莫帅 王赛赛 罗炳睿 岑国建
摘要：为提高谐波齿轮的加工精度和效率，提出一种适应双圆弧谐波刚轮的刮齿加工原理和刀具设计方法.根据包络理论求解谐波刚轮共轭齿廓，并采用最小二乘法拟合；
通过构建刮齿加工坐标系和前刀面坐标系求解刮齿刀具共轭面和前刀面模型，并用NURBS曲面拟合；
根据牛顿迭代法求解前刀面与共轭面交点获取切削刃数据，导入CAD软件建立刮齿刀具数学模型.在此基础上，分析不同前角和后角对刮齿刀具齿廓误差的影响，结果表明：由于前角和后角，刮齿刀具切削刃实际齿廓和理论齿廓产生一定偏差，该齿廓偏差从齿顶到齿根逐渐增大，并随着前角和后角的增大而增大.
关键词：齿轮加工；
齿轮刀具；
谐波传动；
刮齿工艺；
三次B样条曲面
中图分类号：TG721文献标志码：A
Machining Principle and Cutter Design of Double-arc Harmonic Rigid Gear Skiving
MO Shuai1，2，4，WANG Saisai1，2，LUO Bingrui1，2，CEN Guojian3
（1. School of Mechanical Engineering，Tiangong University，Tianjin 300387，China；
2. Tianjin Modern Electromechanical Equipment Technology Key Laboratory，Tianjin 300387，China；
3. Ningbo Zhongda Leader Intelligent Transmission Technology7 Industry Co.，Ltd.，Ningbo 315301，China；
4. Jiangsu Wanji Transmission Technology Co.，Ltd.，Taizhou 225400，China）
Abstract：In order to improve the machining accuracy and efficiency of harmonic gear，this paper proposes a skiving machining and the tool design method for double-arc harmonic rigid wheels. Based on the envelop theory，the conjugate tooth profile of the harmonic rigid wheels is solved，and the least squares method is used to fit it. The conjugate surface and rake surface are solved by constructing the skiving machining coordinate system and rake face coordinate system，and NURBS surface is used to fit. The rake and conjugate surface are intersected by Newton interative method to obtain the cutting edge data，and the mathematical model of skiving tool is established by importing the data to CAD software. On this basis，the influence of different rake edge angles and back edge angles on tool profileerror is analyzed. The results show that the skiving tool has a certain deviation between the actual tooth profile and the theoretical tooth profile due to the rake edge angle and back edge angle，and this deviation increases gradually from the tooth tip to the tooth root with the increase of rake angle and back angle.
Key words：gear cutting；
gear cutters；
harmonic drive；
skiving process；
three-times B-splines （NURBS ）surface
在諧波传动中，齿轮的齿形设计及加工工艺对其传动特性有较大影响.随着科学技术的发展，国内外学者对谐波齿轮做了大量分析研究[1-4]，辛洪兵[1]和王家序等[4]指出双圆弧齿形的谐波减速器具有良好的传动质量.由于齿形复杂，谐波齿轮制造工艺受到极大限制，王仕璞等[3]提出以具有正前角的滚刀加工谐波柔轮，并建立刀具模型；
Yoshino等[5]根据单元去除理论提出一种特殊齿形齿轮的插齿刀具设计方法.刮齿作为一种新型齿轮加工技术具有比插齿更高的精度和效率.目前，国内关于刮齿刀具设计方法的研究成果较少[6-15]，其中贾康等[7]基于展成加工原理，给出一种由刮齿前刀面与离散曲面相交构建切削刃的方法；
Guo等[9]提出一种无理论误差直齿刮齿刀具结构，并建立数学模型，为刮齿刀具参数优化提供参考.
刮齿加工技术尚未应用到谐波齿轮的加工中. 本文以偏离端面一定角度的平面作为前刀面，设计适应双圆弧齿形谐波刚轮加工的刮齿刀具模型，降低刀具加工和磨削难度，使工件具有较小的刃形误差，提高双圆弧谐波刚轮的加工精度和效率.
