占金青，汪庭威，段丁强，刘 敏
（1.华东交通大学机电与车辆工程学院，江西 南昌 330013；
2.华东交通大学载运工具与装备教育部重点实验室，江西 南昌 330013）
柔顺机构是利用自身的弹性变形将运动、力和能量传递到输出端的一种整体式机构[1-3]。
与传统的刚性机构比较，它具有免装配、无须润滑、运动精度高、易集成等优点。
柔顺机构广泛用于精密定位、 微机电系统 （micro-electro mechanical system，MEMS）、生物医疗、微纳制造等领域[4-7]。
拓扑优化方法已是柔顺机构的主要设计方法之一。
多相材料柔顺机构可以通过集成不同材料的特性提升机构综合性能[8]。
张宪民等[9]提出一种基于并行策略的多相材料柔顺机构拓扑优化设计方法，将一个复杂的多相材料设计问题离散成为单材料子设计问题。Majdi 等[10]采用各向同性材料惩罚模型（solid isotropic material with penalization，SIMP） 和交替主动相算法进行多相材料柔顺机构拓扑优化设计。
Zuo 等[11]采用基于幂函数的材料插值模型进行多相材料柔顺机构设计，无须引入任何新设计变量。
Rostami 等[12]提出了一种基于正则化投影梯度方法的多相柔顺机构拓扑优化设计方法。
Zhan 等[13]采用可分离应力插值方法进行多相材料柔顺机构应力约束拓扑优化设计，使得每相材料结构满足相应的应力约束。
上述研究主要集中在单输入、单输出多相材料柔顺机构拓扑优化设计问题。
在实际工程中，经常需要具有多个输入、多个输出的多相材料柔顺机构。
目前，多输入、多输出柔顺机构拓扑优化设计大多采用单一材料设计。Frecker 等[14]采用加权和方法建立优化目标函数，进行单个输入、多个输出柔顺机构拓扑优化设计，但是很难选择合适的加权因子。Zhu 等[15]采用水平集方法，以互应变能与应变能比值最大化为优化目标，进行多输出柔顺机构拓扑优化设计。
Alonso 等[16]以每个输入载荷产生的互应变能的总和最大化为目标函数，建立多输入、多输出柔顺机构拓扑优化模型。
然而，以上研究均忽略了多自由度柔顺机构存在的输入、 输出耦合效应，难以实现多个自由度方向的运动精确控制。
李兆坤等[17]为了抑制输出耦合，引入输出耦合约束进行多输入、多输出柔顺机构拓扑优化设计。最近，Zhu 等[18]采用单相材料进行完全解耦的柔顺机构拓扑优化设计，以抑制输入、输出耦合。
综上所述，多相材料柔顺机构拓扑设计研究没有考虑抑制输入耦合和输出耦合效应。
为此，本文提出一种基于多相材料的完全解耦多自由度柔顺机构拓扑优化设计方法。
1.1 多相材料插值模型
与基于SIMP 法的多相材料插值模型不同，基于单元堆积法的多相材料插值模型定义设计域中每一个单元的每一相材料对应一个单元刚度，能够考虑不同材料相关边界条件进行多相材料柔顺机构拓扑优化设计。
本文采用基于单元堆积法[19-20]的多相材料插值模型
式中：ke为单元e的刚度矩阵；
为充满第m 相材料的单元刚度矩阵；
ρe，m和ρe，l分别为单元e 对应于第m 相材料和第l 相材料的单元密度；
p1和p2均为惩罚系数，取值为3；
NM为选用多相材料的数目。
1.2 优化目标函数
对于多输入、多输出柔顺机构设计问题，通过不同的输入端施加荷载作用，在不同的输出端产生不同的输出运动，通常期望某个输出端的输出运动与某个输入端的载荷作用是一一对应的关系，即每个输入端荷载作用产生相对应的输出端的输出运动。图1 为多自由度柔顺机构拓扑优化设计域，Ii和Oi分别表示输入端i（i=1，2，…，n）和输出端i（i=1,2,…，n），fI，i为在输入端Ii的作用载荷， 载荷fI，i期望在输出端Oi产生输出位移uOi，Γd为固定边界。
图1 多输入、多输出柔顺机构拓扑优化设计域Fig.1 Design domain for topology optimization of multiinput-output compliant mechanisms
为了满足机构的运动需求，以柔顺机构多个输出端的输出位移uOi最大化为优化目标。
采用加权法[18]将多个输出位移最大化转变成一个优化目标，可表示为
式中：J 为优化目标函数；
ωi为权重因子， 它能够避免优化中出现某一个输出位移值非常大，而其他的输出位移值都非常小。权重因子ωi随着迭代不断更新，表示为
