陈 顶，钱晓超，汪 敏，杜君南，江宜航
（上海机电工程研究所，上海 201109）
随着装备的信息化水平越来越高，现代战争中越来越多的高科技装备投入使用，使得战争形态发生变化。未来的战争主要是现代技术特别是高技术条件下的局部战争，其基本作战形式将是诸军兵种联合作战。体系是由多个功能上相对独立的系统构成，通过组合，共同实现单个系统不能具备的综合能力。联合作战体系通过实施一体化的作战行动与指挥，实现装备之间的互连、互通以及互操作，提高作战体系的任务可靠性以及作战能力。在此情况下，评判联合作训体系的优劣，就成为体系内装备研发、作战使用及部署的重要前提。而完成这一工作的主要方法是效能评估。目前，效能评估广泛应用于军事、科研和制造业，也可用来评估一些计划、工程和其他领域的效能，成为系统能力衡量的重要方法与工具［1］。
进行效能评估，需要对作战体系各方面的指标进行筛选并加以利用。体系作战效能指标是度量体系在完成作战任务过程中所能支配的资源和所具备的运用资源的手段和效果的工具，是体系作战效能评估的基础。然而，在指标分析过程中，往往会遇到一些矛盾：一是指标多，带来计算和分析上的不便，而且浪费大量存储空间和消耗过多机器处理时间；
二是多指标间的相关性，造成指标提供的整体信息发生重叠，不易得出简明的规律；
三是指标体系与效能评估之间的关联性不易衡量，目前的度量方法难以准确、全面地描述联合作战体系指标与作战效能之间非线性、不确定性的复杂关系。因此，如何利用较少的指标来尽可能代替整个总体，如何衡量体系指标之间的耦合性，成为联合作战体系效能评估过程的首要问题。
为了解决这方面的问题，考虑Hotelling 在1933年提出的主成分分析（PCA）方法，利用主成分分析降低原始指标体系维度，其主要思想是把多个指标转化为少数几个原始指标的线性组合（主成分），反映绝大多数原始指标信息。如Che-Tsung 等［2］在灰色分析方法的基础上利用主成分分析对大量的财务指标进行了降维处理并进行了综合评价。Derya Kara［3］在评价微量金属元素浓度过程中将16种金属元素降维为5个主成分。Yongchen Li 等［4］通过主成分分析将10 个财务指标降维至各个新的综合性指标。Harun Uguz［5］结合遗传算法利用主成分分析方法对文本特征进行了提取。Harun Uguz［6］利用主成分分析法对重要的信号特征进行了降维。Zheng Haoyao等［7］利用主成分分析方法将地震后水库的储层综合评价中涉及的15 项风险因素降维为2 个主成分。王芳等［8］利用主成分分析方法对影响营养元素的土壤指标进行筛选。王冬梅等［9］将主成分分析方法与小波神经网络结合，构建更精确的预测模型。虞颖等［10］利用主成分分析方法将影响空气质量的因素进行降维。徐清宇等［11］利用主成分分析与聚类分析方法，从27 项营养品质指标中提取6 个主成分，较好地反映水稻品种。陈龙潭等［12］将主成分分析与随机森林算法结合，降低变量维度，更准确地诊断数据故障。然而，主成分分析方法基于数据全体，在对全体指标笼统综合的同时忽视了指标之间的差异问题，即是否有若干个指标关系十分密切而同属一类。事实上，指标之间不仅具有相关性，也具有类别性。显然，对同类指标进行主成分分析相较于对全体指标进行主成分分析更易于解释，更具合理性和客观性。
综上所述，本文针对体系效能评估指标筛选需求，对主成分分析进行改进，加入了灰色系统理论中的灰色关联思想，使用灰色关联度矩阵作为相关系数矩阵进行主成分分析，采用灰色主成分分析方法对体系效能评估指标进行筛选，识别出关键指标。
1.1 主成分分析算法步骤
（1）对原始数据进行标准化。
假设样本矩阵为X=(xij)n×p，对其进行如下变换，得到标准化矩阵，即
（2）计算相关系数矩阵。
根据标准化矩阵计算相关系数矩阵，即
其中，rij=
（3）计算特征值与特征向量。
求解相关系数矩阵的特征值和特征向量。通过下列方程求解特征值和特征向量，即
其中，λ=(λ1，λ2，…，λp)，B=(b1，b2，…，bp)，即为特征值和特征向量。
（4）计算主成分的方差贡献率和累计方差贡献率。第j个主成分的方差贡献率为
