唐 军 信 毅 申 威 章成广 许 巍
（1.长江大学地球物理与石油资源学院，湖北 武汉 430100；
2.中国石油塔里木油田公司，新疆 库尔勒 841000）
电阻率各向异性指地层水平电阻率与垂直电阻率存在差异［1］，主要有3种研究方法。第1种方法是通过测井响应反演或间接计算得到地层的各向异性等岩石物理性质参数，其中各向异性的理论研究是前提。J.D.Klein等［2⁃3］证实了普通电阻率以及感应测井的各向异性后，一些学者在各向异性数值模拟方法上进行了大量的探索与研究：汪宏年等［4］应用模式匹配算法考察了井眼倾角、地层各向异性等对普通电阻率测井曲线的影响；
吴小平等［5］利用共轭梯度迭代技术提高了直流电阻率计算速度；
张烨等［6］采用有限体积算法实现了倾斜地层界面各向异性的电测井数值模拟实验；
范宜仁等［7］利用基于赫兹矢量位函数方法，分析了地层厚度、各向异性系数、井斜角度等对双感应测井响应的影响规律；
朱姣等［8］利用非结构谱元法实现了任意各向异性介质直流电阻率计算方法。第2种方法是依据实验与实际测井分析，总结地层电阻率各向异性的影响规律。一般认为视电阻率随地层倾角增大而增大，当薄互层的砂泥岩单层厚度小于测井仪器纵向分辨率时，视电阻率与各向异性地层一致［4］。袁超等［9］通过缩小比例的阵列侧向测量实验认为，倾角相同时，相邻两个地层电阻率比值越大，阵列侧向电阻率数值变化也越大；
范宜仁等［7，10］研究认为当井斜角小于30°时，双感应测井主要反映地层水平电导率，丧失了各向异性的识别能力。第3种方法是反演地质应用，主要集中在如何获得地层真电阻率上：赵江青等［11⁃12］研究了砂岩及薄互层电阻率测井的各向异性校正实验方法；
陈冬等［13⁃14］研究了如何在水平井中进行地层各向异性校正；
葛新民等［15］研究由裂缝引起的各向异性对深浅侧向电阻率的影响，主要讨论了物理实验尺度匹配问题。
前人的研究成果虽然对储层电阻率研究及应用提供了一些依据，但均未讨论正演模型的准确度问题，也没有进一步分析地层倾角、各向异性等因素校正之后地层电阻率对储层油气饱和度的影响［9⁃11］。本文首先设计了2种物理实验方法，通过开展不同倾角和微观各向异性岩心电阻率物理与数值模拟实验，考察物理实验方法的可行性与数值模拟方法的可靠性，并在此基础上分析地层倾角、各向异性对视电阻率的影响规律，形成与实验结果相关性高的电阻率校正公式，同时分析孔隙结构系数的变化规律，开展地层倾角、各向异性对储层含油气饱和度的影响规律研究，最后以1口实际井的饱和度计算为例，说明电阻率各向异性校正与孔隙结构系数的匹配问题。
1.1 物理实验方案
采用赵江青等［11］的测量方法开展地层倾角和各向异性参数与电阻率的关系实验。选取库车河露头剖面白垩系纹层明显的3个砂岩段［16］，并按等间距采集，岩石样品的长×宽×高为200 mm×200 mm×200 mm。
为模拟地层倾角变化（图1（a））对地层视电阻率的影响，设计了2种实验方案。
（1）“岩样倒边”方式：先选择标准长方形的岩心进行测量，然后研磨掉部分岩石，使之与端面成不同角度（图1（b）；
（2）“一点多采”方式：在野外采集点处就以不同纹层倾角进行采集，然后在实验室直接进行测量（图1（c））。
图1 岩样角度模拟示意及实验方案Fig. 1 Schematic diagram of rock samples dips modeling and experiment scheme
1.2 物理实验测量
在测量电阻率之前需要对岩心进行加工整形、烘干和饱和等工作。根据该地区地层水资料，配制矿化度为180 g/L的NaCl型盐水，15 ℃时，电阻率为0.059 Ω·m，密度为1.131 4 g/cm3；
