罗汉奎
（甘肃省皋兰县忠和学区，甘肃 兰州 730200）
函数是整个初中数学教学中的巨大难点，但也是培养学生优秀数学思维的最好知识点。函数与人们日常生活息息相关，是数学学科与实际生活相结合最紧密的部分之一。如何帮助学生从平面的数轴走向立体的坐标轴，培养立体的数学逻辑思维值得教师深入思考研究。
函数思想是初中学生提高思维能力的基点。在初中数学阶段，数学概念、法则、公式和性质等知识都是明显地写在教材中，可以直观地学习背诵的知识。但是函数的学习方法和解题办法却是隐含在数学知识体系里，是客观存在的散乱知识点。甚至可以说函数学习不是知识点的学习，是思维模式的学习和知识逻辑体系的建立。例如“数形结合”“集合”“极限”等问题都与函数知识相关，基本的函数思想是学生形成良好认知基础的纽带，是知识转化成能力的桥梁，是培养学生数学意识、形成优良思维素质的关键。
学生只有领会了函数思想和方法才能有效地应用知识，形成动手实践能力。在函数教学中不应只重视讲授表层知识，而应该注重渗透基本函数思想和方法，让学生真正理解和掌握所学知识，使学生的学习水平脱离初级阶段。
函数在日常生活的各个领域发挥巨大作用。函数可以测量建筑物或山的高度，如果知道建筑物的位置与仰角之间的距离，就可以通过计算得到建筑物的高度。比如，函数可以应用在游戏方面，在一些赛车游戏中就需要大量运用三角函数的知识，当控制赛车运动的角度时，需要利用三角函数时刻计算赛车当前的位置以及运动的距离。函数可以应用在航空飞行领域，飞行工程师需要考虑到速度、距离和方向以及风速和风向的关系，在飞机飞行过程中需要利用三角函数调整飞机飞行方向。函数可以应用在犯罪刑侦学领域，在犯罪学中，三角函数可以帮助计算弹丸的轨迹，估计可能在车祸中造成碰撞的原因或物体坠落方向及子弹射击角度等。函数可以应用在天文学领域，在天文学中往往会使用函数计算地球到恒星之间的距离。
函数教学建立的数学思维在数学学科的学习中具备深远影响，不具备函数思维的学生很难在初、高中的数学领域获得优秀的学习效果。所以在初中数学阶段，培养学生的函数思维，让学生学好函数，是学好数学的基础，也是把数学知识与日常生活相结合的基础。
（一）函数概念理解不清
函数知识最主要的特征就是抽象，在小学阶段学生所学的数的知识或运算法则等都是具体的，有实际表现形式的知识，但是函数是需要想象力的抽象知识，因此在实际教学过程中，学生很难理解函数的相关知识和专业用词。很多教师在实际教学时使用的教学方式比较落后，而教师本身的教学观念也比较落后，导致了学生在这一部分学习难度加大。没有良好的函数思维导致学生在这一知识点学习时自信心受挫，逃避、厌学情绪加深，严重影响学生掌握相关知识并影响学习兴趣。
初中数学在应试教育的影响下，往往以提升成绩为前提，在函数学习过程中以解题技巧和公式为主要传授和教导重点，导致了学生不能从根本上理解函数的意义和使用方法。甚至在一些可以同时使用函数和方程式的题目面前，主动放弃函数方式而使用方程式的方法解决问题。
（二）初中高中知识分离
初中处于义务教育的终点，学生和家长的目标都在于如何在“中考”拔得头筹，选择心仪的高中，把大量的时间和精力用在了眼前知识点的联系上，忽略了初、高中知识的连续性。把建立思维模式的精力用在了学习解题技巧上，这样不仅影响了初中阶段学生的兴趣，也影响了升入高中后学生的学习能力。
（三）教师教学方式陈旧
在小学阶段数学学习过程中，教师往往通过生活化教学或创设教学情境等方式让学生充分认识到数学知识在日常生活中的广泛性和应用性，因此会产生浓厚的学习兴趣及运用所学知识解决实际问题的能力。但初中阶段在中考的巨大压力下，教师忽视了多元化教学方式对提高教学效果的益处。因此教师往往采用传统教学方式开展教学活动，学生难以认识到抽象的函数与实际生活的关系，也难以认识到学习函数和培养数形结合思维的重要性，严重影响学生学习效果并抑制学生自主学习能力发展。
（一）注重学生的函数基础
没有牢固的基础知识就不会有延伸的思考能力和实践能力。所以在函数学习的过程中，教师要深挖根本，了解到学生的薄弱环节，让学生充分了解函数的基本概念和性质。这些概念理解得越深刻、越稳固，从中领悟到的函数思维就越本质、越真实，形成的思维方式、养成的思维习惯对学生的终身发展就越有根本性影响。
（二）培养学生的学习兴趣，调动学习积极性
