刘培生，程伟
(北京师范大学 核科学与技术学院 射线束技术教育部重点实验室，北京100875)
国力之较量，乃国家之间科技水平之较量；
科技水平之体现，在于国家重大工程。因此，工程科学的地位越来越重要[1-4]。无论是我国早期的两弹一星工程，还是近些年的探月工程、火星探测工程、载人航天工程、FAST天眼工程、深海探测工程、高铁工程、港珠澳大桥工程等重大工程的成功实现，都离不开工程力学设计的有效运用[5-8]，因为这是工程结构中最基本的设计。重大工程的力学设计需要建立在诸多细节设计的基础上，这些细节设计看似貌不惊人，但作用至关重要[9-12]。紧固螺栓设计就是这样一个例子。螺栓连接具有承载力高、装配周期短、安装方便快捷等优点，在航空航天、建筑、船舶等领域有着广泛的应用[13]。在钢结构建筑行业，高强螺栓连接已成为钢结构梁柱节点的主要连接方式之一[13-17]。螺栓作为连接结构中一个重要的环节，承担着各构件之间的载荷传递，因此准确地评估螺栓承载能力成为连接结构设计的关键之一[13]。在前期的一些结构设计中，人们更多关注的是撬力对螺栓轴向承载能力的作用[18-20]。但因影响撬力的因素较多，实际情况比较复杂，故而已有的撬力计算均具有一定的局限性[13]。随着研究的深入，发现外力作用下的轴力作用主导型螺栓的真实受力状态为拉力和弯矩的共同作用[21-23]。但基于这种考虑的已有螺栓承载能力评估方法中大多通过数值拟合的方法得到弯矩的近似解，与螺栓真实受力状态有一定的偏差[13]。鉴于这种情况，文献[13]仔细研究了高强螺栓在受拉工况下因产生附加弯矩而削弱其承载能力的问题，获得了良好的设计效果。关于剪切螺栓的对应工作则十分罕见，仅发现有少量的实验研究[24-25]。而关于外力作用下的剪力作用主导型螺栓在对应工况下产生附加弯矩等问题，则未见相关研究。本文运用工程力学基本知识，通过讨论紧固螺栓在承受横向载荷状态下的整体力平衡问题，剖析其内部产生的剪力和附加弯矩作用，获悉螺杆的内力分布状态，以期更加有效地助力于螺栓的实际应用设计。
螺栓紧固是工程结构上常用和有效的连接方式。图1呈现的是关于常规标准螺栓使用状态下的代表性问题[26]。该问题通过不同紧固结构形式的螺栓内力分析，表现出拉伸和剪切这两种螺栓的基本受力和变形方式。
图1 紧固螺栓的基本受力和变形方式
通过更细致的分析可以发现，图1的两种受力结构，除了关于构件的基本受力和变形方式外，在关于构件的内力方程以及关于构件内部应力的计算上更是饱含了大量的信息。通过挖掘整体结构中各个部件之间的受力传递关系，可以找到常见紧固件丰富的受力平衡关系和多彩的力分布状态。在此基础上，可为螺栓设计构建相关的内力方程并进行对应计算。
图1(a)的连接方式是一类应用最多的典型连接结构。在此类连接结构中，主要是连接构件对螺栓产生轴向作用力。这种情况在一般的对称受力状态下，螺栓的力平衡问题和内力分布都比较简单，因而其力学设计也比较简单。但在不少工程结构中，此类螺栓连接不是简单的螺栓轴向受拉工况。例如，在航天飞行器结构和建筑钢结构中，使用大直径高强螺栓的典型连接结构都存在被连接件的连接面刚度分布非对称或单向对称的问题[13]。因此，螺栓内部会产生附加弯矩。文献[13]在充分研究高强螺栓受拉工况下出现附加弯矩的基础上，提出了有效降低螺栓附加弯矩的优化设计。该工作基于最大应力破坏准则，开展了考虑附加弯矩和弯曲塑性影响的螺栓载荷失效判据研究，具有很好的工程应用价值。
