刘一宣，谭宜家
(福州大学 数学与统计学院，福州350108)
矩阵的保持问题一直是一个活跃的研究领域，具有广泛的应用背景，在微分方程、数理统计等领域中具有重要的作用．关于域上矩阵的保持问题已取得了大量的研究成果(参见文献[1-14])．2017年，张国庭与赵显贵[15]研究了一般交换环上的矩阵保持问题，所得结果推广了文献[1-3]的结论；
进而文献[16]探讨了整环上全矩阵空间和上三角矩阵空间保持逆矩阵的函数，将文献[4]的结论推广到整环上. 最近，文献[17]研究了交换环上保持行列式的函数，给出了交换环上上三角矩阵空间、对称矩阵空间以及全矩阵空间中保持行列式的函数的具体形式，拓广与改进了文献[5]的结论. 本文在上述基础上探讨交换整环上矩阵空间保持相似关系和对称矩阵空间保持合同关系的函数，分别获得了保持相似关系和保持合同关系的函数的形式，所得结果推广与改进了文献[6]的结论.由于交换整环中的非零元不一定可逆，本文的结论和证明与文献[6]有所不同.
设R是一个环，Mn(R)和Sn(R)分别表示R上n阶矩阵空间和n阶对称矩阵空间，GLn(R)表示R上所有n阶可逆矩阵组成之集.对于任意A,B∈Mn(R)，若存在P∈GLn(R)，使得PAP-1=B，则称矩阵A与B相似，记为A～B.对于任意A,B∈Sn(R)，若存在P∈GLn(R)，使得PAPT=B，则称矩阵A与B合同.对于R上的方阵A与B，我们用A⊕B表示A与B的直和.
设f为环R到自身的映射(或函数)，对于任意A=(aij)∈Mn(R)，定义f(A)=(f(aij)).那么可得到Mn(R)到自身的一个映射f∶A|→f(A)=(f(aij)).
定义1.1 设f为环R到自身的一个映射(或函数).如果对于Mn(R)中任意两个相似的矩阵A与B，均有f(A)与f(B)相似，则称f为矩阵空间Mn(R)的保持相似关系的函数；
如果对于Sn(R)中任意两个合同的矩阵A与B，均有f(A)与f(B)合同，则称f为对称矩阵空间Sn(R)的保持合同关系的函数.
定义1.2 设η为环R到自身的映射.如果对于任意a,b∈R，均有η(a+b)=η(a)+η(b)，η(ab)=η(a)η(b)，则称η是R的一个自同态.
设R是一个交换环，A∈Mn(R)，我们用detA表示A的行列式.对于R上的m×n矩阵A，任取A的k行k列(k≤m,k≤n)，位于这些行与列的交叉处的元素(不改变元素的位置)所构成的k阶矩阵的行列式称为A的一个k阶子式[18].
设R是一个交换环，A∈Mn(R)，λ是环R上的一个未定元.称deg(λIn-A)为矩阵A的特征多项式，记为χA(λ)，这里In表示n阶单位矩阵[19].
定义1.3[18]设R是一个交换整环，A是R上的一个m×n矩阵.如果A中存在一个r阶子式不为0，而A的所有r+1阶子式(如果存在的话)全为0，那么r称为A矩阵的秩，记为r(A).
类似于域上矩阵的结论，我们有
引理1.1 设R是一个交换环, 那么
1)R上任意两个相似的矩阵具有相同的特征多项式；
引理1.2 设R是一个交换整环,那么
1)R上任意两个相似的矩阵具有相同的秩；
2)R上任意两个合同的对称矩阵具有相同的秩.
定理2.1 设R是一个交换整环，n≥3,f∶R→R是一个映射，且当f(1)≠0时f(1)可逆.则f为矩阵空间Mn(R)的保持相似关系的函数当且仅当f为下列两种形式之一：
(ⅰ)f≡c，其中c∈R；
(ⅱ)f=cδ，其中c∈R且c≠0，δ为R的非零自同态.
证明充分性
(ⅰ)假设f≡c，其中c∈R，那么对于任意x∈R,均有f(x)=c.于是对于任意A,B∈Mn(R)，均有f(A)=f(B)，显然f(A)与f(B)相似.
(ⅱ)假设f=cδ，其中c∈R,c≠0，δ为R的非零自同态.对于任意A,B∈Mn(R)，如果A与B相似，则存在P∈GLn(R)，使得A=PBP-1，于是
f(A)=cδ(A)=cδ(PBP-1)=cδ(P)δ(B)δ(P-1)=δ(P)(cδ(B))δ(P-1)=δ(P)f(B)δ(P-1)
下证δ(P)∈GLn(R)，并且δ(P)-1=δ(P-1).