当n=2 时，优化目标可改写为
由式（2）可知，当uO1增大，ω2随之增大，从而使得uO2变大，反之亦然。
所用方法可以自适应地调整加权因子的大小，能够消除不同输出端的输出位移在数量级上的差异。
1.3 输入、输出耦合约束
对于多自由度柔顺机构设计问题，作用载荷fI，i在对应的输出端Oi产生输出位移uOi，然而，fI，i实际上不仅产生输出位移uOi，还在其它的输出端Oj（j≠i）产生输出位移，即为输出耦合效应；
同时，输入载荷fI，i除了在输入端Ii产生输入位移，还在其它的输入端Ij（j≠i）产生输入位移，即为输入耦合效应。
如前所述，为了提高机构的运动精度，多相材料柔顺机构非常有必要抑制输入耦合和输出耦合效应。
当输入端Ii施加载荷作用fI，i，在对应的输出端Oi产生位移uOi，同时，fI，i在其它输出端产生输出位移（j≠i）,如图2（a）所示。
为了抑制输出耦合，构建输出耦合约束为
式中：η*为输出耦合抑制参数。
当输入端Ii施加荷载作用fI，i， 在其它输入端（j≠i）产生输入位移（j≠i），如图2（b）所示。同样地，构建输入耦合约束为
图2 多自由度柔顺机构输入耦合和输出耦合示意图Fig.2 Schematic diagram of the input and output coupling issues for compliant mechanisms with multiple degrees of freedom
式中：ξ*为输入耦合抑制参数。
1.4 拓扑优化模型
采用基于单元堆积方法的多相材料插值模型，以机构的多个输出位移加权和最大化作为优化目标，以输入耦合、输出耦合及各相材料结构体积为约束，建立基于多相材料的完全解耦多自由度柔顺机构拓扑优化数学模型为
式中：K 为整体刚度矩阵；
U 为节点位移列阵；
f为作用载荷列阵；
v0充满材料单元的体积；
Vm为优化后的第m 相材料结构体积；
V0为优化前的设计域体积；
βm为第m 相材料的允许体积分数；
ρmin为单元密度最小值；
NE为有限单元的数目。
采用基于梯度的移动渐近线优化算法[21]求解基于多相材料的完全解耦多自由度柔顺机构拓扑优化设计问题。
需要求解优化目标函数和约束的灵敏度。
由式（2），目标函数对单元密度的灵敏度求得为
为了求解输出位移uOi的灵敏度，引入uOi=U。
其中，为虚拟单位载荷列阵，在输出点自由度为1，其它的自由度上均为0。
输出位移uOi可改写为
输出位移uOi对单元密度变量求导得
令有伴随方程有
将式（11）代入式（10）得
将式（11）代入式（8）得目标函数的灵敏度
对式（1）求导有
结构体积约束的灵敏度为
输出耦合约束对单元密度的灵敏度为
输入耦合约束对单元密度的灵敏度为
式中：伴随向量γ 由式Kγ-LOj，i=0 求得，伴随向量ζ 由式Kζ-LIj，i=0 求得；
式中矢量LOj，i和LIj，i均为虚拟单元载荷列阵。
采用变密度法进行多相材料柔顺机构拓扑优化设计，优化结果容易出现网格依赖及棋盘格等数值不稳定性现象，本文采用映射过滤方法[22-24]修正灵敏度信息。
数值算例中， 物理量和几何参数均为无量纲。实体材料1 和实体材料2 的弹性模量分别为70 和100，泊松比μ 为0.3，最小过滤半径rmin为4.0。
两自由度柔顺机构的设计域、边界条件以及输入、输出作用如图3 所示，设计域尺寸为L×B=200×100，作用载荷fI，1和fI，2大小均为300，分别施加在左上端和左下端的水平方向， 输入载荷fI，1在右上端O1期望产生水平位移uO1，输入载荷fI，2期望在输出端O2产生垂直输出位移uO2；
输入弹簧刚度kin，1=kin，2=10，输出弹簧刚度kout，1=kout，2=2，材料1 和材料2的允许体积份数分别为0.125 和0.150。
图3 两自由度柔顺机构设计域Fig.3 Design domain of compliant mechanism with two degrees of freedom
为了验证耦合约束的有效性，当系数η*和系数ξ*均取为0.01 时，考虑有、无耦合约束进行多相材料柔顺机构拓扑优化设计， 优化结果如图4 所示，拓扑构型中的红色区域和蓝色区域分别表示材料1和材料2。与无耦合约束拓扑优化结果相比，完全解耦拓扑优化获得的多相材料柔顺机构拓扑构型存在明显差异。
图5 表示为完全解耦的多相材料柔顺机构拓扑优化迭代图， 迭代过程未出现振动现象，较快趋于平稳。