1刮齿加工原理
刮齿加工方式与插齿类似，都是基于展成加工原理，区别在于切削的作用方式不同.插齿加工时工件和刀具做无间隙啮合运动，同时插齿刀沿工件轴向做往复切削运动.刮齿加工示意图如图1所示，工件与刀具保持恒定的轴交角，同时做旋转啮合运动和轴向进给运动，工件和刀具由于强制啮合而产生一系列微小沟壑，构成工件曲面.在机床作用下刀具沿径向推进，最终完成齿轮的加工[9].
2谐波齿轮齿廓设计方法
2.1双圆弧谐波柔轮齿廓方程
双圆弧谐波柔轮齿廓如图2所示，其基准形式为圆弧-公切线-圆弧.建立柔轮齿廓坐标系XOY，圆弧段圆心坐标Oa（xa，ya）、Ob（xb，yb），其中xa=-ca，ya=ha+hf+dala，xb=πm/2+cb，yb=hf+da+lb.以柔轮单侧齿廓为例，各参数取值如表1所示，表中ra和rb分别为凸圆弧和凹圆弧半径，3为公切线倾角，lf为公切线竖直距离，α为OaB与水平方向的夹角.以齿廓弧长s为变量，建立公切线双圆弧谐波柔轮的凸段齿廓、切线段齿廓和凹段齿廓的分段方程.
谐波柔轮凸圆弧BC段齿廓方程为：
谐波柔轮公切线CD段齿廓方程为：
谐波柔轮凹圆弧DE段齿廓方程为：
式中：l1=rb{π/2-arccos[（lb+hf）/2]-δ}-cb.
2.2刚轮齿廓方程求解
谐波齿轮传动过程中，柔轮因为波发生器的作用而发生变形，因此常用包络法求解谐波刚轮齿廓[10].图3为谐波齿轮传动坐标系，在图3中，当柔轮在谐波发生器的作用下沿原始曲线Cl运动时，齿廓曲线Rl的包络即为所求刚轮齿廓Gl.
谐波齿轮传动的基本设计参数如表2所示.其中柔轮径向最大变形量w0取0.5 mm，设柔轮和刚轮齿廓坐标分别为（xr，yr）（xg，yg）.
方程（4）为谐波柔轮齿廓坐标系向刚轮齿廓坐标系的转换方程，式中包含未知变量φ与s.谐波齿轮在传动啮合过程中满足啮合方程（5），选取并离散s值，代入式（5）可求出对应的φ值.将求解得到的φ与s代入式（4），可得到刚轮齿廓坐标.
图4通过坐标变换模拟柔轮与刚轮的相对运动，直观反映出谐波齿轮传动的啮合特征，刚轮齿廓在柔轮的包络中得到正确验证.
为便于图4的工艺实现，对刚轮齿廓公切线段以直线y=kx+b拟合，对圆弧段以圆形方程（6）拟合.
x2+y2+ax+by+c=0（6）
设刚轮齿廓点（xi，yi），令y=f（x，tj），j=1，2，…，m.取精度为0.000 1，p（tj）满足式（7），各常数满足式（8）.
将齿廓离散坐标点代入拟合公式，可得刚轮凸、凹圆弧段圆心坐标分别为Og1（0.139 1，0.332 5）和Og2（0.338 8，0.582 2）；
半径分别为r1=0.693 7、r2= 0.759 9；
公切线段分别为k=-7.840 1、b=28.507 7.设齿廓方程为F（x，y），在z方向离散可得刚轮齿面坐标点云如图5所示.工件齿面上任意点法失N的分量分别为：
3刚轮刮齿刀具几何参数计算
刮齿刀具与其他齿轮加工刀具类似，都具有切削刃和前后刀面等结构要素[11].刮齿刀具结构如图6所示.
3.1前刀面数学模型
在刮齿加工中，刀具与工件之间存在轴交角，因此采用与端面一定角度的平面作为前刀面，使刮齿刀具两侧刃切削角度相近，减小刃形誤差[12].