由P∈GLn(R)知PP-1=In，于是δ(In)=δ(PP-1)=δ(P)δ(P-1).因为δ为R上的非零自同态，所以δ(1)≠0.进一步，δ(1)=δ(12)=δ(1)2，于是δ(1)=1(因为R为整环).又因为δ(0)=0，所以δ(In)=In，从而δ(P)∈GLn(R)并且δ(P)-1=δ(P-1).于是f(A)与f(B)相似.
必要性：分两种情况进行讨论.
情况2：f(0)=0.如果对于任意x∈R，都有f(x)=0，则f=0.此时f满足条件(ⅰ).
f(x)f(y)=f(1)f(xy)
现令f(1)=c，δ=c-1f(注：当f(1)≠0时f(1)可逆).那么由f(x+y)=f(x)+f(y)和f(x)f(y)=f(1)f(xy)，得c-1f(x+y)=c-1f(x)+c-1f(y)，c-1f(x)c-1f(y)=c-1f(xy)，即δ(x+y)=δ(x)+δ(y)，δ(xy)=δ(x)·δ(y).又因为δ(1)=c-1f(1)=1≠0，所以δ为R的非零自同态，此时f满足条件(ⅱ).证毕.
定理2.2 设R是一个交换整环，n≥3,f∶R→R是一个映射，且当f(1)≠0时f(1)可逆.则f为对称矩阵空间Sn(R)的保持合同关系的函数当且仅当f为下述两种形式之一：
(ⅰ)f≡c，其中c∈R；
(ⅱ)f=cδ，其中c∈R,c≠0，δ为R的非零自同态.
证明充分性
(ⅰ)假设f≡c，其中c∈R，那么对于任意x∈R,均有f(x)=c.于是对于任意A,B∈Sn(R)，均有f(A)=f(B)∈Sn(R)，显然f(A)与f(B)合同.
(ⅱ)假设f=cδ，其中c∈R,c≠0，δ为R上的非零自同态.对于任意A,B∈Sn(R)，显然f(A),f(B)∈Sn(R).如果A与B合同，那么存在P∈GLn(R)，使得A=PBPT，这里PT表示矩阵P的转置.于是
f(A)=cδ(A)=cδ(PBPT)=cδ(P)δ(B)δ(PT)=δ(P)(cδ(B))δ(P)T=δ(P)f(B)δ(P)T.
由定理1.1的证明知，δ(P)∈GLn(R).于是f(A)与f(B)合同.
必要性：分两种情况进行讨论.
情况2：f(0)=0.如果对于任意x∈R，都有f(x)=0，则f=0.此时f满足条件(ⅰ).
f(x)f(y)=f(1)f(xy)
此时f(x+y)=f(x)+f(y).
当f(x)=0,f(y)≠0时，类似可证f(x+y)=f(x)+f(y).
当f(x)=f(y)=0时，f(F)=On，所以f(E)=On.此时f(x+y)=0=f(x)+f(y).
综上所述，对于任意x,y∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y).
现令f(1)=c，δ=c-1f(注：当f(1)≠0时f(1)可逆).那么由f(x+y)=f(x)+f(y)和f(x)f(y)=f(1)f(xy)，得c-1f(x+y)=c-1f(x)+c-1f(y)，c-1f(x)c-1f(y)=c-1f(xy)，即δ(x+y)=δ(x)+δ(y)，δ(xy)=δ(x)·δ(y).又因为δ(1)=c-1f(1)=1≠0，所以δ为R的非零自同态，因此f满足条件(ⅱ).证毕.
由于任何域是交换整环，并且域上任何非零元均可逆，任何非零自同态均为单自同态，所以由定理2.1和定理2.2分别可得
推论2.1[6，定理1.1] 设F是一个域,n≥3,f∶F→F是一个映射.则f为矩阵空间Mn(F)的保持相似关系的函数当且仅当f为下列两种形式之一：
(ⅰ)f为常函数；
(ⅱ)存在0≠c∈F及域F的单自同态δ，使得为f=cδ.
推论2.2 设F为域,n≥3,f∶F→F是一个映射.则f为对称矩阵空间Sn(F)的保持合同关系的函数当且仅当f为下列两种形式之一：
(ⅰ)f为常函数；
(ⅱ)存在0≠c∈F及域F的单自同态δ，使得为f=cδ.
注2.1 推论2.2改进了文献[6]中的定理2.
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