王 煜，徐 彦，安仲文，方 伟，王 亮, 江 琳
(1.中国铁道科学研究院集团有限公司 电子计算技术研究所, 北京 100081；
2.中国国家铁路集团有限公司 客运部，北京 100844)
旅客需求在不同乘车区间差异明显，导致有的区间票额早早售罄，而有的区间仍有余票。铁路管理人员一般通过调整票额分配去解决上述问题。票额分配在理论界早已硕果累累。比如文献[1]最早通过将不同等级的车厢视为不同列车产品，将列车票额分配问题转化为一个单列车、多区段、单一票价的席位控制问题。文献[2]采取时间序列对客流进行预测，在此基础上通过先长途后短途、先有座后无座、先按数量预分再按比例预分等规则的制定形成票额预分方法。文献[3]综合考虑票额裂解因素、票额保护因素和客流培养因素，建立站间票额数量调配模型，以站间的票额分配裂解票额时使用的长途票额最少为目标函数，建立席位占用优化模型。文献[4]研究了通售席位下的旅客列车票额分配方法。文献[5]基于改进的logit模型提出客流分配算法流程，探讨基于客流分配技术的铁路票额分配方法。
但票额分配只是权宜之计，并不能明确适应旅客的乘车需求，调整后的票额有可能无法售出从而造成损失。因此，2018年12月27日，国铁集团正式推出了候补购票功能，在运输资源紧张的区段，旅客如遇所需车次、席别无票时，可按日期、车次、席别提交购票需求，并预付票款，如该线路有退票、余票，12306系统将自动购票。候补购票功能的出现，在一定程度上缓解旅客抢票难的问题。首先，它有望解决售票平台和旅客之间诉求不对称的问题。以往，会出现有退票无人买、有人买无退票的情况。“候补购票”功能可以及时、有效地将旅客诉求与余票信息配对。其次，“候补购票”功能可以自动为候补旅客购票，有效打击抢票软件。
为了兑现旅客提交的候补购票的需求，需要使用现有的剩余票额去兑现，旅客提交的候补购票订单对应的乘车区间有长有短，如果兑现候补购票订单就会将完整的票额裂解，导致“长票短卖”[6-7]，有可能造成列车运输资源的浪费，导致列车整体收益的降低。另一方面，如果不兑现候补购票订单剩余票额也存在着始终卖不出去的可能，最终反而带来了更大的损失，候补购票功能也失去了推出的意义。所以，候补购票兑现问题优化的目标为：通过对候补购票订单兑现决策的优化，实现在不降低列车整体收益的前提下，尽量满足更多的候补购票兑现需求。
目前候补购票功能还处在探索研究阶段，在实际运营过程中主要依靠人为经验设定“兑现策略”来决定是否对候补购票订单进行兑现，客观性不足；
且无法保证兑现候补购票订单后不影响列车整体收益。关于候补购票算法和规则的理论研究文献较少，可直接参考更为有限。本文定义候补购票兑现问题为：不因为兑现候补购票订单而降低列车当前时刻整体收益约束下尽可能的兑现更多的候补购票订单，且不会造成新的无票区间出现，从而满足更多无票区间旅客出行需求。候补购票兑现符合帕累托改进，是对现有售票功能的一种补充，是在中国国家铁路集团有限公司收益和旅客出行需求间寻求的一个平衡，对于中国国家铁路集团有限公司与旅客都有积极意义。基于以上考虑，本文研究面向中国国家铁路集团有限公司与旅客双赢的铁路候补购票兑现模型和方法，这不仅可以推动中国国家铁路集团有限公司进一步扩大候补购票范围，同时使旅客切实因候补购票功能获得便利。
本文研究的问题可以概括为：在预售期内选择几个兑现时间点，在每个兑现时间点，以不降低列车整体期望收益[8]为约束条件，以兑现候补购票订单数量最大化为目标函数构建铁路候补购票兑现问题优化模型并求解。为进一步抽象和简化问题，在参考实际运营情况的基础上，进行如下解释及假设：
(1)不考虑退票、改签等因素。
(2)假设旅客到达后一定会购票，即旅客的达到概率等同于旅客的需求概率。
(3)目前在进入通售阶段后，所有候补购票订单自动兑现，因而本文研究通售之前的候补购票兑现优化模型。
(4)在兑现候补票订单时，如果现有余票正好能够兑现订单，则直接兑现；
否则只从始发终到区间中选择票额兑现候补购票订单。始发终到票额数大于需求。
(5)非始发终到票额主要为满足该区段正常旅客购票需求，不兑现候补购票订单。
(6)以二等座为研究对象。
主要参数及其含义见表1。
表1 主要参数及含义
2.1 旅客需求概率函数拟合
根据文献[9-10]，x为od(r,s)的客流需求，且服从参数λ的独立泊松分布。则od(r,s)客流需求概率密度函数为
(1)
λ是未知的，一般通过样本均值去估计，由于严重依赖样本的选择范围，此种方法对于部分od(r,s)误差较大。当开始兑现候补购票订单时，od(r,s)如果已售出的票额较多，我们有理由相信旅客的需求在变大，相反如果售出的票额较少，则可能意味着旅客需求变少。即随着预售期内售票数量的变化，需要实时修正λ的值，下面将利用贝叶斯公式，通过在每个兑现时刻已售出的票额数量动态修正λ的值，获得基于已售出票额数量条件下的更为准确的旅客需求概率分布(后验分布)。根据文献[10]，λ服从参数为(b,a)的Gamma分布。则λ的概率密度函数为
(2)
可以通过λ的均值μ和方差σ2估计参数(b,a)
(3)
(4)
设事件A(t)表示在时间t内旅客需求数量，则时间t内售出的票额数量m的概率为
(5)
(6)
λ服从参数为(b+n,a+t)的Gamma分布。在得到λ的后验密度概率函数基础上，在时间T-t内售出z张票的概率为
P[A(T-t)=z|A(t)=n]=
(7)
2.2 旅客选择行为
旅客会在不同的列车间选择，影响旅客选择的因素最主要的是票价和旅行时间，选择列车k的效用函数为[11]
(8)
(9)
2.3 候补购票订单兑现收益计算
(10)
(11)
s.t.