为改善螺栓连接结构的连接性能，文献[27]研究了螺栓连接结合面的接触压力分布。其利用有限元数值分析方法建立了弹性接触主动设计的数学规划模型，并由此提出优化连接性能的螺栓连接结合面形状主动设计方法，从而改善其压力分布状态。考虑螺纹的三维螺旋线形几何特征和各组件结合面之间的摩擦接触关系。文献[28]利用有限元模型计算给出接头轴向力与轴向变形之间的非线性关系曲线，以及残余预紧力和螺纹段最大等效应力随被连接件所受轴向外力的变化关系曲线，基于这些曲线，提出确定螺栓接头预紧力和允许外力的方法。为更好地设计承受强脉冲载荷的端盖法兰结构的螺栓预紧力，文献[29]利用霍普金森杆平台，基于液压原理设计了一套实验装置，结合数值模拟结果对强脉冲载荷下端盖法兰结构的动态响应进行了研究。其研究发现由预紧力和脉冲载荷引起的螺栓总拉伸应变随载荷峰值变化的曲线上，有一个最小值，该值与载荷峰值、载荷脉宽的变化存在规律性的对应。装配式防屈曲支撑的外围约束构件主要通过高强螺栓连接形成整体，文献[30]通过考虑外围约束构件的螺栓布置间距、内核多波变形波长以及因外围约束构件板件局部变形引起的撬力影响，来确定跨中螺栓内力，此外还提出了端部螺栓的内力计算公式及端部螺栓加强方案。
对于图1(b)这类以螺栓受剪力作用为主的连接结构，研究相对少见。例如，文献[24]考察不同速度对SCM440H材料螺栓剪切性能的影响，并由此设计了用于机械过载保护装置的安全螺栓。再如，现代高速列车设计均需要考虑列车的被动安全防护。基于剪切螺栓的回退式车钩设计可解决机车端部纵向空间不足的缺点，剪切螺栓在极限载荷下发生剪切失效，车钩纵向回退为吸能防爬装置提供额外的吸能行程，可显著提高机车的被动安全性[25]。文献[25]即利用螺栓的剪切失效特性实现了机车新型回退式车钩的功能设计。
在文献[25]的工作中，通过准静态压缩试验及落锤冲击剪切试验，建立了用于电力机车回退式车钩剪切螺栓的45号钢Johnson-Cook (J-C)本构断裂失效模型。剪切螺栓属于非标准件，该研究以具有凹槽结构设计的专用型剪切螺栓为试验对象，分析了不同螺栓直径、凹槽直径以及凹槽宽度对剪切螺栓最大剪切力的影响。在标准螺栓的基础上凿取有利于剪切的凹槽结构，可使螺栓在预定剪切力范围内发挥剪切失效功能。研究发现螺栓剪切力随剪切凹槽直径增大而增大，且与凹槽的横截面积呈正比，而其最大剪切力与自身直径近似无关。
但是，对于图1(b)情形中常规标准螺栓的静态承载方式，尚未发现对其横向力导致弯矩效应的研究。本文选择此类情况下螺栓处于反向对称载荷作用的状态，进行分析和讨论。
分析可知，在图1(b)中，不但存在剪切的问题，其实也存在拉伸的问题，同时还存在弯曲的问题。而对弯曲问题的分析对于提高实际设计质量具有实质性的参考和指导作用。当然，如果仅用静力学刚体模型来考虑，分析过程就会变得比较简单。但实际上螺栓一般是金属材质的微变形体，因此比刚体模型要考虑得更多。下文先对螺栓作弹性体受力分析(其中螺栓的螺杆与承载构件圆孔之间为间隙配合)。为简化分析过程，本文忽略螺栓、螺帽的自重，同时忽略承载构件与螺栓、螺帽之间的摩擦力。
为了便于分析，下文中将图1(b)左图拉宽用于展示螺栓及构件整体结构和受力情况，将图1(b)中螺栓、螺帽分别轴向拉长以展示其具体的受力状态。
首先，在总装结构中建立平面直角坐标系Oxy如图2：其中坐标原点O为螺栓头部台阶面的中点，即螺栓头部的右侧端面中点；
横轴为x轴，与螺栓的轴线重合；
纵轴为y轴；
