程麦理，王弘起，马越，李大卫，应仟壹
（1.延安大学建筑工程学院，陕西 延安 716000；
2.陕西建工第十三建设集团有限公司，陕西 延安 716000）
在竖向荷载作用下拱结构是会产生水平支反力的推力结构［1］，两铰拱以其承载力高、施工方便、造型美观等优势在工业与民用建筑工程、桥梁工程等方面应用广泛。拱结构在荷载作用下的支反力、截面内力及拱轴变形是反映其工程承载性能的重要指标，拱轴线形对荷载作用的敏感性差异巨大［2］，拱轴线形建模及承载性能分析是拱结构研究的重要方法。
竖向荷载作用下使拱轴处于无弯矩状态的轴线称为拱的合理拱轴线，因实际工程结构服役期间荷载变化大，合理拱轴线很难统一［1］。对于两铰拱拱轴，冯彩霞等［3］以弯曲应变能函数为优化目标，结合拱肋跨中竖向位移研究了两铰拱的拱轴线形优化；
胡常福等［4］通过对两铰拱的索拱桥拱轴进行几何非线性迭代优化，解决了考虑几何非线性超大跨径索拱桥拱轴线形的选择问题。拱轴线形优化可改善拱轴应力分布，提高拱结构承载性能，LIU等［5］通过对竖向荷载作用下拱结构各节点坐标函数推导给出拱的压力线，探讨了合理拱轴线的确定及优化方法；
胡常福等［6］通过对合理拱轴解析，创新性的提出多源荷载下合理拱轴的线形组合法，该法可简便确定多源荷载下拱轴的合理线形；
杜安亮等［7］根据对分段荷载作用下拱结构的内力分析，研究了合理拱轴线的曲线方程及拱轴线形修正方法。在拱结构工程实践中，抛物线形拱轴力学性能良好，李新平等［8-9］采用弹性中心法建立抛物线无铰拱的力法正则方程，推导给出了典型荷载作用下抛物线拱内力解析计算公式；
EROGLU等［10］对具有集中损伤的抛物线拱精确静力解进行了解析研究。径向均布荷载作用下，圆弧拱是合理拱轴线，解恒燕等［11］对两种单杆型圆弧拱进行有限元分析，探究了竖向均布荷载下的几何非线性屈曲性能。在拱桥结构拱轴线分析方面，乔景川等［12］对钢管混凝土拱桥采用不同拱轴线形时的内力进行分析，探讨了拱轴线对结构承载性能的影响；
YANG等［13］通过推导钢箱-混凝土组合拱桥变截面合理拱轴线方程，采用回归分析方法拟合给出最优拱轴线公式。
本文通过对曲线拱轴进行承载理论及有限元分析，研究了全跨均布荷载、半跨均布偏载作用下不同曲线两铰拱结构的支座反力、拱轴内力及其变形规律。研究结果可用于指导拱结构的拱轴线形方案比选及结构设计。
两铰拱轴曲线在竖向分布荷载作用下，拱脚支反力及指定截面内力是反映曲线拱轴承载性能的主要指标。图1给出了曲线拱结构在任意分布荷载作用下的分析模型，结合平面结构静力分析及数值解析计算，根据图2整体隔离体模型，拱结构支反力可表示为
其中，FAx、FAy分别为支点A的水平、竖向支反力；
FBx、FBy分别为支点B的水平、竖向支反力；
q（x）为作用于拱轴的竖向任意分布荷载；
l、f分别为拱轴的跨度和矢高。
对于超静定的两铰拱结构，式（3）中两支点水平反力耦合，需根据拱轴曲线方程及具体荷载布置结合超静定结构的变形位移协调条件进一步确定求解。
图1 曲线拱分析模型
图2 整体隔离体模型
对于任意指定截面C，按图3局部隔离体的截面内力规定方向，其内力可表示为
其中，xC、yC为指定截面C的水平、竖向坐标；
φC为截面C与y轴的夹角，计算时对于右半拱截面，φC取负值。
图3 局部隔离体模型
进行拱类结构设计分析时，通常需明确拱轴曲线方程以实现对拱轴内力及变形的计算控制，常用的拱轴曲线方程有圆弧拱、椭圆拱、抛物线拱及悬链线拱等［14］。为方便统一，在推导建立拱轴曲线时规定左拱脚为平面坐标系原点。
根据标准圆曲线方程，典型圆弧拱轴曲线方程可表示为
椭圆曲线拱轴可利用标准椭圆方程进行推导，得到其方程为
