刘凤丽
(黑龙江大学 物理科学与技术学院, 哈尔滨 150080)
自20世纪70年代，第一颗磁化的白矮星GRW+70.8247被Kemp等观察到，人们对磁化的白矮星的演化过程产生了浓厚的兴趣，确定白矮星的结构、磁场大小及演化过程，需要对所观测到的光谱进行分析[1]。1977年，Garstang研究了磁化的白矮星中H原子、He原子以及碱金属原子的光谱[2]。2015年，Ferrario等通过磁场中原子光谱分析确定了单体和双体白矮星的磁场大小[3]。目前，人们已经观察到被磁化的白矮星600多颗，其磁场一般在102～105T，磁场中的原子会发生塞曼效应。塞曼效应的研究不仅能从理论上提供磁场中原子光谱的数据，为研究原子内部结构提供重要途径，而且在天体物理研究中可以用来预测天体的磁场，因此，人们更专注于研究磁场中原子的塞曼效应。
一般情况下，实验室可能提供的稳恒强磁场强度在几十特斯拉的水平，对于更大的磁场地球实验室提供不了，而磁化的白矮星却能给研究人员提供一个102～105T的强磁场平台[4]。人们可以通过强磁场中原子光谱的理论研究数据与实验测得的天体的光谱实验数据对比，一方面能获得天体的组成成分，判断天体的磁化程度，同时，也可以进一步检测和研究强磁场中原子的结构和动力学特性。经过几十年的努力，人们发展了研究磁场中原子自然行为的理论和数值积分方法，最简单的原子是氢原子，白矮星主要含有是H、C和He等元素，因此，人们热衷于研究强磁场中H原子的结构和光谱特性，有的理论研究低能级和低磁场强度问题比较准确，有的理论研究高能级较好[5-7]。直至近十几年，Zhao等[8]在前人的研究[9-11]基础之上，发展了Finite-basis-set方法，研究了在白矮星磁场范围H原子在核不动前提下各能级的精准数据，计算结果表明，在白矮星磁场范围内,这类方法不论对H原子的低能级还是高能级都适用，计算结果不但精准而且计算非常节省机时。本课题组采用该理论方法及相应技术计算了H原子的部分能级、莱曼系、巴尔末系和帕型系的主要跃迁光谱数据[12-14]，在此基础，本文首次研究了H原子的布喇开线系α谱线在白矮星磁场范围的赛曼效应，计算劈裂能级的大小、跃迁谱线的能级差和波长，并分析了这些物理量随磁场的变化规律，相关数据可为研究白矮星的结构和磁场大小的确定以及磁化的白矮星的演变过程等提供可靠依据。
(1)
采用球坐标系，表述H原子的状态波函数写成径向B-spline函数Bj,k(r)和球谐波函数Ylm(θ,φ)乘积的线性叠加，即：
(2)
式中:l为角量子数；
m为磁量子数，而关于B-spline函数Bj,k(r)的性质可参考文献[8]，通过求解广义本征值问题可得波函数和能量E，然后可求得体系的能级间隔ΔE和波长λ,公式为：
ΔE=Ef-Ei
(3)
λ=hc/(Ef-Ei)
(4)
式中：Ei和Ef分别为初态能级和末态能级；
h为普朗克常量；
c为光速。
无磁场时H原子能级是简并的，布喇开系α谱线为主量子数n=4和n=5两能级之间的跃迁。在强磁场下，能级劈裂发生塞曼效应，因此，计算了9种对称性0±、(-1)±、(-2)±、(-3)±、(-4)+共25个本征态的能级，而结合能定义为能级的负值，各个本征态对应的结合能E随磁感应强度变化数据如表1所示，磁感应强度γ给定为0.001、0.010、0.100和1.000 a.u.。
表1 H原子的结合能E随磁感应强度γ变化
在非相对论框架下，当磁感应强度γ为0的时候，能级是n2度简并的，如n=4能级简并度为16。由表1看出，4s、4p、4d和4f对应同一个能级-0.031 250 00 a.u.，即结合能为0.031 250 00 a.u.，对应的本征态符号如表1所示50+、 60+、 30-、 40-、 3(-1)+、 4(-1)+、 2(-1)-、 2(-2)+、 1(-2)-和1(-3)+共10种本征态，其他还有6个本征态3(+1)+、 4(+1)+、 2(+1)-、 2(+2)+、 1(+2)-和1(+3)+的能级均与上述能级相等；