A为左右两个构件(厚度均为b)贴合面与横轴的交点，B为右侧构件的右侧面与横轴的交点。
图2 螺栓紧固两个竖向承载构件的总装结构图
2.1 开始承载状态下结构的受力分析
过程的第一步，是两个将要承载的构件与螺栓都受到拧紧螺帽的预紧力作用，然后构件接受集中力载荷并传递到螺杆处实现均匀化(圣维南原理)。图3和图4分别展示出了螺栓和螺帽的起始受力状态，两图相互对应。对于图3的图解如下：螺栓的头部右侧受到紧固力作用，其平台形成向左的均布力q1(y)；
螺杆中螺柱与螺帽接触段受到螺帽的螺纹咬合紧固作用，形成绕其轴线而向右的均布力q0(x)；
螺杆中的OA段(即靠左的圆柱部分)受到左边构件作用而在下侧产生向上的均布力q1(x)(下侧紧顶构件，上侧形成缝隙)，螺杆中的AB段(即靠右的圆柱部分和紧挨的螺柱部分)受到右边构件作用而在上侧产生向下的均布力q2(x)(上侧紧顶构件，下侧形成缝隙)。此时，设向上均布力为q1(x)=a，并设构件厚度为b，则有
Fp=q1(x)b=ab
(1)
图3 螺栓起始受力状态
图4 螺帽起始受力状态
2.2 承载后结构趋向稳定的受力分析
过程的第二步是紧接着第一步而发生的，螺杆受横向力后发生偏转，集中力载荷传递过来的均布力和螺栓头部平台开始均布的紧固力都逐渐变化为一侧作用力最大的近似线性递变非均布力，紧顶的那个点作用力最大(参见图5中箭头指向的位置)。
图5 螺杆发生偏转后的作用力最大点位置
对应上述的螺栓轴线偏转，A点左侧顺次向上位移，A点右侧顺次向下位移。因此，螺栓水平上下两个作用面的竖向力都可近似视为从外侧0开始沿x轴(横轴)线性增大到内侧为止的分布力q1(x)和q2(x)(参见图6)，其中q1(x)和q2(x)为反向对称(中心点对称，点对称)分布，形成竖向力平衡。注意实际螺栓为弹性体，此时不能作刚体受力位置简化处理，即为集中力处理，否则会改变弹性体受力状态的变形效应，从而影响内力分析。而螺栓头部内侧竖向作用面的横向预紧力，也在其轴线偏转的过程中由图3的均布力q1(y)，而逐渐变为近似受到左侧构件从最低点0开始线性增大到最高点为止的紧固分布力q1(y)，参见图6。由力的平移原理可知，分布力q1(y)的作用不但形成横向紧固力，并形成对O点的转矩。
图6 构件承载稳定后螺栓的受力状态
在图6中：螺栓头部右侧受到紧固力作用，上端点紧顶，其平台形成向左的近线性分布力q1(y)，从上至下递减；
螺杆中螺柱与螺帽接触段仍受到螺帽的螺纹咬合的横向紧固作用，保持其形成绕轴线而向右的横向均布力q0(x)，但由于轴线偏转，会增加一对横向近线性分布力：上侧左大右小并向下的q3(x)(左端点与螺帽在竖向紧顶)和下侧右大左小并向上的q4(x)(右端点与螺帽在竖向紧顶)。螺杆中靠左的圆柱部受到左边构件作用而在下侧产生向上的竖向近线性分布力q1(x)(下侧右端点紧顶构件，上侧形成缝隙；
若构件之间以及构件与螺栓之间配合不是很好，则所述偏转量就可能稍大，此时对应的上侧左端点也可能顶上构件而产生较小的向下分布力，这一情况较复杂，暂不予讨论，反方向亦然)，螺杆中靠右的圆柱部分和紧挨的螺柱部分受到右边构件作用而在上侧产生向下的横向近线性分布力q2(x)(上侧左端点紧顶构件，下侧形成缝隙)。
接下来讨论螺帽的情况。在第二步中，螺帽内侧竖向作用面也由图4的预紧均布力q2(y)，逐渐变为近似受到右侧构件从最高点0开始线性增大到最低点为止的紧固分布力q2(y)，参见图7。该分布力进而作用到螺杆的螺柱段。为分析方便，将分布力q2(y)由于非均匀化后作用到螺杆螺柱段的竖向作用力视为形成水平上下两个作用面(其实是一个圆柱状作用面)。于是，该段的横向作用力仍保持预紧力q0(x)(近似为螺帽螺纹咬合段的横向均布力)，与分布力q1(y)的作用形成横向紧固力平衡；