图4 拓扑优化获得的多相材料柔顺机构构型Fig.4 The topological configuration of the multi-material compliant mechanism obtained by topology optimization
图5 完全解耦的多相材料柔顺机构拓扑优化迭代过程Fig.5 The convergence history of the objective for topology optimization of fully decoupled multi-material compliant mechanisms
由表1 可知，无耦合约束拓扑优化获得的多相材料柔顺机构在载荷fI，1作用时， 输出端O2产生输出耦合绝对值为3.374 8， 输入端I2产生输入耦合为1.648 9；
在载荷fI，2作用时，输出端O1产生输出耦合为6.964 2，输入端I1产生输入耦合为1.648 9；
这表明无耦合约束设计的多相材料柔顺机构存在较大的输入耦合和输出耦合，导致难以实现多个自由度方向的运动精确控制，降低了柔顺机构的运动精度。
完全解耦拓扑优化获得的多相材料柔顺机构在载荷fI，1作用时， 输出端O2产生输出耦合绝对值减小为0.064 6， 输入端I2产生输入耦合绝对值减小为0.003 3；
在载荷fI，2作用时，输出端O1产生输出耦合为0.076 3， 输入端I1产生输入耦合绝对值减小为0.003 3；
这表明完全解耦拓扑优化设计的柔顺机构的输入耦合和输出耦合大大地减小，并且满足输入耦合和输出耦合约束， 有效地抑制输入、输出耦合效应，能够实现机构的输入、输出运动达到完全解耦，验证提出的设计方法的有效性。
表1 有、无耦合约束的多自由度柔顺机构多相材料拓扑优化结果Tab.1 Results of multi-material topology optimization of multi-input-output compliant mechanisms with decoupled constraints and without decoupled constraints
为了分析不同抑制耦合系数对拓扑优化结果影响，考虑分别取η*=ξ*=0.1 和η*=ξ*=0.001 条件下，进行基于多相材料的完全解耦合柔顺机构拓扑优化设计，优化结果分别如图6 所示。随着抑制耦合系数改变，获得的多相材料柔顺机构拓扑构型有所改变，如图4（a），图6 所示。
由表2 可知，随着抑制耦合系数减小， 完全解耦拓扑优化获得的多相材料柔顺机构的输入耦合和输出耦合逐渐减小， 并且均能够满足耦合约束，有效地抑制输入、输出耦合效应，能够实现多相材料柔顺机构的输入、输出运动达到完全解耦。
图6 完全解耦拓扑优化获得的多相材料柔顺机构构型Fig.6 The topological configuration of the multi-material compliant mechanism obtained by topology optimization with decoupled constraints
表2 不同抑制系数条件下的完全解耦的多相材料柔顺机构拓扑优化结果Tab.2 Results of multi-material topology optimization of multi-input-output compliant mechanisms with decoupled constraints under different coupling coefficients
本文采用基于单元堆积法的多相材料插值模型，引入输入耦合和输出耦合约束，进行基于多相材料的完全解耦多自由柔顺机构拓扑优化设计研究，得到以下结论。
1） 与无解耦拓扑优化结果相比，完全解耦拓扑优化获得的多相材料多自由度柔顺机构构型有显著不同， 机构的输入耦合和输出耦合大大减小，有效地抑制多自由度柔顺机构输入、 输出耦合效应，能够实现输入、输出运动完全解耦。
2） 随着抑制耦合系数减小，完全解耦拓扑优化获得的多相材料柔顺机构拓扑构型有所改变，多自由度机构的输入耦合和输出耦合逐渐减小，并且均能够满足耦合、输出耦合约束。
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