○ 文 /贾子君 张军
近年来，随机过程在理论研究和实际应用方面都有长足的进步，但是该课程是一门理论性较强，内容抽象的统计学专业课程，学生学习过程中存在畏难情绪，为了学生更好掌握知识体系和内容，也为了更好贯彻国家“课程思政”的教育理念，创新地提出“1+4”模式——1代表《随机过程》课程内容，4分别指学科历史、人文素养、人物大家事迹、思政案例这四个方面，充分挖掘思政元素，并将这四个方面像“盐“一样加入《应用随机过程》课程教学中，全方位多角度进行引导，实现了立德树人的根本目标，多方位体现专业课程的育人价值，为国家培养时代新人。
2016年，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上确立了“课程思政”的教育理念[1]。2020年5月28日，教育部在印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》中，对理学类课程提出了在教学中要把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养有机结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题能力的工作要求。
通过查阅文献资料发现，与《应用随机过程》课程思政有关的论文数量极少，说明该研究领域存在较大空白。目前只有刘秀琴等将“富不过三代，穷不过五服”这个中国谚语很好的融入了马尔科夫过程的应用[2]；
同时，由于随机过程可以应用的领域较广泛，包括：工程学、生物学、统计学、金融学、经济学等等，相关教改论文涉及到案例教学法，有一些案例设计可以解决一些与学生专业相关的问题，以增强学生的专业认识和科学的知识网络结构，比如对于金融专业的学生，在介绍随机过程的概念时，就可以使用某个股票或者外汇每日收盘价格，画出图像就是一个样本路径；
对于工程类专业学生，在讲解泊松过程时可以引入放射性物质在一定时期内放射出来的粒子量或者排队理论中的例子；
对于经济专业或者市场营销专业的学生，利用马尔科夫过程可以很好的分析市场占有率[3]。
近二十年来，随机过程的发展在理论研究和实际应用方面都有长足的进步[4]。本课程作为统计专业的必修课，因其具备对数学基础要求较高、理论推导复杂、课程内容抽象、学习难度较大等特点，学生对随机过程学习普遍存在畏难情绪。为改善教学中存在的上述问题，本文特将课程思政元素创新性的加入随机过程教学中，方便学生理解、运用和创新本课程知识。
本文创新地提出“1+4”模式，即将《应用随机过程》中的知识点以“1+4”模式深挖思政元素，其中1代表《应用随机过程》课程内容，4分别指学科历史、人文素养、人物大家事迹、思政案例这四个方面。针对课程内容，从这四个方面全方位多角度的挖掘该课程的思政元素，使课程内容和思政元素紧密结合，做到让思政内容像“盐”一样融入课程体系，实现了立德树人的根本目标。
（一）学科历史
正如清华大学史学系吴国盛教授在接受《科技文摘报》采访时指出，学科史有三点作用：一是增加自然科学教学的趣味性，这一方面正好是随机过程教学迫切需要的，因为课程内容学习难度大，通过融入学科史，有助于提升课程的趣味性，缓解学生的畏难情绪；
二是有助于理解科学的批判性和统一性，批判性思维方式是当代大学生有待提高的能力，通过科学史发展过程，让学生明白科学也是在变化的，鼓励学生勇于质疑，勤于考证；
三是科学史有助于理解科学的社会角色和人文意义，学科史也是历史的一部分，所以了解它的社会角色和人文意义也很重要，可以培养学生的人文素养。
一方面，明晰随机过程这门课程发展脉络。如图1所示，随机过程的发展最早来源于诸如金融、物理等学科的研究，掌握科学发展的一般规律，理解科学理论不是一成不变的，它是发展的、进化着的。通过熟悉随机过程的历史进而全面的理解这门课程，学生们将明确自身责任，利用随机过程的知识为未来社会发展造福。
图1 随机过程学科发展史
另一方面，在绪论部分通过学习随机过程发展历史，方便学生对后续课程的内容有清晰的认识，理解知识之间的发展过程。比如独立增量过程、平稳过程、泊松过程、马尔科夫过程和布朗运动等内容都将在课程的后面几章一一讲解，前期学科历史进行了铺垫后，让学生对相关术语不再陌生，知识也不再是单一存储在大脑中，而形成科学的知识网络，学习也将更加有逻辑性，符合学生的记忆规律。
（二）人文素养
中国古典诗歌贯穿着蓬勃大气的文脉、蕴含着刚毅坚贞的风骨，挖掘经典诗歌中的元素，一方面可以让学生将抽象的概念具象化，另一方面，也可以从经典的诗歌中感受随机过程和诗歌本身韵律的美感，进而提升学生的人文素养，真正做到文化自信。比如唐代温庭筠的《梦江南·千万恨》中写到：“梳洗罢，独倚望江楼。过尽千帆皆不是”，表达了慵懒的少妇梳洗完毕，登楼而望，发现过往的行舟一帆接着一帆，可以发现有时候小船的两次到达离得很近，有时两次到达离得很远，很多小船都划过了，唯独自己等待的归人还没到达。我们可以把小船的到达事件看成是一个独立增量过程；
更进一步如果时间间隔是指数分布，那么这就是一个泊松过程。通过这首词将泊松过程具象化成小船到达的数量，方便学生掌握泊松过程这个最重要最基础的随机过程，也为后期学习其他过程奠定良好基础。又比如唐代崔护的《题都城南庄》中写到：