由椭圆曲线线形有效性知，椭圆拱轴曲线方程x取值范围为0≤x≤l。
拱轴为抛物线时，其包含跨度与矢高的参数方程为
悬链线是一种常用工程曲线，其表征曲线拱轴时方程为
3.1 工程算例
某拱形建筑屋面拱肋为两铰拱结构，拱轴曲线矢高f=2 m，跨度l=5 m，矢跨比0.4，拱轴系数m=2（悬链线拱轴）。图4为典型圆曲线拱、椭圆拱、抛物线拱和悬链线拱的拱轴曲线。
拱轴采用200 mm×300 mm的矩形截面，材料为C40混凝土，弹性模量E=3.25×104N/mm2。主要对加载工况Ⅰ（全跨均布荷载，荷载集度q=1 kN/m）、工况Ⅱ（半跨均布偏载，荷载集度q=1 kN/m）进行计算，分析探讨不同工况下拱轴线形对拱结构的支座反力、典型位置截面内力及变形位移的影响规律。
图4 拱轴曲线
3.2 有限元模型
为对比各典型拱轴曲线对拱轴内力分布规律及变形特点的影响，本文借助有限元分析软件Midas Civil建立曲线拱结构的有限元分析模型。根据工程算例概况，拱轴选用等截面梁单元，单元长度沿拱结构跨长方向投影相等，拱轴线形采用以直代曲方式建立，各曲线拱轴梁单元数量均为50个。拱结构的左、右拱脚均采用固定铰支座模拟。荷载工况按工程算例要求设置，采用梁单元均布荷载。
4.1 支座反力
拱结构在荷载作用下的支座反力是反映拱结构承载性能的一项关键指标，支座反力值是拱脚承载力设计的重要依据。表1、表2分别给出了在工况Ⅰ、工况Ⅱ作用下4种典型曲线拱轴拱结构的支座反力。
由表1可知，由于建立的各拱轴曲线均为对称结构，在对称荷载工况作用下两支座竖向反力大小相等、方向相同，水平支反力大小相等、方向相反。通过对工况Ⅰ作用下四类拱结构支座反力分析发现，椭圆拱的竖向支反力最大为3.54 kN，而抛物线拱的竖向支反力最小为3.33 kN；
抛物线拱的水平支反力最大为1.88 kN，椭圆拱的水平支反力最小为1.51 kN，椭圆拱的水平支反力是抛物线拱的80.3%。抛物线拱的水平支反力与竖向支反力的比值最大，达到56.5%；
椭圆拱的水平支反力与竖向支反力比值最小，为42.7%，即表明该4类拱轴线形在工况Ⅰ荷载作用下支反力合力线倾角在60.5°~66.9°。
表1 工况Ⅰ作用下支座反力
分析表2可知，在工况Ⅱ作用下右支座竖向支反力相较左支座小得多，约为24.1%~28.5%；
椭圆拱的左支座竖向支反力最大2.86 kN，抛物线拱最小2.60 kN。各曲线拱的左支座水平与竖向支反力比值约为26.2%~36.2%，右支座水平与竖向支反力比值约为108.7%~127%，亦即左、右支座支反力合力线倾角差异较大，左支座支反力合力线倾角约为73.3°，右支座支反力合力线倾角约为41.0°。对比表1，在工况Ⅱ作用下左支座和右支座的水平支反力均降低约50%，而右支座的竖向支反力降低约80%，左支座的竖向支反力降低约20%，结果表明拱结构的支座反力与荷载布置方式关系密切。
表2 工况Ⅱ作用下支座反力
4.2 拱轴内力
拱结构在竖向荷载作用下拱轴主要内力为轴力及弯矩，剪力通常较小且对拱轴的应力分布及变形位移影响较小，不是曲拱结构承载力设计的控制指标。本文根据荷载布置工况，主要对不同拱轴曲线拱结构的轴力、弯矩进行分析讨论。
4.2.1 拱轴轴力
根据拱结构的静力学分析可知，拱类结构在竖向荷载作用下的主要内力是轴力，图5给出了不同曲线拱轴在工况Ⅰ和工况Ⅱ作用下的最大、最小轴力。
