许森东
(浙江科技学院 理学院，杭州 310023)
1979年， BERRY在解量子力学方程时，首次引入了艾里(Airy)函数[1]。当时，Airy函数并未得到相关科研人员的跟进研究,直到2007年，SIVILOGLOU等人对有限能量Airy光束进行了专门研究[2-3]。此后，科研人员发现Airy光束拥有许多奇特的传输性质，Airy光束的研究迅速成为热点[4-8]。在此基础上，将涡旋叠加在Airy光束的研究也成为了研究热点。例如Airy涡旋光束的漂移[9]、在手征材料中的传输特性[10]、单轴晶体中的传输特性[11]、M2因子与传输特性[12]、部分相干 Airy涡旋光束的特性[13]等。
另一方面，负折射率自1968年被VESELAGO在理论上证明[14]后也获得了科研人员大量关注和研究[15-16]。目前，科研人员可以通过多种方法实现负折射率介质(negative index medium，NIM)[17-20]，并且可以制造可见光范围的NIM[21]。由于NIM具有其它介质不具有的电磁特性，科研人员利用NIM获得了多种反常效应[22-23]。
在上述研究的基础上，本文作者对Airy涡旋光束通过新型人工复合电磁介质即NIM的传输特性进行了研究。与普通介质不同，Airy涡旋光束在NIM中具有独特的特性。利用Collins公式推导出了Airy涡旋光束通过ABCD光学系统的传输方程，并具体研究了通过NIM的传输特征。
2维有限能量Airy光束加载涡旋后，在初始平面(z=0) ，场分布为[10，24-25]：
[(x-xd)+i(y-yd)]l
(1)
式中，wx和wy为x和y方向横向尺度比例参数；
a为指数截断因子，其大小决定了光束衰减快慢；
xd和yd为原始位置，l为拓扑荷数；
fA(·)即为Airy函数：
(2)
当Airy涡旋光束通过NIM时，根据Collins公式得到Airy涡旋光束通过NIM的传输动力学方程：
(3)
由于拓扑荷数对光束的传输特性没有明显影响[26]，为便于研究，选取单位拓扑荷数。把(1)式代入(3)式，选取涡旋的拓扑荷数l=1，经积分整理可得：
(4)
式中，
Q(x,y,z)=
(5)
[x-Axd-2xc+i(y-Ayd-2yc)]
(6)
(7)
(8)
Airy涡旋光束通过NIM介质的几何结构示意图如图1所示。
Fig.1 Geometry of a vortex Airy beam passing through a negative index medium
根据矩阵光学理论可知，当Airy涡旋光束通过NIM时，光学传输系统的ABCD矩阵为：
(9)
式中，n为NIM的折射率。由于Airy涡旋光束的主峰是自加速偏转的，偏转加速度与wx,wy和λ有关。此外，涡旋位置也随着传输距离增加而偏转。在某一特定传输距离处，Airy涡旋光束的涡旋位置和Airy光束主峰位置重叠，此时：
(10)
根据(9)式和(10)式， 涡旋与主峰重叠时的z为：
(11)
利用(4)式即可得到Airy涡旋光束通过NIM的光强和相位等传输特性。光源参数设定为：a=0.05，λ=632.8nm，wx=0.15mm，wy=0.15mm，xd=yd=-0.3mm。
当n=-1.1时，根据(11)式可知，特殊传输距离z0=695mm。图2为传输距离是z0,1.8z0,2.6z0,3.4z0时光强和相位分布图。从图2a～图2d看出:当z=z0时，Airy光束主峰被涡旋破坏；
随着传输距离z的增加，Airy光束的主峰又立刻恢复，涡旋重新出现。这说明涡旋位置和Airy光束主峰的轨迹是不相同的，只有在某一特定传输距离时二者重合，重合时涡旋会破坏Airy光束的主峰。此外，图2a～图2d还显示Airy光束主峰沿x=y轴加速偏转，主峰的位置始终在x轴和y轴的对角线上。图2e～图2h为传输距离是z0,1.8z0,2.6z0,3.4z0时对应的相位分布。图中箭头所指的位置相位出现树杈型分布，这就由涡旋的奇异性所致，该树杈的交叉点即为涡旋的位置。从相位分布图可以看出:当传输距离为z0时涡旋被破坏，随着传输距离的增加，涡旋重新出现。此外，同其它文献[5]的相位分布对比发现，本树杈同其它参考文献中树杈的方向是相反的，这说明负折射会导致涡旋的方向转向。
图3为z=2200mm、NIM的折射率n为-1,-1.5,-2和-2.5时Airy涡旋光束光强分布图。从图3中可知,当z固定时，可以通过改变NIM的折射率控制Airy涡旋光束的主峰位置。
Fig.2 Intensity and phase distributions at the positions z0,1.8z0,2.6z0,3.4z0
Fig.3 Propagation dynamics of vortex Airy beams passing through the negative index medium
图4为NIM的折射率n为-1,-1.5,-2和-2.5时Airy涡旋光束主峰位置和涡旋中心位置随传输距离变化图。从图4中可以看出,Airy涡旋光束主峰位置和涡旋中心位置都随传输距离呈抛物线加速偏转，但涡旋比主峰加速快。在一个特殊传输距离处，Airy涡旋光束主峰位置和涡旋中心位置重叠。从图4中还能看出,可以通过改变NIM的折射率控制该重叠位置在传输方向的位置，但x轴的位置是不变的。
Fig.4 Center lobe and the vortex of vortex Airy beams change with the propagation distance
Airy涡旋光束通过NIM的传输动力学特性研究表明：Airy涡旋光束的涡旋中心位置同主峰一样随传输距离呈抛物线加速偏转，但涡旋比主峰加速快;在特定位置，Airy涡旋光束的涡旋与主峰位置重叠，此时，Airy光束主峰被涡旋破坏，涡旋也同时被Airy光束主峰破坏;随着z增加，涡旋与主峰分离，涡旋再次出现，Airy光束主峰恢复。由于NIM的独特光学性质，导致Airy涡旋光束通过NIM时涡旋的方向与常规介质中涡旋的方向相反。此外，通过调节NIM的折射率可实现对Airy 涡旋光束光强、主峰位置和重叠位置的控制。研究显示,可以通过NIM控制激光光束的偏转、强度等特性。此研究对应用物理光学对生物系统进行检测、治疗、加工和改造等方面具有实际的应用价值。
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