去年今日此门中，
人面桃花相映红。
人面不知何处去，
桃花依旧笑春风。
显然，用随机过程中的状态转移来考虑这个场景的话，人面与桃花各自有两个状态，用0表示不在，用1表示在，则可以形成四种情况，分别为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。去年（时间节点t），状态为(1,1)，今年（时间节点为t+1）就变成了(0,1)。通过这样一个看似简单的人生经历，道出了千万人都似曾相识的共同生活体验，同时，也方便学生理解状态转移的现实意义，完美的将随机过程中抽象的概念进行了具象化处理。
（三）人物大家事迹
通过深入分析专家的事迹，塑造真正的偶像，形成榜样的力量，引导广大青年学生敬仰专家、学习专家、争做专家，凝聚起培养担当民族复兴大任的时代新人的磅礴力量，培养和激励学生的科学精神。随机过程课程中融入专家可以面向知识点展开，在讲解课程内容之前引入一些专家的事迹和大家的思想。
比如在讲特征函数时可以引入许宝騄，他顽强地坚持长期带病搞科研和教学,为祖国的科学事业工作到最后一息的科学精神，值得我们后辈敬仰和学习；
在讲遍历理论时可以引入陈木法，他对自学能力有深刻的认识：“自学是学习和研究工作的一个重要法宝，自学能力是人生的重要素质。”而这项能力又是大学生应该好好培养和重视的能力；
王梓坤关于“德、识、才、学”的思想则可以在讲到马尔可夫过程或者布朗运动方面内容时给出，针对鞅随机过程在金融领域的应用这部分内容的时候，可以讲讲严加安的理论和思想，尤其2018年4月18日下午在中国科大的题为“数学如诗，境界为上”的学术报告，里面有很多很好的比喻，可以深入浅出的认识数学理论和知识，推荐学生可以在课后时间进一步学习感悟。
通过这些学术专家的故事或者思想渗入到教学过程中，一方面可以在学生心目中树立真正的偶像，形成健康的榜样；
另一方面，专家的研究领域与知识内容契合，能够做到将思政内容“润物细无声”地融入课程体系之中。
（四）思政案例
利用案例教学的方式，通过在案例中适当融入思政元素，增加案例的思政性，将知识内容、思政元素和实际应用或者社会热点相融合。比如针对网上广泛流传的“寒门再难出贵子”等言论或者通过自身努力改变命运，从偏远落后的小山村来到了繁华的大都市安身立命的普通人作为案例，针对这些现象可以让学生展开讨论，分析社会阶层是不是真的固化了，如何实现人生逆袭？
通过讨论学生对于阶层流动有了一定的思考和认识，进一步引入马尔科夫链中的转移概率的概念和切普曼-柯尔莫哥洛夫方程（C-K方程）相关的知识，对该问题进一步阐释。为了研究一个家族各代的社会阶层变化情况，用Xn表示第n代的社会阶层，Xn是齐次马尔科夫链，状态空间为S={U,M,L}，U,M,L分别表示社会阶层处于上、中、下层，用Un,Mn,Ln表示第n代的情况。通过分析我国社会阶层的数据情况，得到父代到子代的一步转移概率矩阵的一个样本估计：
其中，0.40,0.50,0.10分别表示父代社会阶层处于U层而子代处于U,M,L层的概率，0.15,0.70,0.15分别表示父代社会阶层处于M层而子代处于U,M,L层的概率,0.02,0.50,0.48分别表示父代社会阶层处于L层而子代处于U,M,L层的概率。
思考：
（1）父代在U层而子代、孙代、曾孙代处于U层的概率是多少？
（2）父代在U层而子代、孙代、曾孙代处于L层的概率是多少？
利用C-K方程可知，P(2)=P2,P(3)=P3。计算得，
（1）若父代在U层，而子代、孙代、曾孙代处于U层的概率分别为
说明后代流动到L层的比例逐代上升，这一现象就验证了现在社会阶层的流动性依旧存在，即通过自身努力，“寒门贵子”仍在存在。
（2）与上述问题类似，若父代在U层，而子代、孙代、曾孙代处于L层的概率分别为
说明后代下降到L层的比例也是逐代上升，即说明后代如果不珍惜父辈的努力成果，锻炼自身能力，那么阶层下降的比例逐代增加。
综上所述，努力是内因，机会是外因，两者相结合，阶层跨越才有了实现的可能。年轻的大学生正处在拼搏努力的年纪，对于父代积累的社会阶层应该辩证地认识，如果父代积累不多，那么应该好好提高自身素质和修炼自己的内功，当机会来临时，你要有能力抓住，靠自己的努力实现阶层的向上流动；
如果父代已经积累了很多，自己更应该珍惜父辈的成果，进一步保住自己的社会阶层，而不是一味“啃老”，坐吃山空，这样的话再多的机会，也和你无关。
知识、能力、情意目标是教育中缺一不可的三个目标维度, 必须协同发展，所以本文提出的“1+4”模式使思政内容和随机过程知识点有机结合，让学生在获取基础理论知识、激发其专业的内源性动力、培养其科学能力并树立正确的价值观，很好融合了教育中的三个目标维度；
另一方面， “1+4”模式的引入做到润物细无声的隐性教育方式，以随机过程知识体系为主，“学科历史、人文素养、人物大家事迹、案例教学”四个方面融入，全方位多角度进行引导，在培养学生专业能力和科学素养的同时，全面提升了学生的思想品德、意志品质、人格操守。
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