前m个主成分的累计方差贡献率为
一般通过累计方差贡献率在75%以上的变量来确定主成分个数m。
（5）确定主成分。
主成分的求解公式为
其中，Y1称为第一主成分，Y2称为第二主成分，Ym称为第m主成分。
1.2 灰色关联度矩阵
对于m个作战仿真系统，每个系统都有n个不同的评估作战效能的指标，得到序列如下：
Xi与Xj的灰色绝对关联度为εij，计算公式如下：
其中，
计算不同序列之间的灰色关联度，得到关联度矩阵如下所示：
R即为灰色关联度矩阵。
1.3 灰色主成分分析模型
将R的特征值记为λj，存在λ1＞λ2＞…＞λn，设λj对应的标准正交特征向量为ugj(g=1，2，…，n)，检验与调整ugj的方向，使得最优样本主成分得分优于最劣样本主成分得分。记调整后的标准正交特征向量为tugj，按累计方差贡献率α超过设定值的准则确定作战样本最终选择的主成分个数p(p＜n)，则基于灰色主成分分析模型的作战样本中第i个对象的第h个主成分得分为
其中，α=
设α(h)为基于方差贡献率的第h个主成分的归一化信息量权，则基于灰色主成分分析模型的第i个对象的主成分综合得分为
其中，α(h)=
（1）构造指标矩阵X。
设作战样本中包含m个对象，每个对象都有n个不同的评估作战效能的指标，记第i(i=1，2，…，m)个对象对应于第j(j=1，2，…，n)个指标的原始表现值为xij，指标项重要性权重为wj(j=1，2，…，n)，满足对其按wj加权后的指标表现值为wzij=wj zij，则称矩阵为基于重要性权重的加权标准化指标矩阵X。
（2）计算指标矩阵的灰色关联度矩阵。
记指标矩阵X的灰色关联度矩阵为R，根据上述灰色关联度矩阵中的方法进行计算，得到，即为WZ对应的灰色综合关联度矩阵。
（3）开展灰色主成分分析。
根据得到的灰色关联度矩阵R，以及主成分分析步骤，使用R作为相关系数矩阵参与计算，得到特征值和特征向量，计算主成分的方差贡献率和累计方差贡献率。按累计方差贡献率α超过85%的准则确定最终选择的主成分个数p，计算出基于灰色主成分分析模型的得分Yi(h)、Fi，据此进行指标筛选。
基于某导弹防御仿真系统，根据防御装备体系组成要素，选取9 个性能指标作为仿真系统的输入变量，分别为警戒区域半径（X1）、飞机拦截区域半径（X2）、区域防空半径（X3）、掩护幕防空区域半径（X4）、目标发射导弹数（X5）、发射时间间隔（X6）、系统反应时间（X7）、典型目标RCS（X8）、典型目标探测概率（X9）。选取仿真中的8 次仿真实验，根据8 次实验的9 个性能指标值建立指标矩阵，见表1。
根据灰色关联度计算公式得到表1的灰色关联度矩阵，见表2。利用表2的灰色关联度矩阵，代入灰色主成分分析模型，得到主成分及方差贡献率，见表3。
表1 指标矩阵表Tab.1 Index matrix
表2 灰色关联度矩阵表Tab.2 Grey correlation matrix
表3 主成分及方差贡献率Tab.3 Principal components and variance contribution rate
基于灰色主成分分析方法对指标进行筛选，根据上述计算分析结果，9 个指标按重要度进行排序，结果为：{X7，X5，X1，X4，X9，X8，X6，X3，X2}。其中，系统反应时间（X7）、目标发射导弹数（X5）、警戒区域半径（X1）为对拦截数量影响度较高的关键因素。此结论与实际情况相符，验证了基于灰色主成分分析的体系效能评估指标筛选方法可行。
本文首先建立了灰色主成分分析方法模型，然后梳理了体系效能评估指标筛选中灰色主成分分析方法的算法步骤，最后在某导弹拦截评估案例中应用了该方法，筛选得到了关键指标，验证了该方法的可行性。本文提出的基于灰色主成分分析的体系效能评估指标筛选方法，将相关度矩阵改进为灰色相似关联度矩阵，改进了主成分分析方法，建立了灰色主成分分析模型，实现了体系效能评估指标筛选。该方法操作简单，适用于体系效能评估指标筛选应用。
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