将待测岩样抽真空5 h以上，再加压饱和12 h以上，让岩心充分吸水饱和，直到岩心质量不再变化为止，确保岩心饱和盐水；
然后取出岩心、记录岩心的平均规格尺寸和饱和水质量，存放于盛有饱和溶液的容器中，以备电阻率测量。
物理实验测量分为2个阶段。
第1阶段：岩样电阻率各向异性测量，分x、y、z等3个方向测量饱和岩样的电阻率，将其分别记录为垂直层理面电阻率与平行层理方向电阻率；
第2阶段：地层倾角与电阻率关系测量，以x方向（层理面方向）作为水平地层，切割岩石的两端，使左右两个端面平行，并与x方向成一定角度，要求切割面平整，测量并记录电阻率。
物理实验采用的ZL5型智能LCR电阻测量仪使用交流电，环境、岩心尺寸、饱和水矿化度以及加持力的变化等都会影响电阻率测量［17⁃18］，所以在测量中保持了上述实验条件的一致性。
为了方便对岩石的电阻率各向异性特征进行描述，本文引入各向异性系数，该值为当岩样层理面与样品边界都呈水平方向时，测量得到垂直方向电阻率与水平方向电阻率比值的平方根，即
式中：λ——电阻率各向异性系数；
Rtz——垂直方向电阻率，Ω·m；
Rtx——水平方向电阻率，Ω·m。
2.1 模拟方案
“二电极”法电阻率模拟的是上述岩心实验的二电极测量方式。如果岩心是各向同性的，或者岩心各向异性主轴与电流方向呈0°或90°夹角，则二电极法测量时，岩石内的电场是匀强电场，电流场分布可以用解析计算，无需使用有限元数值方法。如果岩心各向异性主轴与电流方向不是呈0°或90°夹角，则岩心中电流线是弯曲的（图2），即需要有限元法求解拉普拉斯方程。
图2 二电极法测量电阻率示意Fig. 2 Schematic diagram of two-electrode measuring resistivity
求解思路：首先确定岩心电阻率矩阵与其电阻率各向异性系数和纹层倾角的关系，并将电场满足的微分方程转化为变分问题；
然后进行几何模型离散化，即网格剖分，将变分问题转化为一个关于网格节点电势值的复线性方程组；
最后将复线性方程组转化为实线性方程组进行求解。
2.2 模拟计算
依照电学理论，对于低频交流电，其电流场近似满足稳恒电流场方程，即
式中：△——拉普拉斯算子；
[σ]——电导率单位矩阵；
i——虚数单位；
ω——交流电角频率，rad/s；
ε0——真空介电常数，F/m；
εr——岩石相对介电常数，令其为1；
I——三阶单位矩阵；
u——电势分布函数。
将该微分方程转化成变分问题，公式为
式（3）是一个泛函数，其形式是关于求解区域Ω的积分值。
本文采用四面体结构进行剖分［19］，将岩心的几何模型分割为若干四面体单元组成的离散区域（图3，单元数532 108，节点数92 834）。
图3 四面体结构网格剖分Fig. 3 Tetrahedral structure grids division
用四面体基函数等对每个单元进行插值，将变分问题转化为一个关于网格节点电势值的复线性方程组。然后将复线性方程组转化为实线性方程组，并以十字链表［20］的形式存储实线性方程组，再用求解线性方程组的算法求解方程，从而得到各节点的电势值。
3.1 实验可靠性
实验的测量结果表明，泥质含量与电阻率无明显关系（图4（a）），但随泥质含量升高，各向异性系数有整体增大的趋势（图4（b））；
随着孔隙度变大，不管是垂直方向电阻率，还是水平方向电阻率，都会降低（图4（c）），但垂直方向电阻率值比水平方向电阻率值要大；
本次实验样品的各向异性系数大多为1.0～1.4，孔隙度对各向异性系数影响较小（图4（d））。
图4 电阻率、电阻率各向异性系数与孔隙度、φ(泥质)的关系Fig. 4 Relationship of resistivity and resistivity anisotropy coefficient vs. porosity and φ(argillaceous)
