卢异，胡浩 ，成亚斌，夏国朝，任光文
1.中国石油大港油田勘探开发研究院，天津滨海新区300280
2.中海福陆重工有限公司，广东珠海519090
3.中国石油大港油田公司资源评价处，天津滨海新区300280
随着数值模拟理论的不断完善以及计算机技术的快速发展，油气藏数值模拟逐渐由人工历史拟合向自动历史拟合发展[1-7]，由传统的单模型预测向多模型预测改进[8-11]。多模型自动历史拟合主要分为两个部分：多初始模型的建立与挑选以及多模型的自动历史拟合。由于所建立的地质模型即使经过历史拟合，也仅能说明模型计算结果和已知的历史动态基本一致，无法保证能反映地下储层的真实分布，同时也无法保证对未来的预测准确。而采用多个特征各异却又符合历史动态的模型同时进行预测，提供一个未来生产情况的参考区间而非参考值，将更能够降低开发风险。
1.1 主成分分析法降维
实际油藏建模中，即使经过粗化，大型油藏模型的网格数量仍可达数十万以上，数据量庞大，导致模型后期处理以及自动历史拟合效率低下，因此，需要对模型数据进行降维[12-14]。主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）[15]是由Hotelling[16]提出的数据降维方法，通过对原始变量的相关矩阵或协方差矩阵结构的研究，将多个随机变量转换为少数几个新的随机变量（同时保留原始变量绝大部分特征信息），从而达到降维目的。
设随机实现样本为M={m1,m2,···,mNr}，其中，mi表示第i个实现的参数向量，Nr则是实现个数。
根据最优重建准则，PCA 目标函数为
式中：
降维矩阵和原始参数向量相乘可将模型的参数向量由Nm维转化为n维（通常Nm≫n），样本矩阵M和单个实现数据向量m的降维可由式（4）计算
式中：
1.2 改进的K 中心点聚类
多个地质模型经过聚类，将属性相近的地质模型归并成一类，可以减少用于历史拟合的模型数量，本次采用K 中心点聚类方法进行聚类[17]，主要原理如下：
设数据集合X中有f条a维数据，每条数据xq为一个对象。当e个初始中心点对象随机或按照一定依据选定后，将剩余的f−e个非中心点划分为e个组，分组的规则是将非中心点对象化归到离它最近的中心点。准确地说：如果Oq是一个非代表对象，Ow是一个代表对象（中心点），并且Oq与Ow的距离d(Oq,Ow)是Oq与所有中心点距离最近的，则称Oq属于Ow所代表的簇。两个对象的距离为
式（5）表示的是曼哈顿距离，根据不同情况可以选择欧氏距离等其他形式的距离。
初始中心点确定并划分好簇后，随后每一步随机使用一个非中心点对象Or替换现有中心点对象Ow，提高聚类质量。为了确保中心点Ow能够被Or很好地替代，在每一次替换时需要考虑4种情况。
对于所有f−e个非代表对象Oq，一次替代所造成的总代价为
式中：
若Ct小于0，则认为本次替换可以提高聚类质量，认可本次替换，反之则拒绝替换。
常规K 中心点聚类时间复杂度很高，最多需要e(f−e)2次计算判断，尤其对初始中心点的选择异常敏感。基于领域的K 中心点算法[18]通过对中心点设定邻域半径，选取相互距离较远的e个处于样本分布密集区域的数据作为K 中心点算法的初始聚类中心，即可以在初期找到佳中心点或到达最佳中心点附近，减少中心点替换次数，又能避免初始中心点处于同一簇造成重复计算。
数据对象的邻域半径R定义为
对于任意数据对象xw，以xw为中心，半径为R的圆形区域内的数据对象称为数据对象xw的邻域，用δw表示。
在邻域的限制下，K 中心点聚类效率得到显著提高。
1.3 自动历史拟合模型参数
在自动历史拟合研究中，需要将参数表示为向量的形式。如同时对孔隙度、渗透率、饱和度、相对渗透率和水体参数进行调整，则油藏参数组成的控制变量h可表示为
为了得到统一的历史数据格式，即每项数据在每个时间点都有数值，对应时间步测量则为测量值，没有测量也必须填写任意值，通常为0。
1.4 目标函数
近年来，基于贝叶斯理论目标函数[11]被广泛用于自动历史拟合领域，不仅可以考虑动态历史和模型响应之间的偏差，同时可以充分利用随机实现中的先验信息，使得拟合后的模型更为符合实际地质统计规律。
目标函数的表达式为
将式（5）代入式（10），通过PCA 进行变换可得模型降维后目标函数式（11），可有效减少求解的计算量。
1.5 SPSA 优化算法及改进
SPSA 算法[19]可以一次同时扰动所有控制变量，每次迭代仅需扰动两次即可求取随机梯度，随机梯度的期望为真实梯度，且恒为上山方向，在解决多变量的历史拟合问题时，效率高且收敛速度快。
本次在SPSA 算法的基础上，为了使随机梯度更接近真实梯度，提高算法稳定性，采用在每个迭代步中求取多个随机梯度，以其均值作为搜索方式
目前普遍认可实际油藏相邻网格的参数存在一定的相关性，参数场中相邻网格之间为渐变关系，引入控制变量协方差矩阵来指导生成扰动向量[20-21]
多模型历史拟合完整流程如图1所示，主要包括5个步骤。
图1 多模型历史拟合完整流程Fig.1 Process of multi-model history matching
（1）整理静态地质资料和动态观测数据，依据静态资料使用随机模拟建立多个实现；