图7为刮齿刀具前刀面坐标系.在图7中，坐标系XYZ为前刀面坐标系，XaYaZa为辅助面坐标系，X2Y2Z2为刀具运动坐标系.前刀面法向量在坐标系XYZ中可表示为n（0，0，1），根据式（10）可得，在刀具运动坐标系中的前刀面法向量为n1（sinαcosβ，sinβ，cosβcosα）.
式中：B1为前刀面向辅助面变换的矩阵；
B2为辅助面向刀具运动坐标系变换的矩阵.
在X2Y2Z2坐标系中前刀面方程为：
x2sinαcosβ+（y2-r1）sinβ+z2cosβcosα=0（13）
3.2共轭面数学模型
3.2.1相对运动速度
刮齿加工坐标系如图8所示.S1-O1X1Y1Z1为工件坐标系，S2-O2X2Y2Z2为刀具坐标系，S0-O0X0Y0Z0和SP-OPXPYPZP为参考坐标系，i、j、k和ip、jp、kp分别为坐标系S0和SP对应坐标轴的单位向量.加工运动时刀具以w2转动并沿z1轴负方向移动，工件以w1定轴转动，共轭面与刀具齿面在M点共轭.
S0和SP的位置关系为：
k=sin γjp+cosγkp（14）
共轭点M在坐标系SP中满足式（15）：
解得v12在SP中的分量为：
式中：β1和β2分别为工件和刀具螺旋角；
n1和n2分别为工件和刀具齿数；
m为模数.
将式（9）、式（16）代入式（21），可解得S1绕ZP转过的角度θ1.齿面在M点啮合时满足：
整理得共轭面坐标点为：
[xPyPzP1]=MP1[x1y1z11]T（19）
式中：Mp1为S1向SP的变换矩阵.
三次B样条曲面（Non-Uniform Rational B-
（a）主视图
Splines，NURBS）具有良好的局部性质[14-15].为便于切削刃的求解，将共轭面拟合，在其上选取K×L个型值点，设参数u方向为Fi，j.
3.2.2共轭关系
共轭点在啮合运动时满足啮合原理[13].
NPv12=MP1Nv12=0（21）
根据自由端点条件（27）可求得u向控制点Vi，j，将其作为w方向的型值点，以同样的方法求出B样条曲面控制点pi，j.当参数u和w扫过它的整个定义域时，等参数线描述成如图9所示拟合曲面.
B样条曲面拟合方程如式（28）所示.
3.3主刃和主后刀面模型
共轭面经三次B样条曲面拟合，其中x2=P1（u，w）、y2=P2（u，w）、z2=P3（u，w）.前刀面方程为：
f（x2，y2，z2）=0
x2、y2和z2关系如式（13）所示.共轭面与前刀面交线方程为：
f（P1（u，w），P2（u，w），P3（u，w））=P（u，w）=0
本文采用牛顿迭代法逼近共轭面，拟合点云与等值线P（u，w）=0的距离，获得主切削刃.
将u、w均分为n份，拟合后的共轭面上每一个网格间距为Δu=Δw=1/n，矩形单元Δij的4个顶点与前刀面交线方程对应函数值分别为P（ui，wj）、P（ui，wj+1）、P（ui+1，wj）、P（ui+1，wj+1）.主切削刃的求取就是計算共轭面网格单元边与P（u，w）=0的交点，具体步骤如下：
1）将拟合后的共轭面点云代入交线方程并判断每个网格顶点的符号（大于0记为“+”，否则记为“-”）.
2）若共轭面网格单元的顶点符号相同，则与等值线P（u，v）=0无交点，否则转到3）.
3）对于两端异号的单元边，采用牛顿迭代计算交点，对于单元边wj-wj+1，设P（ui+1，wj+1）为“-”，P（ui+1，wj）为“+”，交点（ut，wt）中ut=ui+1，wt利用牛顿迭代公式（11）求取.
令w1=wj、w2=wj+1，设置迭代精度ξ=0.001，迭代至wk+1-wk<ξ时wt=wk+1.求出对应的u、w值代入x2、y2和z2，可获得交点如图10所示.
当刀具刃磨后，前刀面在刀具运动坐标系中沿Z2轴方向移动Δb，同时为保证工件全齿高，刀具工件中心距增大Δa，构成一个新的主刃，将所有主刃特征点拟合就构成主后刀面.