3.2 数值模拟可靠性
在进行地层倾角、各向异性与电阻率关系测量实验时发现，采用“岩样倒边”方式测量的实验影响趋势与吴意明等［21］的研究结果一致，即随着地层倾角的增大，电阻率逐渐升高；
采用“一点多采”方式测量的电阻率与地层倾角没有关系。
本次物理实验中均采用“岩样倒边”的方式模拟地层倾角对视电阻率的影响。如图5所示，当各向异性系数为1.3时，数值模拟与物理实验的电阻率变化趋势一致性较好，两者平均相对误差为7.27%，说明本次数值模拟的方法是可行的。物理实验过程中，当地层倾角大于50°时，“岩样倒边”方式无法加工，因此使用地层倾角小于50°的实验测量点作为对比数据。
图5 数值模拟、物理实验测量的地层倾角与电阻率关系Fig. 5 Relationship of formation dip measured by numerical simulation and physical experiment vs. resistivity
J.H.Moran和S.Gianzero建立的模型中考虑到地层倾角对测井电阻率的影响［22］，对于无限厚的横向各向异性地层，其理想电位电极系视电阻率计算公式（简称M⁃G公式）为
式中：Ra——实测电阻率，Ω·m；
Rm——各向异性地层的平均电阻率，Ω·m；
Rh——水平方向地层电阻率，Ω·m；
θ ——地层倾角，（°）。
利用式（4）在新疆地区应用时发现，电阻率校正存在不足，导致基于电法的饱和度评价存在一定偏差。
4.1 地层倾角及各向异性与岩石电阻率的实验关系
图6给出了基于M⁃G公式的地层各向异性、地层倾角对视电阻率的关系曲线，可以看出随地层倾角增大各向异性增大，整体上电阻率数值增加。
图6 不同各向异性系数下地层倾角与电阻率关系Fig. 6 Relationship of formation dip and resistivity with different anisotropy coefficients
本次数值模拟实验的结果大体与M⁃G公式变化趋势一致，即当地层倾角小于10°时，数值模拟实验与M⁃G公式计算结果相同；
当地层倾角变大时，本次实验的电阻率增大量明显高于M⁃G公式计算的结果（图7）。这是因为M⁃G公式是一个线性公式，没有从微观角度考虑各向异性对电流的影响。因此，M⁃G公式并不适合低孔砂岩地层的电阻率校正。经过计算，当地层倾角为20°时，各向异性1.3的电阻率比水平时增大了6.23%；
各向异性1.4的电阻率比水平时增大了7.95%，都超过了5%。所以，考虑实际地层各向异性数在1.3附近，当地层倾角大于20°时，电阻率就应当校正。
图7 本文数值模拟与M⁃G公式计算电阻率对比Fig. 7 Comparison of resistivity by numerical simulation and M-G formula calculation
4.2 倾斜砂岩地层电阻率的校正
M⁃G公式反映的各向异性系数、倾角对地层视电阻率的影响规律与本次实验结果是一致的，其差别在于M⁃G公式校正量不够，所以，需要通过建立测量电阻率与M⁃G公式计算电阻率两者之间的关系式（图7、图8），其表达式为
图8 实测电阻率与M-G公式计算电阻率的关系Fig. 8 Relationship between measured resistivity and M-G formula calculated resistivity
式中 R"a——校正后的电阻率，Ω·m。
将式（5）代入式（4），得到
式（6）是对M⁃G公式的一个完善，主要弥补了当水平状态下地层各向异性大于1.3时，电阻率校正的不足。所以，该公式适用于砂泥岩分层明显、孔隙分布相对比较均匀的地层，且各向异性系数为1.0～1.6。