函数这一主题的知识点本身比较抽象，性质语言晦涩难懂，使学生在学习理解的过程中有很多困难，这也导致了学生对函数学习的兴趣较低甚至有抵触情绪。想让学生学好函数首先要调动学生的学习积极性，培养学习兴趣。教师可以把函数和实际生活相结合，把变幻无常的抽象概念从具体的实际物体和行为中解放出来，首先让学生有一个直观的概念然后才能发挥想象进行分析，从而获得良好的教学效果。例如教师可以结合“成本问题”“经营利润”等问题，从学生身边的实际情况入手，利用函数知识对最终结果进行计算，使学生能把抽象的函数知识和具体的生活事例相结合，产生对函数学习的基本兴趣。在实际教学的过程中，教师还需要为学生创造良好的教学环境，营造平等、和谐的学习氛围，让学生能够做到不懂就问，从根源上避免因为基础知识不牢而产生的思维漏洞导致无法建立完善的思维方式。并且可以根据讨论和学生自己提出函数在实际生活中应用事例的方式让学生积极参加到课堂活动中，并在交流分享中正确认识函数的意义、体会函数的魅力。
在进行函数教学时，教师可以使用多媒体或动画等方式进行教学，播放与函数有关的视频、图片等，能促进学生集中注意力并使学生更生动、直接地观察到函数的相关信息，有利于提高学习质量和效率。例如“图形的变换”（平移、旋转、翻折），使用课件可以使学生在大脑中有更直观、更理性的认识。而二次函数图像的变换就更需要使用多媒体的手段进行教学。以“抛物线平移”来说，把y=-2（x-2）2+3 向左平移3 个单位再向下平移一个单位，教师可以用多媒体进行分步展示，让学生直观地观察到平移轨迹后自己总结规律，这样可以树立学生的信心，激发学生的兴趣，培养学生的独立思考能力，还在无形中把难点化解。
此处,ρt(u)=u(τ-I(u<0))，其定义在Koenker和Bassett(1978)的研究中有详细说明；
I(u)<0为示性函数，当{u<1}时该函数取1，否则取0。上述目标函数无法直接用微分求解，可以采用线性规划的办法求解得到估计值。分位数协整模型同样需要关注在分位数下的变量之间是否具有协整关系。Xiao(2009)基于累加和残差(cumsum residual)给出如下的检验统计量：
（三）完善函数的概念和框架，构建完整知识体系
函数教学过程是将学生从获取静态知识变为获取动态知识的过程。初中生在小学阶段的学习过程中接触的基本都是静态知识，形成的知识体系也大多偏向于静态，因此在动态知识的学习上有一定难度，教师要重视从静态到动态的过渡。函数本身有解析式、图形、表格、抛物线等多种多样的表现方式，但表现方式不会影响函数的最终结果，这种相对独立又相对统一的表现方式会加大学生的学习难度。教师在教学过程中可以通过主题备课的方式，把整个函数板块进行树立，形成框架，强化知识前后联系，提高学生对函数的认知程度。
（四）结合日常生活，重视教学实践化
由于函数体现的是变量和变量之间的关系，在初中阶段学生很难记忆和思考。但是如果把函数的知识和日常生活结合起来就很容易让学生产生具体的联想和明白具体变量的意思。函数在日常生活中无处不在，即使是初中阶段的简单函数也有很多实际例子。例如记账行为，教师可以培养学生记账的生活习惯，不仅可以清楚函数逻辑还能养成良好的金钱观念。在记账行为中，日期是一个变量，消费的金钱是另一变量，在月底进行总结的时候就可以用函数的思维和图形获得最终答案。又如在天气明媚的情况下，教师可以通过开关教室门向学生提问：“老师开门的过程中，阳光进入教室的面积随着开门角度变化而变化，这其中两个变量都是什么？”在这两个变量中，阳光进入教室的面积是因变量，而教室门拉开的角度是自变量，这样就很容易了解函数的概念和性质。这种浅显、简单的问题会激发学生回答积极性和课堂参与度。通过这些简单的日常行为引导学生的函数思考能力会让学生觉得函数并不遥远，也并不晦涩，从而对函数产生兴趣，学会用函数思维思考问题。并且在引导过程中也锻炼了学生的知识运用能力和实践能力，以达到提高核心素养的最终教育目标。