当磁场不为0时，能级简并消除，分为16个能级，表1只计算出10种本征态50+、 60+、 30-、 40-、 3(-1)+、 4(-1)+、2(-1)-、 2(-2)+、 1(-2)-和1(-3)+的能级大小，而3(+1)+、 4(+1)+、 3(+1)-、 2(+2)+、 1(+2)-和1(+3)+的6种本征态的能级可以用上述能级平移得到，在此不予给出。同理n=5能级简并度为25，简并能级大小为-0.020 000 00 a.u.，表中给出5s、5p、5d、5f和5g对应的15种本征态70+、 80+、 90+、 50-、 60-、 5(-1)+、 6(-1)+、 3(-1)-、 4(-1)-、 3(-2)+、 4(-2)+、 2(-2)-、 2(-3)+、 1(-3)-和1(-4)+的结合能，其他10种本征态的能级可以通过表中的计算结果平移得到。表1中2(-1)-、2(-2)+、1(-2)-和2(-2)-的4个本征态对应的结合能是文献[14]的计算结果，其他本征态的能级值计算均采用的是同一种理论和计算方法，因此所有计算数据为可靠数据。
由表1可以看出，各个本征能级即结合能的负值随磁感应强度的增加而发生不同的变化，图1 给出无磁状态下n=4的3个结合能为0.031 250 00 a.u的简并本征态4f(1(-3)+)、4f(40-)和4d(60+)，以及n=5的3个结合能为0.020 000 00 a.u.的简并本征态5g(1(-4)+)、5d(3(-1)-)和5p(50-)随磁场增加的劈裂情况。当加入磁场时，n=4和n=5的2个能级发生劈裂，如磁感应强度为0.001 a.u.时，n=4的3个4f(1(-3)+)、4f(40-)和4d(60+)本征态的结合能分别为 0.033 210 06、0.031 711 42和 0.031 684 81 a.u.，即能级由无磁场的简并能级-0.031 250 00 a.u.降为-0.033 210 06、-0.031 711 42和-0.031 684 81 a.u.，对4f(1(-3)+)本征态的结合能随给定磁感应强度的增加而快速增加，意味着该态的能级随给定磁感应强度的增加而快速降低；
同样，n=5的3个简并本征态5g(1(-4)+)、5d(3(-1)-)和5p(50-)在磁感应强度为0.001 a.u.时，能级由无磁场的简并能级-0.020 000 00 a.u.降低为-0.022 406 78、-0.020 955 76和-0.020 465 95 a.u.，随着给定磁感应强度的增加，5g(1(-4)+)和5d(3(-1)-)两个本征态的结合能逐渐升高，意味着它们的能级逐渐降低，5p(5(-1)+)态在磁感应强度为0.010 a.u.时，结合能为 0.022 530 34 a.u.，此时能级为- 0.022 530 34 a.u.，低于磁感应强度为0.001 a.u.时的能级，低于无磁场的能级， 当磁感应强度增加到0.100和1.000 a.u.时，能级分别为-0.016 267 92 和-0.017 555 64 a.u.，此时能级比无磁场的时候高。
图1 H原子的6个本征态4f(1(-3)+)、4f(40-)、4d(60+)、5g(1(-4)+)、5d(3(-1)-)和5p(5(-1)+)
无磁场的时候，H原子布喇开系α谱线的能级间隔为0.011 250 00 a.u.，谱线波长为4 050.07 nm，该谱线在磁场中发生塞曼效应，按照跃迁选择规则，表1中氢原子这些本征态之间要完成54种跃迁，54种跃迁光谱的能级间隔ΔE和波长λ随磁感应强度变化的计算结果如表2所示。
表2 白矮星的磁场中H原子布喇开系α谱线的能级间隔ΔE和波长λ
续表
续表
由表2的数据可以看到，每一种跃迁的两个态的能极差随磁感应强度的变化而各不相同，能极差为正值，说明在磁场变化下初态和末态的能级上下顺序不改变，如1(-3)+和1(-4)+两个本征态的能级差为正值，并随着给定磁感应强度的增加而逐渐变大，就意味着在给定磁感应强度下末态1(-4)+的能级一直高于初态1(-3)+的能级，由图1可以看出，随着给定磁感应强度的增加，1(-3)+本征态的结合能的曲线一直在1(-4)+本征态的结合能曲线的上方，末态1(-4)+的能级一直高于初态1(-3)+的能级，当磁感应强度γ=1.000 a.u.时，能级差为0.033 781 00 a.u.。表2列出了Schimeczek等采用柱坐标系利用二维B-Spline为基函数计算得到的该能级差为0.033 781 00 a.u.。Baye 等采用拉格朗日网格法在球坐标系或半抛物线坐标系计算出这两个本征态的能级差为0.033 780 999 292 8 a.u.