而在竖直方向上则增加两个可近似视为从一侧0开始线性增大到另一侧为止的分布力q3(x)和q4(x)，这两个分布力呈反向对称分布，与分布力q1(y)的偏心作用形成偶矩平衡(参见图6)。
图7 构件承载稳定后螺帽的受力状态
由于螺帽的受力状态相对比较简单，而紧固结构的破坏往往发生在螺栓的螺杆部分，因此我们选择与承载构件接触的螺杆OB段建立内力方程并进行横截面正应力的计算分析。首先重申如前建立的螺栓轴线位置坐标x轴：以螺栓头部右侧端面中心为坐标原点，水平向右为正方向的横轴。下面分段进行讨论。
1)OA段：
设方向向上的横向近线性分布力
q1(x) ≈kx
(2)
并设承载构件厚度为b，则有
(3)
从上式得
k≈ 2Fp/b2
(4)
式(4)代入式(2)有
q1(x)≈(2Fp/b2)x(0 (5) 于是，螺杆中受到左边承载构件作用部分的剪力方程为(考虑左侧的竖向力平衡) (6) 设螺栓紧固力(此力表现为由q1(y)和q0(x)表征的横向力平衡)对O点产生的力矩大小为M0，此即由q1(y)表征的偏心力向中点O平移所带来的偶矩(参见图6)，则考虑左侧的矩平衡，螺杆中受到左边构件作用的圆柱部分弯矩方程为 (0 (7) 2)AB段： 按照与上述OA段类似的分析方法，同时参考两段受力的反向对称性，考虑右侧的竖向力平衡，可得螺杆中受到右边承载构件作用部分的剪力方程为 FQ(x)=(F′P/b2)(2b-x)2(b (8) 设螺帽对螺栓的紧固力(由q0(x)与q3(x)和q4(x)联合表征)对螺栓轴线上任意一点产生的力矩大小为M′0，此即由q3(x)和q4(x)表征的分布力对应带来的偶矩(参见图6)。按照与上述OA段类似的分析方法，同时参考两段受力的反向对称性，考虑右侧的矩平衡，则螺杆中受到右边构件作用部分的弯矩方程为 (9) 根据螺栓紧固系统的外力平衡有Fp=F′p，因此q1(x)和q2(x)的分布形成反向对称； FQ(x)=(FP/b2)(2b-x)2(b (10) (11) 可见，螺栓在OA段和AB段的剪力图为左右对称(镜面对称，面对称)分布，而在这两段的弯矩图为反向对称(中心点对称，点对称)分布，对应内力图如图8和图9所示。 图8 螺栓在OB段的剪力图 图9 螺栓在OB段的弯矩图 通过上述螺杆的内力方程和内力分布图，可以看到被紧固的两个构件的交界面即是螺栓内力最大之处。在此处，螺栓的剪力最大，最可能发生剪切破坏； 对于如上螺栓内力分布的情况，进一步研究最大内力处出现最大正应力的具体分布位置。设螺杆的直径(圆柱部分的直径或螺柱部分的小径)为d，则弯矩导致的螺杆内部OA段最大正应力位置处于A点即x=b处，其大小为 (12) 又设结构在螺栓轴线方向上的紧固力为F0，则由该紧固力直接导致的螺杆横截面正应力(拉应力)平均值为 (13) 于是，得到螺杆内部OA段的最大拉应力和最大压应力分别为 (14) (15) 根据内力符号法则或弯矩方向可知，上述最大拉应力位于A点略偏左截面的最低点，最大压应力位于A点略偏左截面的最高点。这与图9中的螺栓在OB段的弯矩图相对应。 同理，可得弯矩导致的螺杆AB段最大正应力位置处于A点即x=b处，其大小为 (16) 于是，得到螺杆内部AB段的最大拉应力和最大压应力分别为 (17) (18) 同样地，根据内力符号法则或弯矩方向可知，上述最大拉应力位于A点略偏右截面的最高点，最大压应力位于A点略偏右截面的最低点。