不是关注于数学本身，而是将数学作为一种工具，是一种将精确性带给物理学的方法，它指定了自然中可量化的元素。它给学者需要的确定性，通过测量和计算经验感受到的事物，这种确定性越发坚不可摧，因为它可以确认他通过观察认知到的。只有通过数学才能确定什么样的性质和原因是能被科学调查所影响的。应该承认，培根是第一批认识到绝对有必要将数学应用到物理学的人[7]。
(三)天赋能力、优先教育与感性认识：数学的地位和次序
在讨论完数学的重要性和唯一确定性之后，培根将数学置于整个学科体系当中，分析其在学习中的地位和次序。培根的这些论述大多针对人先天的能力与教育过程的先后顺序，可以看做是对数学的教育学和心理学分析。
1.数学本身并不复杂
培根虽然将数学置于至高无上的地位，但他并不认为数学本身是一门非常复杂的学科，人们学习数学也不需要卓越的能力。培根认为没有理由可以支持逃避学习数学的行为，因为理解数学是人的先天能力，即使完全没有文化修养的人也知道画图、估算与唱歌，这些都是数学行为，因此可以证明数学没有超出人类的智力范围[5]122。更早的柏拉图对此也有论述，《美诺篇》就叙述了一个奴隶出身的男孩学习几何的例子，以此说明几乎文盲的人也容易学会数学[8]。培根是从几何、算术和音乐来考察数学所对应的人的某种能力，这依然是在中世纪“四艺”的范围之内。培根以一些简单的事实来论证自己的观点，绘画、计数与吟唱是人类先天的能力，没有接受过专业数学培训的人也能拥有这些技能，至少说明数学本身并不复杂，人类天赋掌握着学习数学的能力。培根在此处很明显受到了柏拉图思想的影响，但他更进一步，认识到画图以外的估算和唱歌能力同样也是天赋的数学行为。
2.数学是人应该最先掌握的学科
在培根看来，认识自然的过程要由易到难。儿童最先学会的是唱歌，然后是画画，这些都和数学有关，因此数学是人应该最先掌握的学科。他还引用亚里士多德在《伦理学》(Ethic)中的话来阐明儿童掌握数学知识比其他知识要快。培根指出认识自然就应该从最简单的开始，而最容易掌握的知识就是数学[5]127。培根的这些话体现出他对教育的关心。他认为在教育中数学应该置于优先的地位，以便于学生以后学习其他的知识，这是他作为一个教师的职业敏感性，这也是培根对认识世界过程的分析——儿童认识世界的过程可以看做是人类认识世界过程的再现。这一观点在先哲那里已经得到确认。
3.人的理性因数而进步
培根认为，对于人们来说，认识自然的路径要从感性到理性，缺少感性认识，和感性认识相关的知识就会缺失。识数属于常识性的能力，并且经由其他的感知所认识。缺少数字，任何事物都不能被理解。因此人的理性尤其能够因崇敬数而获得进步。亚里士多德在《记忆与回忆》(Memoria et Reminiscentia)中提到，我们总体的理解力都与连续性和时间相关，我们通过对人的智力的直观感知而领悟数和天体，因为数和天体的形式就存在于人的智力之中[5]125。这段论述说明培根已经开始深入思考认识论的相关问题，人类为什么可以认识世界和人如何认识世界这两个问题，在培根这里已经有了一些重要的结论。人类的数学能力是建立在对时间和空间的直观感知上的，这种能力织就的先天认识之网捕捉感性的经验事实造就了人对自然的认识，这是一条从先天能力到经验事实再到理性把握的认识道路。培根同时还指出：“一个人如果学好了数学，那么他对于哲学的掌握会更加精深。”[5]122而现代逻辑的发展史，即从形式逻辑发展到数理逻辑阶段，也印证了培根的这些观点。必须承认，13世纪的培根有一定的先见之明。
学术的传承是其得以发展的基础，培根的数学观正体现了这一特点。古典时期和中世纪早期学者的著作，经过大翻译运动而被拉丁世界重新认识，培根有幸生活在大翻译运动接近完成的年代，因此他吸收了大量古典时期的数学遗产，同时也继承了伊斯兰学者的数学成就，形成了自己的数学观。可以说，历史为培根数学观的形成创造了优越条件。
中世纪的“自由七艺”传统中就有算术和几何的内容，经院哲学家的逻辑推理法，也和欧几里得几何学有着思维上的一致性，但是数学的重要性却并没有引起传统经院哲学家的特别关注，古希腊流传下来的数学知识还在神学的母体内孕育着。培根的独特之处正在于此，他以灼灼眼光发现了数学作为其他学科“大门”与“钥匙”的身份，也发现了数学是其他学科的基础。更重要的是，他将演绎法的逻辑严密性赋予了数学，并强调数学的唯一确定性，并且能带给其他学科唯一确定性，这是将数学和自然科学从神学和哲学的框架之中解放出来的重要一步。不仅如此，培根的视野之开阔、眼光之高远还体现在他是从整体学科的高度，以及教育过程的渐进性来看待数学的地位，指出数学的至高地位和天赋能力的特点，因此在系统的学科体系和教育体系中应该置于首位。
研究发现，培根的数学观在中世纪盛期的欧洲是振聋发聩的呐喊，尽管受限于时代，但仍可以说培根的数学观具有一定的先见之明。他并不一定看到了四百年后科学的发展，但是可以认为，他看到了13世纪所能见到的最远的将来，这种预见性也就是人类知识大厦在13世纪的基石。
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