，可以看出，本文采用的理论和计算方法与前人的计算结果十分吻合，因此本文的计算数据可作为参考数据。若能级差为负值，则说明在磁场变化下初态和末态的能级发生翻转，以无磁场时H原子的4d(60+)和5p(5(-1)+)两个本征态能级为例。表1给出了当磁感应强度增加到γ=0.001 a.u.时，60+和5(-1)+本征态能级分别为-0.031 684 81和-0.020 936 30 a.u.，表2给出的末态和初态的能级差为0.010 748 50 a.u.，当γ=0.010 a.u.时，60+和5(-1)+本征态能级分别为-0.030 637 36和-0.025 434 36 a.u.，能级差为0.005 203 00 a.u.，在这两个给定的磁感应强度下初末态能级高低顺序不变；
当磁感应强度增至γ=0.100和1.000 a.u.时，60+和5(-1)+的能级分别为-0.019 443 37 和-0.023 252 11、-0.015 197 91和-0.020 336 63 a.u.，能级差分别为-0.003 808 73和-0.005 138 71 a.u.，能级差为负，说明这样的磁感应强度下，60+和5(-1)+两个态的能级发生翻转，图1可以看出，60+和5(-1)+两个本征态结合能在磁感应强度0.010和0.100 a.u.之间相交，即相交前的磁感应强度不引起能级翻转，相交后的两个给定的磁感应强度引起了两个能级发生翻转。同理，在给定磁感应强度60+和50-、40-和3(-1)-、4(-1)+和3(-2)+的能级都发生了翻转现象。
图2 H原子的波长λ随磁感应强度γ的变化
为了理解磁场中光谱线的移动情况，图2给出60+→5(-1)+、40-→3(-1)-和1(-3)+→1(-4)+的3种跃迁的谱线波长随给定磁感应强度的变化曲线作为例子来分析。图中虚线是无磁场时，n=4能级向n=5能级跃迁时的光谱线的波长4 050.07 nm，当磁感应强度增加到γ=0.001 a.u.时，60+→5(-1)+、40-→3(-1)-和1(-3)+→1(-4)+的3种跃迁的3条重合谱线发生劈裂，由表2可知波长分别为4 239.04、4 236.21和4 217.54 nm，波长比无磁场的谱线分别增加188.97、186.14和167.47 nm，谱线发生红移，随着给定磁场的增强，即当γ分别为0.010、0.100和1.000 a.u.时，60+→5(-1)+跃迁发生红移，相对于无磁场情况下，分别移动为4 707.05、7 912.73和4 816.60 nm；
40-→3(-1)-跃迁谱线在γ=0.010和0.100 a.u.时，发生红移，谱线波长分别增加2 860.80和2 283.32 nm，当磁感应强度γ=1.000 a.u.时，波长为316.396 nm，谱线波长减少886.11 nm，发生蓝移；
1(-3)+→1(-4)+跃迁谱线在γ=0.010 a.u.时,发生红移，波长增加629.21 nm，当磁感应强度增加到γ=0.100和1.000 a.u.时,谱线发生蓝移，波长减小值分别为993.32 和 2 701.29 nm。
在球坐标系下，采用Finite-basis-size方法研究了H原子在白矮星强磁场中布喇开系α谱线的塞曼效应，磁感应强度选为磁化的白矮星磁场分别为0.001、0.010、0.100和1.000 a.u.。计算包含9种对称性0±、(-1)±、(-2)±、(-3)±、(-4)+共25个本征态50+、60+、30-、40-、3(-1)+、4(-1)+、3(-1)-、2(-2)+、1(-2)-、1(-3)+、70+、80+、90+、50-、60-、5(-1)+、6(-1)+、3(-1)-、4(-1)-、3(-2)+、4(-2)+、2(-2)-、2(-3)+、1(-3)-和1(-4)+的能级，以及满足跃迁选择定则的54种跃迁光谱的能级间隔和波长。计算结果表明，无磁场的布喇开系α谱线在强磁场中发生塞曼效应，简并消除，劈裂后的谱线与无磁场中简并情况下的谱线相比会发生红移或蓝移，红移或蓝移的程度会随着磁感应强度的改变而改变。本文研究数据部分与文献吻合，因此所给出的研究方法适用于强磁场中原子光谱的理论研究，本文计算得到的光谱数据对于磁化的白矮星体的结构以及演变的研究有一定的参考价值。
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