4刮齿刀具数字化设计
以双圆弧谐波刚轮为例，设计刮齿刀具三维模型.工件参数为：模数m=0.5 mm，齿数z1=102，螺旋角β=0，转速n1=1 000 r/min.刀具參数为：转速n2= 1 522.4 r/min，齿数z2=67，速度v=0.1 mm/r.
刮齿刀具设计流程如图11所示.参照3.1节内容求得前刀面方程；
根据工件参数按照3.2节内容建立齿面方程.设γ=5°，计算得到共轭面坐标点云，并用三次B样条曲面拟合；
根据3.3节内容，设初始中心距a=8.75 mm，改变交点参数Δa = 0.1 mm，Δb = 2 mm，部分交点坐标数据如表3所示.利用式（30）拟合交点即得到切削刃.
将B样条曲线拟合后的切削刃点云导入CAD软件中构建刮齿刀齿面，通过曲面缝合构建单齿模型，将单齿实体阵列获得刮齿刀具实体模型，如图12 所示.
5刮齿刀具齿廓误差分析
在《圆柱齿轮精度制第1部分：轮齿同侧齿面偏差的定义和允许值》（GB/T 10095.1—2008）中，将渐开线齿廓误差定义为实际齿廓偏离设计齿廓的量，该量在端平面内且垂直于渐开线齿廓的方向.区别于渐开线，双圆弧齿廓刀具齿廓偏差Δf可看作齿廓对应点在其半径方向与偏移齿廓的距离.图13为齿廓误差示意图.图13（b）中刮齿刀具剖面I-I端面齿廓对应图13（a）中标准齿廓a，II-II端面齿廓对应标准齿廓b.齿廓b为齿廓a的变位齿廓，标准齿廓凸圆弧段点坐标为（x1，y1），对应齿廓b上坐标（x2，y2），圆心Oa2对应坐标（xoa2，yoa2）.以凸圆弧段为例，将齿廓b绕圆心Oa2逆时针旋转Δθ得到齿廓3.在双圆弧齿廓中忽略长度较小的公切线段，根据位置转换关系可知，对应弧长s的点齿廓偏差Δf如式（32）所示，其中Δθ可根据B1、B2和圆心Oa1的坐标求得.
在实际齿廓中，由于前后角的存在，刮齿刀具切削刃上任意点对应端面齿廓变位量Δa不同，其关系如式（33）所示，其中Δl为弧长s对应点与齿廓顶点的垂直距离.将刀具刃磨参数代入齿廓误差计算公式，可得切削刃上任意点齿廓偏差如图14所示.刮齿刀具侧刃齿廓偏差随弧长s的增大而增大，最大齿廓偏差约为3μm.
Δa=Δl tan αetan γe（33）
改变顶刃后角和前角，取侧刃最大误差值对应点计算前后角对齿廓最大误差的影响，如图15所示.由图15可知，最大误差随前后角增大而增大，在对应范围内，最大齿廓误差小于15 μm.在实际切削过程中，虽然较小的前角和后角能有效降低齿廓误差，但也会影响切削效率和刀具寿命.
6结论
1）提出一种谐波齿轮新型加工方法，根据曲面展成原理，通过改变传统加工刀具切削刃与切削的作用位置，设计加工精度和效率更高的刮齿刀具加工谐波刚轮，优化了其加工工艺.
2）根据谐波传动特性求解并拟合刚轮齿廓；
由啮合原理和刮齿刀结构特点构建坐标系，求解并拟合共轭面和前刀面模型；
将前刀面与共轭面求交并拟合获取切削刃数据，导入CAD软件建立刮齿刀具数学模型.
3）该双圆弧齿廓刮齿刀具设计及对应齿廓误差计算方法，具有一定的通用性，进一步完善了刮齿刀具设计理论，可为其他双圆弧齿廓齿轮加工刀具设计、误差分析及修形等提供参考.
参考文献
[1]辛洪兵.双圆弧谐波齿轮传动基本齿廓设计[J].中国机械工程，2011，22（6）：656-662.