利用校正公式（6）对新疆克深地区某井6 790～6 820 m深度段的地层电阻率进行了校正处理（图9）。
图9 校正前后电阻率对比Fig. 9 Comparison of resistivity before and after correction
该井段的地层倾角为30°～40°，各向异性系数利用斯伦贝谢公司的RtScanner测井数据获取，校正后的电阻率与测量电阻率差值为2.2～9.7 Ω·m，平均为6.5 Ω·m，这对于平均电阻率为10～30 Ω·m的地层而言，显然这个校正是非常必要的，且可设置成对数坐标，加大两者的差异。
4.3 电阻率校正对饱和度的影响
分析地层各向异性、倾角对电阻率的影响，是为了提高不同地层条件下的饱和度的计算精度，为油气勘探提供技术支持。
根据阿尔奇公式［23］，可以推导出孔隙结构系数的计算式
式中：m——孔隙结构系数；
R——地层电阻率，Ω·m；
Rw——地层水电阻率，Ω·m；
ϕ——孔隙度，%。
利用式（7）可以计算出任意方向的孔隙结构系数m与水平方向的孔隙结构系数mx，然后根据本次实验测量结果，建立两者的转换关系，即可以将不同地层的岩电参数（或胶结指数）校正到地层水平时的值。
图10横坐标是地层倾角，纵坐标是任意角度的孔隙结构系数与水平时孔隙结构系数的比值。从图10中可以看出，随着地层倾角的增大，孔隙结构系数也逐渐变大，因水平孔隙结构系数mx不变，所以该图也表示m随地层倾角变大而变大；
在相同地层倾角的情况下，孔隙度越大，则孔隙结构系数越大。所以，在具体应用过程中，需按照孔隙度大小分类建立地层倾角与孔隙结构系数的关系。
图10 孔隙结构系数随地层倾角的变化Fig. 10 Variation of pore structure coefficient with formation dip
采用阿尔奇公式计算地层饱和度时，重点井的孔隙结构系数是通过井中取心实验得到的。具体应用在新疆某井深层砂岩地层中，该井地层倾角为30°～40°，各向异性系数为1.1～1.6，电阻率校正后与校正前相差了2.2～9.7 Ω·m（图9），图9中第6道是地层各向异性校正前后含水饱和度对比，该井段生产测试日产气31 062 m3，日产水75 m3。未校正的初始计算含水饱和度（Sw0）曲线反映的含气饱和度偏高，而仅电阻率校正后计算的含水饱和度（Sw1）、电阻率和岩电参数均校正到水平方向下的含水饱和度（Sw2）与测试结果更吻合。从图9第6道还可以发现，整体上Sw1最大（偏左），Sw0最小（偏右），Sw2居中，表明在实际处理高陡地层时，不能仅对电阻率进行水平校正，同时岩电参数也要进行校正。这进一步证实利用斜井、水平井求饱和度不能直接套用直井计算饱和度的方法。
（1）天然岩石组分、结构的微观差异很大，“岩样倒边”方式比“一点多采”方式更适合进行地层倾角电阻率物理测量实验；
统计岩样测量结果发现，孔隙度变大，电阻率降低，泥质含量升高，各向异性系数增大；
本次采用的“二极法”有限元数值模拟与物理实验平均相对误差为7.27%。
（2）当地层倾角大于20°时，各向异性1.3的电阻率比水平时增大了6.23%；
各向异性1.4的电阻率比水平时增大了7.95%，均超过了5%，M⁃G公式不完全适用于深部砂岩地层的倾角、各向异性电阻率校正，需要重新建立考虑各向异性、倾角的电阻率校正公式。
（3）随着地层倾角的增大，孔隙结构系数逐渐变大，相同地层倾角下，孔隙度越大，孔隙结构系数越大；
在利用电阻率求取饱和度时，需按照孔隙度大小分类建立地层倾角与孔隙结构系数的关系；
斜井、水平井下求饱和度不能直接套用直井中求取饱和度的公式，即当电阻率进行了各向异性、倾角校正时，岩电参数也要进行校正，只有将地层电阻率、岩电参数统一到水平地层条件下，才能进行多井的对比分析。