肖 刚，薛焕斌，谢芳芳，张 磊，杨晓鹏★
（1.韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041；
2.韩山师范学院 马克思主义学院，广东 潮州 521041）
2021年初，教育部等五部委联合印发的《关于大力加强中小学线上教育教学资源建设与应用的意见》，回应了疫情防控常态化背景下社会对线上教育教学改革发展的关切，通过多部门协同工作为中小学线上教学内容资源建设与应用提供支持与服务，扩大优质教学内容资源有效供给，是支撑我国“十四五”期间构建高质量基础教育体系、推动教育现代化进程的重要举措.呼应于此背景，本文以“中小学数学线上教学内容资源”为研究对象，从师生满意度的视角，数据构建面向师生的资源需求体系结构，实证检验影响教师对资源使用满意度的关键因素，并通过实证性结论为中小学数学线上教学内容资源开发优化提供指导性的对策建议，助力于疫情防控常态化背景下中小学数学线上教育教学的现代化发展.
经过前期从当前中小学数学线上教学内容资源的主要应用形式、存在问题以及出现的新型需求特征来考察其应用现状，并基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》［1］、《义务教育课程方案（2022年版）》［2］与《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》［3］价值导向、教育教学图景取向、中小学数学线上教学实践取向等角度，将面向师生的中小学数学线上教学内容资源潜在需求分为：基础讲课教学设计、实践探究、概念演示动画、数学方法技能、数学史、数学教学微课、数学素质拓展资源、双师课程资源等8 个维度类别.为下一步进行中小学数学线上教学内容资源需求的实验设计与试点、KANO需求体系的建构提出合理的需求类别框架.
基于中小学数学线上教学内容资源潜在需求类别分析，设计实现各类别中小学数学线上教学内容资源用于试点实践，并在实践平台的实践周期中让中小学数学教师充分体验各类别线上教学内容资源.继而基于KANO模型问卷调研分析［4］得到：针对必备型线上教学内容资源，中小学数学教师认为常见的电子教材、教参、电子PPT课件等应是必备的内容资源，如果具备了，中小学数学教师使用满意度也不会显著提升，但如果缺失此类内容资源，中小学数学教师的使用不满意度会显著提升；
针对期望型线上教学内容资源，中小学数学教师明显期望能够具备的线上内容资源是微课教学视频、实践操作演示视频、拓展类多媒体内容资源等；
针对魅力型线上教学内容资源，中小学数学教师认为超出预期具有明显魅力属性的内容资源主要为STEAM课程教学PPT、备课拓展阅读知识、教学案例视频等；
针对无差异型线上教学内容资源，根据KANO 模型理论，按照绝对值之和的数值大小排序为数学考试卷题库、同步教学概念讲解微课、随堂练习题、随堂电子教辅、教学设计方案、课后同步教学的概念学习微课、数学名师或数学家远程直播课等，其数值越小，无差异性就越强，即有或没有对中小学数学教师的使用满意度影响很小.借助上述结论可以优化中小学数学线上教学内容资源的体系结构，为后续中小学数学线上教学内容资源的开发实践对策建议提供理论依据.
在中小学数学线上教学内容资源需求体系建构的基础上，再进行线上教学内容资源在应用实践中教师使用满意度的影响因素的假设与验证，能够为实践层面线上教学内容资源的应用推广提供有效的原则建议与方向性对策指导.针对中小学数学线上教学内容资源对教师使用满意度的影响因素研究，在深度访谈和实践感知的基础上发现了三个主要外部潜变量，包括内容丰富度、内容匹配度、感知内容质量等，并以美国成熟的ACSI 满意度理论模型为基础，结合信息系统的技术接受模型（TAM）进行整体的满意度模型建构与分析.由基于ACSI和TAM 模型［5］的中小学数学线上教学内容资源教师使用满意度理论模型可知，影响中小学数学教师使用满意度的直接影响因素有使用者预期、感知价值、感知质量等，间接影响因素有感知有用性、感知易用性等.
基于ACSI 模型研究显示，感知质量是直接影响中小学数学教师使用满意度的关键影响因素，其次是感知价值和使用者预期，因此，在中小学数学线上教学内容资源开发建设过程中，要注重教师对线上教学内容资源的质量和价值感知，以促进教师对线上教学内容资源在推广应用过程中的满意度.
