白 龙，刘佳伟
（北京信息科技大学机电工程学院，北京 100192）
近3年来，新冠疫情给人们的生产生活带来了诸多不便，小区封闭使快递无法利用人力送货上门。因此，国内大型的物流企业如京东、美团等都开发了各自的物流机器人。这些物流机器人以轮式机器人为主，能够在结构化地面上实现货物的转运，而对于一些非结构化路面如沟坎楼梯等，轮式机器人就难以被应用。因此，开发一款对地形适应性更强的足式机器人对于解决此类问题尤为重要。
目前，足式机器人大体分为仿人型双足机器人、仿哺乳动物4 足机器人及仿爬虫的6 足和8 足机器人等［1］。相比较而言，4 足机器人比双足机器人具有更好的稳定性，比6 足、8 足机器人结构更简单，控制更易实现，在多种场景中具有广阔的应用前景［2］。
经过多年发展，4 足机器人研究领域已经取得了丰硕的成果。国外比较有代表性的如BigDog［3-4］、LittleDog［5］、Cheetah［6］、TAITANXIII［7］、MiniHyQ［8］、ANYmal［9］等，这些4 足机器人腿部多采用关节型构型并在关节处搭配驱动器的设计。国内山东大学的SCalf［10］、浙江大学的“赤兔”［11］、北京交通大学的DCat［12］、云深处科技公司的“绝影”［13］等4足机器人也都采用了关节型腿部结构进行设计。上海交通大学的“小象”［14］则采用了连杆型的结构对腿部进行设计。综上可知，目前4 足机器人腿部构型主要有关节型和连杆型2 种［15］。关节型腿部构型中驱动器需安装在关节位置处，结构设计简单，控制容易，但会导致腿的质量增加，能耗上升。连杆型腿部构型中驱动器可安装在非关节位置处，连杆传递动力使腿部结构简化。通过设计连杆可将电机连续转动转为腿的摆动，避免电机换向冲击导致额外能量损耗，提高能量利用率。
针对现有电机驱动的4 足机器人控制较复杂、腿部惯量较大、频繁换向的问题，提出一种基于曲柄摇杆机构和平行四边形机构复合的腿结构，降低了控制复杂度与腿的质量。通过对比不同杆长条件下腿的运动学关系，确定了较为合理的连杆尺寸。对此种机器人腿部结构进行了运动学建模，并进行了仿真验证。为后续进行轨迹规划、驱动参数设计奠定了基础。
连杆机构运动形式丰富，可以实现平面或空间中多种运动轨迹。构件之间采用低副连接，具有承载能力强、可靠性高、加工成本低等特点。参考曲柄摇杆机构运动特点，曲柄整周转动时摇杆摆动固定角度，此特性与电机连续转动转为腿部摆动需求相似。将曲柄作为与电机连接的主动件，摇杆即可作为机器人的腿部实现摆动的功能。考虑到单自由度腿的足端轨迹过于简易，机器人在复杂环境运动适应性较差的问题，两自由度腿的足端比单自由度的能生成更多的运动轨迹，在合理的尺寸配置下，能产生较平滑的足端轨迹。为实现两自由度的腿结构，采用曲柄摇杆机构与平行四边形机构复合的方式。由四边形的一个长边作为大腿，一侧短边与摇杆机构固联为一个整体，另一侧短边延长作为小腿。
腿部的机构如图1所示，其中AB为曲柄，BC为连杆，CD为摇杆，ABCD构成曲柄摇杆机构，DE为大腿，HEF为小腿，DEHG构成平行四边形机构。杆CD与DG为同一构件，曲柄摇杆机构与平行四边形机构在D点复合，A、D为机架在同一水平线上。电机驱动曲柄AB进行整周转动时，杆CDG在一定的角度内摆动，在杆组DEHG的作用下杆HEF与杆DG有相同的运动规律，实现小腿的摆动运动。DE杆作为主动杆在电机的驱动下进行摆动，为腿提供一个额外的自由度。足端F的摆动范围能够通过调节各个杆件的杆长与杆CD与DG之间的夹角实现，并且通过调节杆长即可实现丰富的足端运动轨迹。
图1 腿机构Fig.1 Schematic diagram of the leg mechanism
2.1 正运动学分析