由图5可知，竖向荷载作用下拱轴最大、最小轴力均为压力。各曲线拱轴在工况Ⅰ作用下最大轴力差异较小，拱轴最小轴力则差异较大，椭圆拱最小轴力为1.51 kN，而抛物线拱最小轴力为1.88 kN，相差达23.9%。在工况Ⅱ作用下，圆曲线拱和椭圆拱轴力最大值相较抛物线拱和悬链线拱大，而各拱结构的轴力最小值差异规律相反。对比图5A和图5B，工况Ⅱ作用下各类拱轴拱结构最大轴力相较工况Ⅰ降低约26%，而最小轴力降低约57%，工况Ⅱ总荷载大小相较工况Ⅰ降低50%，即表明拱轴轴力大小不仅与荷载量值有关，同时也与荷载的分布位置有关。
图5 拱轴轴力
4.2.2 拱轴弯矩
拱轴弯矩内力相较同等跨度、荷载的简支梁结构小很多，但其对拱轴截面的应力分布极为不利，在进行拱结构设计分析时，拱轴的弯矩内力是关键参量。图6、图7分别给出了各曲线拱轴在工况Ⅰ、工况Ⅱ作用下的拱轴弯矩图。
图6 工况Ⅰ作用下拱轴弯矩
分析图6可知，圆曲线拱轴和椭圆拱轴在工况Ⅰ作用下其拱结构跨中为内侧受拉弯矩，两侧拱脚部位附近拱轴为外侧受拉弯矩，而抛物线拱轴和悬链线拱轴则为跨中外侧受拉弯矩，两侧拱脚部位附近拱轴为内侧受拉弯矩。对比各拱轴在工况Ⅰ作用下的弯矩幅值可知，4类拱轴线形中悬链线拱轴弯矩幅值为0.014 kN·m，椭圆拱轴弯矩幅值为-0.57 kN·m，表明椭圆线形拱结构的弯矩抵抗能力相较其余拱轴线形差。
图7 工况Ⅱ作用下拱轴弯矩
由图7可知，在半跨均布偏载的工况Ⅱ作用下，各类曲线拱轴弯矩分布表现出显著的一致性规律，即左半跨拱轴内侧受拉、右半跨拱轴外侧受拉，且拱轴的正负弯矩峰值差异不大。此外，在工况Ⅱ作用下椭圆拱轴在左侧半拱l/8跨处有反弯点，左支座距l/8跨处拱轴弯矩为外侧受拉，但幅值较小，该特点其余三类拱轴均不具有，这主要是由于椭圆拱结构在靠近拱脚位置的拱轴线切线斜率较大，竖向荷载作用下有外倾趋势。
对比图6和图7，工况Ⅰ作用下拱结构的弯矩分布相对均匀，而工况Ⅱ的偏载作用使得拱轴弯矩正负幅值差异较大，拱轴弯矩内力对荷载的布置形式较敏感，在拱结构使用期间尽量避免偏载造成的结构弯矩内力分布不均。
4.3 拱轴变形
根据拱轴形状及荷载工况模式，重点对工况Ⅰ作用下l/2跨竖向位移，工况Ⅱ作用下l/4跨、l/2跨、3l/4跨的水平和竖向位移进行规律分析。表3为不同工况下各类曲线拱轴关键截面的位移。
由表3可知，在工况Ⅰ荷载作用下椭圆拱l/2跨的竖向位移最大为-7.73×10-2mm，抛物线拱l/2跨的竖向位移最小为0.03×10-2mm。工况Ⅱ作用下，拱轴形态呈现明显的水平侧移，其水平位移量值较竖向大。对比不同工况下各类拱轴跨中竖向位移发现，抛物线拱和悬链线拱在工况Ⅱ作用下竖向位移较工况Ⅰ作用下大，而圆曲线拱和椭圆拱在工况Ⅱ作用下竖向位移较工况Ⅰ作用下小。
表3 拱轴关键点位移
本文通过对典型圆曲线拱、椭圆拱、抛物线拱及悬链线拱结构进行全跨均布荷载和半跨均布偏载作用分析，探讨了各类曲线拱结构的支座反力、截面内力及拱轴变形规律，得到如下结论：
1）各曲线拱支反力在不同荷载下表现各异。竖向均布荷载作用下椭圆拱竖向支反力最大、水平向支反力最小，而抛物线拱竖向支反力最小、竖向支反力最大；
半跨偏载作用下左右支座反力均有降低，右支座水平与竖向支反力比值较左支座大得多。
2）不同竖向荷载工况下拱轴轴力均为压力。全跨均布荷载及半跨均布偏载作用下，拱轴轴力均为压力，且偏载作用下椭圆拱轴力最大、抛物线拱轴力最小。
3）不同曲线拱轴弯矩分布规律差异大。满跨竖向均载工况下，抛物线拱和悬链线拱的弯矩分布规律与圆曲线拱和椭圆拱弯矩分布规律相反，但在半跨偏载作用下各曲线拱轴弯矩分布规律基本一致。
4）拱轴变形形态与荷载作用方式关系密切。全跨均布荷载作用下拱结构变形对称，而在半跨竖向均布偏载作用下拱结构发生明显水平侧移，变形有反对称特点。
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