基于TAM 模型研究显示，感知有用性、感知易用性对中小学数学教师的感知质量有显著正影响；
感知有用性对中小学数学教师的使用者预期的正影响假设不显著.故在中小学数学线上教学内容资源开发建设过程中要注重对线上教学内容资源的内容体系、创新性和教学使用中的价值进行引导和普及，从而提升教师对线上教学内容的价值的理解和认同，强化教师对线上教学内容资源的有用性感知.
综上可知，在进行中小学数学线上教学内容资源的开发建设过程中，教师要合理组织线上教学资源内容，强化线上教学内容资源与教材知识重难点紧密结合，并注重丰富线上教学内容资源的显化形态和覆盖的知识点，确保线上教学内容资源的内容组织与课堂教学有着良好的一致性，从而提升中小学数学教师对线上教学内容资源的有用性感知，进而提升中小学数学教师课堂教学使用满意度.下面通过一中小学数学线上教学内容资源开发建设案例“等比数列的前n项和公式”（来源见广东省在线开放课程《“过程→生成”教学论》“过程→生成”教学论https://www.xueyinonline.com/detail/229406951）加以详细说明.
4.1 课程标准分析
“等比数列的前n项和公式”节选自人教A 版（2019 版）高中数学必修第二册［6］第四章第三节第二小节，属于选择性必修课程主题一中“函数”领域的知识.在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中，对这一节内容的学习目标要求为：①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；
②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题；
④体会等比数列与指数函数的关系.
根据上述学习目标，对本节课的课程标准内容解读如下：通过本节课的学习，在知识方面，学生能够探索并掌握等比数列的前n项和公式，理清等比数列的通项公式与前n项和公式之间的关系；
在技能方面，学生能在具体的问题情境中，识别出等比数列，并运用前n项和公式解决相应的问题.
4.2 学情分析
已有的知识.在学习本节内容之前，学生已学习过“等差数列的前n项和公式”“等比数列的定义及通项公式”等内容，知道了求解数列问题的解题思路和切入点，了解了等比数列的构成和各项之间的关系，而且本阶段的学生已经具备了一定的探究能力和较为完善的推理能力.
存在的问题.本节公式的推导与前面所学的等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破.另外对q= 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，在后面使用的过程中较容易出错.
4.3 教材内容分析
在“数列”这一章中，“等比数列的前n项和公式”是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是“等差数列的前n项和公式”与“等比数列”的顺延，也是前面所学函数的延续，实质是一种特殊的函数，也为后续深入学习提供了知识基础.教材先是通过象棋里面摆麦粒的故事引出问题情境，让学生思考“国王应该给发明者多少粒麦粒”这一问题，从而列出“S64=1+2+22+…+263”这一算式，进而探究一般等比数列的前n项和公式，最后推导出等比数列的前n项和公式为“Sn=推导出等比数列的前n项和公式后，给出一些简单的等比数列，让学生试着求其前n项和，从而巩固所学.
在公式推导的过程中，联系了前面所学的“等差数列的前n项和公式”，由此看来，本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也为后面研究其他数列的求和奠定了基础.
4.4 教学目标与数学核心素养分析
4.4.1 教学目标
（1）知识与技能目标：掌握等比数列的前n项和公式以及推导方法，会用等比数列前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.（2）过程与方法目标：经历等比数列前n项和的推导过程，总结等比数列求和方法，体会数学中的思想方法.（3）情感态度与价值观目标：激发学生学习数学积极性以及学习数学的主动性.
4.4.2 数学核心素养
（1）数学抽象：等比数列的前n项和公式的概念和意义.（2）逻辑推理：等比数列前n项和公式的推导.（3）数学运算：利用等比数列前n项和公式进行计算.（4）数学建模：将具体问题抽象概括为数学模型，并通过与特殊的等比数列前n项和公式的类比，得出一般等比数列前n项和的公式.
4.5 教学重难点分析
重点为等比数列前n项和公式以及对公式的理解与运用.难点为等比数列前n项和公式的推导.