图2展示了机器人腿部的坐标系建立情况。连接CG、GM，构件辅助三角形CDG与GMD，在A、D两点间建立绝对坐标系｛O0｝，D点在绝对坐标系中的位置为（x1y1z1）。各个转动副的转轴作为坐标系的Z轴方向，建立局部坐标系｛Oi｝，θ1、θ3～θ6表示杆件与水平方向的夹角，θ2表示杆DE与杆EF之间的夹角，θ7为杆DG与竖直方向的夹角，所有杆件长度为已知。首先对4 杆机构进行运动学分析，得到关于摇杆的运动学关系后，利用齐次坐标变换的方法对足端运动学进行分析。
图2 腿部坐标系Fig.2 Leg coordinate system
4杆机构的封闭矢量方程：
式中：LAD1为A、D两点水平方向的距离；
LAD2为A、D两点竖直方向的距离；
θ4为电机驱动的曲柄与水平方向的夹角，角度已知。
对式（1）进行平方求和再化简可得连杆与水平方向夹角θ5：
将式（2）代入4 杆机构的封闭矢量方程中，可以求解连杆与水平方向的夹角θ6：
由图2中的角关系，可以计算DG杆与竖直方向的夹角θ7和小腿相对于大腿转动的角度θ2：
在已知腿部杆长LDE、LEF，关节转角θ1、θ2以及D点坐标（x1y1z1），即可通过齐次坐标变换进行正运动学分析列写出腿的位姿表达式：
式中：c为cos函数；
s为sin函数。
为验证公式的正确性，参考机构简图建立单腿模型，使用ADAMS 软件对4 杆机构进行运动学仿真分析，能够得到相应杆件的运动曲线。将得到的曲线与数值计算的结果利用Matlab 进行对比运动学分析验证。由式（6）可以得到4 杆机构中连杆、摇杆与水平方向夹角θ5、θ6随时间变化的曲线和膝关节处夹角θ2的曲线图。Adams 的仿真曲线可以对单腿三维模型的曲柄施加驱动，通过测量关节的转角获得。对比结果如图3所示。
图3 各连杆角度的变化曲线Fig.3 The curves of the angles of the connecting rods
在角度计算分析验证的基础上，将计算与仿真的足端运动轨迹结果对比，如图4所示。
图4 足端运动轨迹投影Fig.4 Foot trajectory projection
上述连杆角度的对比结果和足端轨迹的对比结果验证了正运动学分析的正确性。
2.2 逆运动学分析
已知髋关节位置Od=（x1y1z1）T以及足端位置Of=（x3y3z3）T，求解大腿、小腿关节旋转角度θ1、θ2。假设：
使03T=01T·12T·23T两侧同时乘以01T-1，得
式中：01T为正交矩阵所以。01T-1=01TT，将12T和23T代入可得
于是有
对式（10）进行平方求和再化简可得大腿与水平方向的夹角θ1：
将θ1结果代入式（10），可得小腿相对大腿夹角θ2：
式中：D=(x3-x1-LDEcθ4)/LEF
根据图2中的角关系可以得
将θ6代入式（1）中可得
将式（15）代入带回式（1）中可得
逆运动学分析由已知的髋关节、足端坐标进行计算可以得到大腿小腿在当前位置对应的关节角度。在数值计算与仿真中确定相同的足端初始位置，并且由初始位置开始向x轴正方向水平移动，分别得到大腿和小腿关节角度变化曲线，对比结果如图5所示。
图5 大腿和小腿关节角度随足端位置变化曲线Fig.5 Thigh and calf joint angles vary with foot position
由图5验证了逆运动学分析的正确性，可以得到不同足端位置时大腿、小腿关节所需的驱动角度，为后续驱动函数建立奠定了基础。
以上完成了机器人腿部的正逆运动学分析，但是由于4 杆机构存在急回特性以及摇杆在运动过程中存在速度波动，所以还需要对腿部的机构尺寸进行优化，尽量减小这些问题对机器人腿部运动产生的影响。整机模型设计需要以4 杆腿结构为基础，尽可能使机器人腿部小型化轻便化，使其在复杂环境中具有较高的灵巧性。A、D两点作为机架连接点与机器人的躯干直接连接，两个机架连接点之间要为驱动电机以及控制器的安装预留出一定的空间。综合第一代样机模型以及设计需求，腿部两个机架连接点上的距离为100 mm。