教师可以在教学过程中结合生活化实例进行教学，让学生充分认识到函数知识在生活中的用途，并将抽象的函数概念具体化，有效提高教学效果。例如在《二次函数》的教学过程中，教师可以创设购物情境，并通过具体销售方式提高学生对函数概念的理解程度。比如，某购物中心销售品牌篮球，平均每天可售出20 个，每个可获得利润50 元，夏季是运动旺季，购物中心决定通过促销的方式扩大规模并提高销售业绩，经问卷调查得出降价是购物者最喜爱的促销方式。在实施促销过程中销售者发现每个篮球每降价5 元可多售出3 个，请学生帮助销售者计算每个篮球降价多少钱时可以达到盈利峰值并帮助销售者制定合理促销方案。教师可以引导学生运用函数思维进行思考解题，在每个篮球降价X 元的情况下购物中心每天可以多出售3X 个篮球，平均每天可售出数量为20+3X 个，每个可获得利润为50-X 元，以商场每天盈利为A 的情况可以列出二次函数解析式A=（20+3X）（50-X），经过计算学生可以帮助销售者列出最合理的销售方案，充分利用销售旺季完成提高利润的经营目标。
通过具体事例学生可以理解函数知识在生活中的运用方式，并形成良好的函数思维和运用函数思维解决实际问题的能力，有效提高教学效果和学生综合素养。
（五）注重数形结合的思想
借助与图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图像的几何特征与数量特征紧密的结合体现了数形结合的特征与方法。数与形是数学中两个最古老也最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。初中数学研究的对象可以分为数和形两大部分，数与形的联系称之为数形结合。数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，也是培养函数思想、建立立体逻辑思维的基础。
函数的定义是：“函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。”这就说明函数和图形是不可分割、相互依存的关系。在研究函数的过程中仍然要依据函数的图像，由图像看性质，由性质看图像，无论是函数的概念和性质的教学都离不开图像的身影，由此可见函数和它的图像是不可分割的一个整体。
注重数形结合的思想就是让学生养成审题后先作图的习惯。在函数概念学习中，可以借助于画板、图形计算器或电脑绘图等现代教学工具，通过多媒体演绎函数的多种变化过程，使学生能直观地发现函数的特质从而发现函数的规律。在人的五感中，视觉刺激是最强烈的，直观的视觉效果可以刺激学生，使其记忆更持久，理解更深刻。
（六）通过翻转课堂等方式提高函数教学效果
初中阶段学生已经具备了良好的认知理解能力和自主学习能力，因此教师可以通过“微课+翻转课堂”的教学方式培养学生良好的函数思维并提高教学效果。初中函数教学与其他教学内容不同，函数是通过抽象的概念培养学生的数学结合思想和思考模式。但由于学生认知理解能力不同，对概念的理解和掌握程度不尽相同，通过课上的有限时间进行反复讲解不仅浪费宝贵的课堂时间还会降低教学效率。教师可以通过“微课”讲述函数基本概念让学生在课前进行自主学习和思考，并带着问题通过“翻转课堂”进行交流讨论。通过小组间交流讨论，学生可以从不同角度拓展思维方式并提高对函数概念的理解能力。通过教师的合理引导，学生可以形成良好的函数思维并提高运用函数知识解决问题的能力，切实提高函数教学效果。
在进行微课教学的过程中，教师可以通过简短且风趣、幽默的教学语言激发学生的学习兴趣，让学生更易接受抽象、晦涩的函数概念。微课可以打破时间、空间和知识基础限制，让学生根据自身实际情况进行多次观看和反复学习，充分理解函数概念并形成良好的函数思维。
在构建翻转课堂的过程中，教师可以对学生进行科学分组并通过引导问题或生活实例让学生进行交流讨论，在此过程中提高学生的合作交流能力，提高学生对函数知识认识深度，并提高学生运用函数知识解决实际问题的能力，有效提高函数教学效果。
优秀教学方式多种多样，教师可以根据学生实际情况和所学函数内容灵活运用小组合作教学法、生活教学法、项目式教学法等教学方法，以提高学生数学素养并培养学生函数思维为教学目标开展教学活动。
鉴于函数在各个领域和生活中的巨大作用，在提高核心素养的背景下，加强初中数学函数教学势在必行。初中函数包含了一次函数、二次函数和反比例函数，是平面思维到立体思维的转变，使得学生在学习过程中比较困难。这就需要教师用多元化的教学方法刺激学生的学习兴趣，帮助学生建立立体的数学思维，用单元化框架式的教学方式把函数知识进行总结梳理，注重前后知识的联系和差异性，培养学生的数学思维能力和逻辑能力，这样才能在学习过程中达到事半功倍的效果，使学生在学习中保持学习兴趣和较高的学习积极性。
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