4.6 教学理念分析
本节课基于“过程→生成”教学理念进行教学设计，以提高学生的知识、技能、方法、情感为基本目标，以再造知识生成过程为基本策略，让学生亲身经历等比数列的前n项和公式的推导过程.其次，本节课设计了“问题提出→问题解决→问题拓展→基本练习→课堂小结”五大基本模块，以等比数列的通项公式等知识为基础，提出一系列具有启发性的问题，引导学生观察、类比，从特殊到一般推导出等比数列的前n项和公式，让学生理解“q= 1”这一特殊的情况，并能将公式运用于实际问题情境中，从而让学生了解本节课所学知识的来龙去脉，使学生的思维得到充分的发展，从而学会学习.
4.7 “课程思政”融入分析
高中数学课程思政是将思想政治教育元素寓于数学课堂教学之中，通过有机融合、润物无声的方式，达到既教书又育人的目的.“课程思政”是为了让高中数学与思政教育共融，让学生学到数学知识的同时，也能接受习近平新时代中国特色社会主义思想等的熏陶，从而达到思想政治教育的目的.
在“等比数列的前n项和公式”去掉的教学中，通过计算麦粒的数量，可向学生渗透节约粮食、体会中国劳动人民不易的思想，让学生对“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”这句话有更深刻的体会.此外，在对q= 1 和q≠1 进行分类时，可用辩证唯物主义观作为衔接点，进而培养学生全面分析问题的能力.
4.8 教学过程设计
4.8.1 问题提出
问题：国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说：国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格内，赏给我1粒麦粒，在第2个小格内给2粒，第3格内给4粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子为止，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧.”国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求.你认为国王应该给发明者多少粒麦粒呢？
4.8.2 问题解决
教师：国王觉得这位发明者的要求实在是太低了，你认为他的要求高吗？
【设计意图】询问的目的是为了留下悬念，激发学生的兴趣.
教师：根据上面的故事，你能算出发明者所得的麦粒数吗？
学生：1 + 2 + 22+ … + 262+ 263.
【设计意图】从故事中抽象出具体的数学问题：计算1 + 22+ 23+ … + 262+ 263.
教师：如果把各格所放的麦粒数1,2,22,23，…，263看成一个数列，这是一个怎样的数列？
学生：是一个首项为1，公比为2的等比数列.
教师：如果记“1 + 2 + 22+ … + 262+ 263”为S64，即
我们要怎么计算S64？
【设计意图】要求出S64的值，很自然的方法是将它们一项项相加，可以先让学生尝试相加，而后发现加到后面的数字太大了，运算非常繁琐，教师进而提出：有没有简洁的方法可以计算出S64的值？
学生：根据前面所学的等差数列前n项和公式推导过程的启发，我尝试将这个等比数列倒序相加，但发现1 + 263≠2 + 262.
【设计意图】前面学习了等差数列前n项和的推导方法——倒序相加法，学生很容易联想到将其迁移运用，但尝试后却发现：1 + 263≠2 + 263，尝试多几项也不成立，所以倒序相加法在这里不能用了，需要寻找新的方法.
教师：在等差数列的求和中，我们曾把两个Sn相加，如果我们将两个S64相加会怎么样呢？
学生：S64+S64=(1 + 2 + 22+ … + 262+ 263)+(1 + 2 + 22+ … + 262+ 263)，但是由于1+ 263≠2 +262，所以我们无法将其倒序相加，我们只能将相同的项相加，得到
2S64=(1 + 1)+(2 + 2)+(22+ 22)+ … +(262+ 262)+(263+ 263)=2 + 22+ 23+ … + 263+ 264，即得到：
教师：我们得到的这个②式还能化简吗？
【设计意图】给学生充分的时间比较两式，等比数列的前n项和公式教学中关键是变“加”为“减”，学生理解时会有一些困难，因此需要足够时间探究.
学生：经比较发现，①式和②式中存在很多相同的项，如果我们用①式的两边分别减去②式的两边，就可以消去这些相同的项了.