曲柄摇杆机构存在无急回特性的充分必要条件是曲柄、机架长度的平方和与连杆、摇杆长度的平方和相等。在机架长度确定情况下，根据后期样机设计及装配所需要的合理杆长选定其他杆件的尺寸范围，曲柄长30～40 mm，连杆长30～90 mm，摇杆长度30～90 mm。使用Matlab软件对数值进行筛选，可以得到8组满足无急回特性的杆长数值，见表1。
表1 符合曲柄摇杆机构无急回特性的杆长条件Tab.1 It conforms to the rod length condition of crank and rocker mechanism without quick returnmm
分别对8 组数据进行计算，选择两个杆长作为定量，一个杆长作为变量，分析不同杆长条件下对小腿角速度以及角加速度的影响。
首先固定连杆与摇杆的尺寸，将曲柄尺寸作为变量进行计算，绘制小腿的运动曲线，如图6所示。由图6可知，当曲柄L1尺寸越小时，小腿的角速度和角加速度就越小，对腿部的运动就越有利。
图6 曲柄尺寸变化对小腿运动的影响Fig.6 Influence of crank size change on calf movement
连杆尺寸L2作为变量时的运动曲线如图7所示。连杆尺寸增大时会导致小腿摆动的角速度和角加速度的变化范围更大，所以连杆尺寸应越小越好。
图7 连杆尺寸变化对小腿运动的影响Fig.7 Influence of linkage size change on calf movement
由摇杆尺寸L3作为变量时的运动曲线如图8所示。由图8可知，摇杆尺寸越长，小腿转动的角速度和角加速度曲线幅值变化范围就越小。
图8 摇杆尺寸变化对小腿加速度的影响Fig.8 Influence of rocker size change on leg acceleration
平行四边形机构中两短边分别与摇杆和小腿相连接，三者具有相同的运动学曲线。长边作为机器人的大腿，具有一个独立的自由度。将3 种不同的大腿长度进行了对比，如图9所示。坐标原点代表大腿关节的固定点，从上至下3 个网格分别代表3种不同的大腿尺寸，第1 层网格150 mm，第2 层网格175 mm，第3 层网格200 mm，小腿尺寸均相同，在关节转角和小腿尺寸相同的条件下，大腿长度越长，足端轨迹画出的点阵面积越大，说明腿部拥有较好的运动性能。
图9 不同大腿尺寸工作空间对比Fig.9 Comparison of workspace with different thigh sizes
综上所述，曲柄摇杆机构中，在曲柄和连杆的尺寸应尽量小，摇杆尺寸尽量大的条件下，消除4杆机构对机器人运动的不利影响效果最好。依照这一原则在满足曲柄摇杆机构无急回特性的数据中，第1 组数据尺寸是较为合理的。平行四边形的长边尺寸（即大腿杆长度）与足端的越障能力有直接关系，大腿越长机器人足端的工作空间越大，所以大腿尺寸应在满足结构合理的条件下尽可能大。
本文设计了一种由4 杆机构传递动力的机器人腿部方案，实现了电机连续转动驱动腿部摆动的设想。通过对单腿模型进行运动学建模，同时通过齐次坐标变换对足端的位置和姿态进行了计算。在已知足端轨迹的情况下对腿部进行逆运动学分析，获得了大腿及小腿关节角度的变化曲线。同时通过建立模型进行运动学仿真分析，验证了运动学分析的正确性，为后续足端轨迹规划提供参考。通过分析可知机器人越障能力与大腿尺寸有关，大腿越长，机器人的越障能力越好。当曲柄尺寸较小、连杆与摇杆尺寸较大时4 杆机构的速度波动最小，能有效减小对腿部运动的影响。后续工作将会对足端轨迹进行规划，完成驱动函数的设计。依据本文运动学分析和尺寸优化的数据进行虚拟样机仿真分析，并搭建试验样机完成相应的测试。
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