李海军
(长春吉大附中实验学校 130021)
《数学通报》2017年第5期问题2361[1]如下：
若x,y,z是正实数，证明：
其中“∑”表示轮换对称和.
供题者在《数学通报》2017年第6期[2]中给出了解答. 本文对该不等式进了探究，不仅得到了该不等式的另解，而且通过从几个方面深入探究，推广得到了几个定理.
由齐二次不等式可知3∑x2≥(∑x)2，故只需证明：
上式显然成立.
注意到原不等式是轮换式，因此利用对称性，我们把分母轮换变成分子中相应的另一个变量，即可得到如下不等式：
命题1若x,y,z是正实数，则
将原不等式与命题1中不等式相结合，可以得到如下不等式：
命题2若x,y,z是正实数，则
命题2中的不等式已经具备极好的对称性，故可尝试将其推广至n元形式：
定理1已知x1,x2,…,xn为正实数，则
针对原不等式，考虑让分子中出现的变量，在分母中均出现，即可得到如下不等式：
命题3若x,y,z是正实数，则
命题3中的不等式同样具备极好的对称性，故可尝试将其推广至n元形式：
针对原不等式，考虑把分母的变量变成分子中未曾出现的变量，即可得到如下不等式：
命题4若x,y,z是正实数，则
命题4中的不等式同样具备极好的对称性，故可尝试将其推广至n元形式：
定理3若a1,a2,…,an为正实数，则
在得到定理3后，我们尝试在指数上进行推广，得到如下不等式：
定理4若a1,a2,…,an为正实数，k为正实数，则
定理1的证明
注命题1可由2中所述另解方法类似证明. 而在定理1中令n=3，即得命题2的结论.
定理2的证明
接下来我们比较等式左右两边(xi-xj)2的系数，
左边(x1-x2)2的系数为
由对称性可知，对任意的1≤i 注在定理2中令n=3，即得命题3的结论. 由幂平均不等式可知 故只需证明 再由幂平均不等式可得 注在定理4中，令n=3,k=2，即得命题4；
令k=2，即得定理3.