教师：264- 1这个数很大，超过了1.84×1019，一千颗麦粒的质量约40 g，那么以上这些麦粒的总质量就超过了7000亿吨，而2021年全球小麦产量约为776.4百万吨，放到现在国王都无法兑现他的诺言，更何况古代一个印度的麦子了.而这就跟同学们一开始认为“国王的要求不高”相违背了，说明我们解决问题不能够凭借直觉，应当通过严格的推理、运算去解决.麦子数量看起来多，但是农民种出来是非常不容易的，我们平时在生活中应当珍惜粮食，杜绝浪费粮食的行为，理解劳动人民的不易.
【设计意图】此处将“课程思政”融入课堂教学中，给学生传递珍惜粮食的思想，让学生学习新知识的同时，思想也能得到提升.
4.8.3 问题拓展
教师：你能推出一个公比为q，首项为a1的等比数列{an}的前n项和的求和公式吗？即将
表示为简洁的形式？
学生根据前面的例子类比，2S64前面的2 正好是这个等比数列的公比，而且数列1,2,22,23，…，263中的每一项（除263这一项外）都乘2，恰好能得到数列1,2,22,23，…，263中相应的后一项.所以，学生很容易可以想到将③式的两边同时乘q，得：
③- ④=(1 -q)Sn=a1-a1qn.
教师：在这里1 -q可以直接除过去吗？
教师：这说明我们应当用辩证的眼光看待问题，对数学问题要进行全面的分析，有时候不能够忽略对问题的分类讨论.在这个问题中，通过Sn构造出qSn再作差的方法，称为错位相减法，在后续的数列学习中，我们会经常用到，要注意对这种方法的理解和掌握.
【设计意图】此处对q= 1和q≠1的情况分类讨论时，能教会学生用辩证的眼光看待数学问题，目的是将“课程思政”融入数学课堂教学.
4.8.4 例题讲解与课堂小结（略）
4.9 教学反思
4.9.1 基于课程标准的教学反思
在前面的学习中，学生已经掌握了等差数列的前n项和公式、等比数列的通项公式，为本节课的学习打下了基础.本节的教学设计中，首先，创设“国王在国际象棋盘上放麦粒”的故事情境，引发学生思考如何计算麦粒数，让学生在这一情境中发现数列的等比关系.然后，针对情境抽象出数学问题，给学生充分的时间去探索，再从特殊到一般推导出等比数列的前n项和公式，满足“探索并掌握等比数列的前n项和公式”这一学习目标.除此之外，还设计了一些练习检验学生对公式的掌握情况，能够很好地达到“理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系”这一学习目标，也为后续研究范围更广的数列奠定了基础.
4.9.2 基于教学重难点的教学反思
在本节课的教学过程中，将故事情境抽象出具体的数学问题：计算1 + 22+ 23+ … + 262+ 263，让学生观察每一项的特点，而不是一上来就直接告诉学生将式子的两边同时乘以2，应当注重教学的关键是如何变“加”为“减”，这一过程对学生而言是不可思议的，也与前面所学的推导等差数列的前n项和公式有所不同，但也可以寻找关联，因此教学应着力在此做文章.然后，再从特殊到一般推出一个公比为q，首项为a1的等比数列{an}的前n项和的求和公式，让学生易于接受，并强调q的范围，从中渗透类比、分类讨论等思想方法.最后，再对推导过程中使用的“错位相减法”进行总结，让学生注意对这一方法的理解和掌握.整个探究的过程中，让学生有充分独立思考的空间，相比直接给出公式而言，重视推导的过程，也培养了学生的合作探究精神，符合本节课所设计的教学重难点，使学生的数学思维能力得到充分发展.
4.9.3 基于师生关系的教学反思
在传统的教学课堂中，教师经常以主导性的角色来参与教学活动，这样是不利于形成良好的师生关系的，教师应当将学生当作思考的主体，不能过分重视课堂的教学结果而忽视了与学生的互动，要尽可能让每一名学生都能充分地参与到课堂之中.在“等比数列的前n项和公式”这一节的教学中，教师主要充当引导者的角色，利用引导性的话语引发学生学会思考，回答教师所提出的问题，让学生充分理解如何将式子变“加”为“减”，并从特殊到一般推导出等比数列的前n项和公式，由浅入深，层层递进，符合学生的认知发展特点，重视学生的主体地位，能够帮助学生更好地理解等比数列的前n项和公式的由来，从而提升课堂教学的效果.