XIN H B. Design for basic rack of harmonic drive with doublecircular-arc tooth profile [J]. China Mechanical Engineering，2011，22（6）：656-662.（In Chinese）
[2]董惠敏，董博，王德伦，等.基于瞬心线的谐波传动双圆弧齿形设计方法[J].华中科技大学学报（自然科学版），2020，48 （4）：55-60.
DONG H M，DONG B，WANG D L，et al. Double circular arc tooth profile design method of harmonic drives based on centrodes[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology （Natural Science Edition），2020，48（4）：55 - 60. （In Chinese）
[3]王仕璞，宋朝省，朱才朝，等.正前角双圆弧谐波传动柔轮滚刀设计与齿形误差分析[J].西安交通大学学报，2021，55（1）：127-135.
WANG S P，SONG C S，ZHU C C，et al. Design and tooth profile error analysis of double-circular-arc harmonic flexspline hob with positive rake angle [J]. Journal of Xi"an Jiaotong University，2021，55⑴：127-135. （In Chinese）
[4]王家序，周祥祥，李俊阳，等.公切线式双圆弧齿廓谐波齿轮传动设计[J].湖南大学学报（自然科学版），2016，43（2）：56-63.
WANG J X，ZHOU X X，LI J Y，et al. Design of double-circulararc and common tangent tooth profile of harmonic drive[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2016，43（2）：56-63 （In Chinese）
[5]YOSHINO H，SHAO M，ISHIBASHI A. Design and manufacture of pinion cutters for finishing gears with an arbitrary profile[J]. JSME International Journal，1992，35（2）：313-319.
[6]TSAI C Y Mathematical model for design and analysis of power skiving tool for involute gear cutting[J] Mechanism and Machine Theory，2016，101：195-208.
[7]賈康，郑帅，郭俊康，等.一种刮削加工切削齿刃形计算与加工运动仿真方法[J].机械工程学报，2019，55（1）：216-224.
JIA K，ZHENG S，GUO J K，et al. A method of cutter profile identification and machining motion simulation for skiving[J]. Journal of Mechanical Engineering，2019，55（1）：216-224 （In Chinese）
[8]CHEN X C，LI J，LOU B C. A study on the design of error-free spur slice cutter[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2013，68（1/2/3/4）：727-738.
[9]GUO Z，MAO S M，LIANG H Y，et al. Research and improvement of the cutting performance of skiving tool[J]. Mechanism and Machine Theory，2018，120：302-313.
[10] CHEN X X，LIU Y S，XING J Z，et al. The parametric design of double-circular-arc tooth profile and its influence on the functional backlash of harmonic drive[J]. Mechanism and Machine Theory，2014，73：1-24.
[11]李佳，娄本超，陈新春.基于自由曲面的剐齿刀结构设计[J].机械工程学报，2014，50（17）：157-164.
LI J，LOU B C，CHEN X C. Structural design of slice cutter based on free-form surface[J]. Journal of Mechanical Engineering，2014，50（17）：157-164. （In Chinese）
[12]马恩旭.车齿刀结构设计和车齿加工误差分析[D].重庆：重庆大学，2016：29-39.
MA E X Structure design of skiving cutter and error analysis of skiving processing [D]. Chongqing：Chongqing University，2016：29-39 （In Chinese）
[13]陈兵奎，高艳娥，梁栋.共轭曲线齿轮齿面的构建[J].机械工程学报，2014，50（3）：18-24.
CHEN B K，GAO Y E，LIANG D. Tooth profile generation of conjugate-curve gears [J]. Journal of Mechanical Engineering，2014，50（3）：18-24. （In Chinese）
[14]王磊，杨彬，张其林.非均匀有理B样条曲面形状优化方法[J].湖南大学学报（自然科学版），2012，39（7）：14-19.
WANG L，YANG B，ZHANG Q L. Shape optimization of nonuniform rational B-spline surface[J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2012，39（7）：14-19. （In Chinese）
[15] JIA Z Y，SONG D N，MA J W，et al. A NURBS interpolator with constant speed at feedrate-sensitive regions under drive and contour-error constraints[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2017，116：1-17