（2）使用PCA 算法对模型数据进行降维；
（3）使用改进的K 中心点聚类算法挑选指定数量的随机实现作为初始模型；
（4）设定SPSA 算法参数，对所有初始模型进行自动历史拟合；
（5）使用拟合后的模型进行动态预测，评价开发不确定性。
3.1 数据准备及随机实现的生成
以反五点井网模型为例，工区面积为1000m×1000m，网格划分为25×25×1=625个，网格尺寸为40 m×40m×20m，包含1口注水井（I）和4口采油井（A、B、C 和D 井）。研究区储层参数如表1 所示，5口井的物性参数见表2。
表1 储层参数Tab.1Properties of reservoir
表2 井的物性参数Tab.2 Physical properties of five wells
依据5口井的地质资料，使用序贯高斯模拟随机生成701组孔隙度、渗透率和净毛比的模型。选择其中一组作为参考模型，将其进行数值模拟运算后的生产数据作为油藏历史数据。
图2为参考模型的孔隙度、渗透率及净毛比的空间分布。该模型共模拟7200d，前6000d 作为历史数据，用于历史拟合，将后1200d 假设为未来真实动态，用于和经历史拟合确定后的模型参数预测结果做对比，分析预测的不确定性。
模型中的4口采油井采用定液量的方式生产，产油量变化如图3所示。从图3中可以看出，4口井的稳产时间不同，D 井的稳产时间最长、B 井的稳产时间最短。
图3 参考模型生产井产油量曲线Fig.3 Oil productionrate of four production wellssimulated by reference geologic model
3.2 模型降维及初始模型的聚类挑选
使用PCA 算法对700个随机实现进行降维，每个实现包含孔隙度、渗透率和净毛比3类共625×3=1875个数据，经降维计算，前221个主成分即可表达原始数据90%以上的特征信息。由此每个实现的参数数据可由1875维降至221维。主成分数据对总样本数据的特征贡献率如图4所示。降维后的模型数据量大大减少，可以明显减少聚类计算量以及拟合阶段需要调整的参数数量。
图4 主成分特征贡献率Fig.4 Contribution rateof principal component
使用改进的K 中心点聚类算法，在降维后的数据中挑选出5个实现作为初始模型，初始模型的渗透率分布如图5所示，观察可知，5个初始模型的渗透率分布具有明显差别，各初始模型能很好地代表一类实现，能够更广泛地包含储层物性的分布。
图55 个初始模型的渗透率参数场Fig.5 Permeability distributionof five initial models
3.3 自动历史拟合及预测
本例中仅考虑孔隙度、渗透率和净毛比3类变量对历史拟合的影响；
经敏感性分析，发现渗透率对拟合效果产生较大影响，孔隙度和净毛比影响可以忽略，且自动历史拟合迭代超过30次后，目标函数已趋于收敛。
将渗透率作为拟合参数，设定最大扰动次数为30次。其余参数设置为：随机梯度个数为3，增益系数为10（增益系数是期望迭代次数的1/10或者更少），初始扰动幅度为0.6，初始搜索步长为0.3。历史拟合后的模型渗透率分布如图6所示，生产井A历史拟合前后的产油量对比见图7。
图6 拟合后的渗透率模型Fig.6 Permeability distribution after history matching
图7 不同初始模型下A 井产油量对比Fig.7 Contrast of oil productionrate of Well A simulated by five initial geologic models
由图7可以看出，A 井经过生产历史拟合后，5个模型的产油量与历史数据的符合率显著提高，表明拟合效果较好。同时，从图6可以看出，尽管各模型的渗透率分布存在差异，但都能获得相似的生产历史拟合效果，这也反映出生产历史拟合存在多解性，即多个地质模型的分布可以达到较为相似的生产效果。
另外，从A 井6 000～7 200 d 的生产预测结果可以看出，使用任何一个经历史拟合后的模型预测A井的未来产量，都与A 井真实产量存在一定差异，但A 井的真实产量包含在5个模型预测的产量范围内（图7）。这表明，使用单一模型预测的生产效果不佳，而采用多个模型预测的生产效果接近真实情况，因此，在今后的油藏数值模拟中，有必要采用多个模型进行生产效果预测。
（1）地质模型经过PCA 降维，可以保留地质模型中大部分特征的信息，并大大降低参数维度，减少聚类计算量，提高拟合效率。
（2）提出了利用改进K 中心点聚类方法为基础的初始模型挑选方法，使挑选出的模型具有很好的代表性，更广泛地反映储层的可能分布状况。
（3）在自动历史拟合中将基于贝叶斯理论的目标函数和PCA 算法相结合，提高了目标函数的计算效率。
（4）以理想反五点井网模型为研究对象，进行模型降维、聚类挑选及自动历史拟合的完整流程，验证了多模型自动历史拟合的可行性，实例中的整体动态数据的匹配度有明显提高，效果显著。
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