4.9.4 基于教学效果的教学反思
本节内容属于“等比数列”的第二课时，学生已经了解了等比数列的特点、掌握了等比数列的通项公式，这都为本节推导等比数列的前n项和公式奠定了基础.在本节课中，着重分析等比数列前n项和公式的推导过程，联系了之前所学习的等差数列求和公式的推导过程，结合了学生已学的知识，能让学生理解为什么可以把式子变“加”为“减”，也让学生能够更直观地感受到等比数列求和公式的知识生成过程，使得新知识更易被学生所接受.其次，整节课重视学生的主体地位，让学生亲身经历去探索公式的推导过程，强调合作解决，尽可能让每一名学生都能积极地思考，参与到课堂之中.
除此之外，本节课还设计了三道有针对性的练习，让学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式，培养学生的数学运算能力.在课程的最后能够及时总结，帮助学生回顾所学，而在作业布置方面，重视课本的课后练习，能让学生巩固所学同时有所提升.由此看来，本节课的课堂结构完整，可在一定程度上提高数学课堂教学的质量，能达到良好的教学效果.
4.9.5 基于课程思政的教学反思
数学学科作为基础教育阶段最为重要的学科之一，将“课程思政”融入教学过程是必不可少的.因此，在实际的教学过程中，教师应当善于挖掘数学知识中所蕴含的思政元素，选择适当的途径或方法将课程思政融入到数学教学课堂中，从而达到既教书又育人的目的.
在本节的学习中，为了让学生学到数学知识的同时思想境界也能得到一定的提升，在计算出麦粒数后，启发学生学会珍惜粮食，让学生能够感受到数学与我们的现实生活是息息相关的，也能让学生领会到农民之不易.除此之外，在对等比数列的前n项和公式进行推导时，对q= 1 和q≠1 的情况进行分类，能够体现辩证唯物主义的思想，让学生学会用辩证的眼光去看待数学问题.这两部分的内容都体现了“课程思政”融入高中数学教学课堂，践行了数学课堂立德树人的目标，能够帮助学生形成正确的价值观.
上述案例表明，在中小学数学线上教学内容资源开发建设过程中，一是中小学数学课堂教学实践中的重难点的匹配度与有用性以及使用者的满意度呈现高度正相关，这就要求在建设时需强化中小学数学线上教学内容资源对中小学数学课堂教学重难点的匹配度.中小学数学教师应仔细研究《义务教育数学课程标准（2022 年版）》与《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》以及相应的教材，在中小学数学线上教学内容资源重难点与在线技术表现形式方面均应与对应的知识点具有高度的匹配度，才能更好地辅助、促进和提升中小学数学线上教学的效果，获得中小学数学教师更高的满意度.
二是中小学数学线上教学内容资源的丰富度与中小学数学教师的使用满意度呈现高度正相关，在中小学数学线上教学内容资源开发建设过程中注重在有效性基础上提升其丰富度是非常重要的.上述的丰富度并非指供中小学数学教师使用的线上教学内容资源库数量庞大，而是指在线上教学内容资源匹配度良好的基础上，保证每一个中小学数学线上教学内容资源的使用有效性.在单个线上教学内容资源有效性的基础上，丰富线上教学内容资源的数量，使得有效的中小学数学线上教学内容资源数量上能够匹配与相应教材同步的课程使用，同时也能满足中小学数学教师的数学拓展课程的个性化教学需求.
三是应优先建设中小学数学师生共同需求程度较高的中小学数学线上内容资源体系提升满意度.通过师生对中小学数学线上教学内容资源需求程度的差异分析，表明师生对中小学数学线上教学内容资源的需求存在显著差异，故优先建设中小学数学师生共同需求程度较高的内容资源体系是更为可靠的策略.中小学数学教师更在乎讲课效率和质量，目的性更强；
而学生更在乎兴趣和参与感，对功利目标需求较弱.双方对中小学数学课堂所需的魅力型、期望型、必备型内容资源的需求和理解并不一致.