这也与图9中的螺栓在OB段的弯矩图相对应。 通过上面的计算分析可知，螺杆内部OA段和AB段分别从左右两侧逼近A点截面而取得最大拉压应力。其中从左侧逼近A点截面时，在截面的最高点取得最大压应力，而在截面的最低点取得最大拉应力； 通过上述推演得出的螺杆横截面正应力关系式及其分析，可以看到其中的最大拉应力总是大于最大压应力，因此基于该弯矩作用的强度设计只需考虑拉伸破坏。最大拉应力发生在被紧固的2个构件的交界面所在之处，而由此造成拉裂的具体位置则对应于螺杆与被紧固构件的上下2个紧密接触之处(参见图5)。这2个具体位置分别对应着2个被紧固构件的交界面边沿，因而此处是对螺栓进行力学设计的重点。 顺便指出，螺帽左侧面受到了右边构件作用而产生向右的近线性分布力(下端点紧顶)。无论从其积分力矩还是从等效牛顿力平移附加偶矩的方式，都可计算出其对所在截面中心点的逆矩。该矩与上述竖向分布力q3(x)(左端点紧顶)和q4(x)(右端点紧顶)两者的反作用力形成的顺矩抗衡。 本文是在不计螺栓、螺帽自重的条件下，对承受横向力载荷的紧固螺栓进行的力分析，符合一般情况下此类螺栓紧固作用的力平衡关系。根据得到的螺栓内力方程和内力分布图可知，被紧固的两个构件的交界面既是螺栓最可能发生剪切破坏之处，也是附加弯矩所致螺栓最可能发生拉裂破坏之处，更是剪切和拉裂这两者的协同破坏之处。因此在构件载荷较大时，此类螺栓设计要同时考虑剪切作用和附加弯矩作用。由得出的螺杆横截面正应力关系式及其分析可知，基于该附加弯矩作用的强度设计只需考虑拉伸破坏，被紧固构件交界面处是对螺栓进行力学设计的重点。 若在螺栓各部分重力不可忽略的情况下，或在设计要求比较精密的情况下，需要在力分析时加入自重分布的作用。此外还需注意，重力的作用需要外加载荷的调整才能保持平衡。例如在图1(b)中，竖向的力平衡要求向上的外加载荷FP需基于向下的外加载荷F′P再加上重力的作用(即FP和F′P在量值上不再相等，FP要大于F′P)。这必然也导致螺栓内部剪力分布的变化以及内部弯矩分布的变化，同时也必然造成对内力分布原有对称性的打破。因此，分析过程和分析结果都会更复杂，这些有待以后进一步的工作。 (致谢：感谢本组研究生宋帅协助绘制文中图2～7。)
又假定左、右承载构件之一固定，由螺栓对A点的微幅自由转动矩平衡可得矩的大小有M0=M′0。因此，上述式(8)和(9)也可分别写为
同样在此处，螺栓的弯矩也是最大的，因而也是附加弯矩所致螺栓最可能发生拉裂破坏之处。当然，更容易发生的是剪切和拉裂这两者的协同破坏作用。因此，螺栓的实际载荷能力，会低于单纯以剪切强度为设计基础得出的结果。在构件载荷较大的情况下，螺栓设计不但要考虑剪切作用，同时也要考虑附加弯矩的作用。
而从右侧逼近A点截面时，在截面的最高点取得最大拉应力，而在截面的最低点取得最大压应力。可见，OA段在中性层的上半部分略受压缩即略向左收缩，而AB段则在中性层的上半部分略受拉伸即略向左扩展，因此A点截面顶部将发生略偏右位置的拉裂，与A点截面从右侧逼近时在最高点取得最大拉应力相对应。相反，OA段在中性层的下半部分略受拉伸即略向右扩展，而AB段则在中性层的下半部分略受压缩即略向右收缩，因此A点截面底部将发生略偏左位置的拉裂，与A点截面从左侧逼近时在最低点取得最大拉应力相对应。这一分析结果与A点截面发生剪切破坏的断口呈现相一致。