(12)
s.t.
(13)
2.4 候补购票兑现问题优化模型
综合上文分析，得到本文的候补购票兑现问题优化模型为
(14)
(15)
0<δ<1j (16) (17) 式(17)代表最后一次兑现时所有剩余始发终到票额都用于兑现候补购票订单。最终，候补购票兑现问题优化模型为 (18) s.t. (19) 根据前面提出的候补购票兑现问题优化模型的特点，设计出图1所示的求解算法，将满足式(18)的所有候补购票订单求出，并兑现。 图1 候补购票兑现具体流程 具体步骤为 Step1初始化，令j=1，i=1。 Step5如果i=I,转Step6。 Step6如果j=J,转Step7。否则令j=j+1，i=1，返回Step2。 Step7结束求解过程，输出所有兑现的候补购票订单。 以D3次列车二等座为例，定员为948人，始发站为北京，终到站为沈阳南。选择开车日期为2020年1月5日。根据现行的售票组织安排，在客流淡季一般开车前24 h进入通售，通售后票额可以随意裂解以满足所有区间旅客乘车需求，此时候补购票兑现失去意义。刚进入预售期前几天购票需求较小，也不适宜安排候补购票的兑现，同时考虑凌晨售票系统停止售票时可以提供充足的计算能力。综上考虑在开车前第1天0点(2020年1月4日0点)进行候补购票兑现，J=1。具体时间关系见图2。 图2 候补购票兑现时间点 根据经验，设置δ=0.2，借鉴文献[9]对参数的估计，得到α1=-0.041，α2=-6.9。预售期为30 d，为方便数据样本统计与计算，将整个预售期以天为单位分成30个单位时间段[6]，每个单位时间为1 d，则T=30,t=28。选择2019年10月10日至2019年12月29日与2020年1月5日同周号日期的旅客发送量数据为样本，一共7个开车日期，每个开车日期具有30个售票日期，一共210个样本，根据式(3)、式(4)估计各区段对应的Gamma密度函数的各项参数，具体结果见表2。 表2 主要区段参数估计 截止2020年1月4日0点时主要OD余票情况和销售情况见表3。 表3 各区段已售出票额数量和余票数量 张 表4 待兑现候补购票订单 对待兑现候补购票订单进行接续拼接后结果见表5。北京至蓟州、蓟州至沈阳，北京至锦州南、锦州南至沈阳分别拼接为2张北京至沈阳候补订单。一共16张待兑现候补订单。 表5 接续拼接后待兑现候补购票订单 按照第3部分候补购票兑现问题优化模型对表5所示的待兑现候补购票订单进行判断兑现，结果见表6。共耗费北京至沈阳南票额(始发终到票额)12张，兑现北京至沈阳区间2张候补订单，北京至盘锦北1张候补订单，北京至锦州南2张候补订单，北京至葫芦岛北5张候补订单进行兑现，共10张候补购票订单，对应12张原始候补购票订单。 表6 候补购票订单兑现结果 经过兑现后的销售情况和余票情况见表7。 表7 经过兑现后各区段售出票额与余票数量 张 最终本文模拟兑现结果与实际发生的兑现候补购票订单结果对比情况见表8。 表8 本文模拟结果与实际兑现结果对比 张 以不进行候补购票订单兑现，仅以表3各区段的余票正常销售为对比方案，在相同客流需求情况下，通过本文候补购票兑现模型判断兑现后期望收益为30 313元，比对比方案增加4.32%。同时，兑现候补购票张数12张，比实际兑现结果多兑现9张。不仅提高铁路运输企业的效益，也满足了更多旅客出行需求，增加旅客“获得感”，扩大候补购票功能的惠及范围和用户影响力，提高了候补购票功能的应用价值，取得了铁路运输企业与旅客出行的双赢。 针对铁路候补购票兑现问题，本文提出考虑中国国家铁路集团有限公司和旅客双赢的票额兑现优化模型和求解算法。首先将候补购票订单接续拼接，使订单尽可能的长，减少兑现计算量。其次，根据已售出票额数量得到旅客购票概率分布函数，同时基于效用函数模拟旅客在不同列车间的选择。最后构建候补购票兑现问题优化模型并求解。最终算例表明：与现行的候补购票功能采用的兑现策略相比，本文提出的优化模型可以确保不降低列车的整体收益[12-13]，不影响中国国家铁路集团有限公司的推行候补购票功能的积极性，且兑现候补购票订单从3张提高到12张，给旅客切实带来了便捷和实惠，扩大了受众范围和用户影响力，实现国铁集团与旅客的“双赢”。 本文提出了一种基于量化方法的计算、比较、判别、求解的候补购票兑现优化模型，弥补了现行主要靠人为经验产生“兑现策略”的不足，为目前还处在探索研究阶段的候补购票功能提出了一种新的尝试思路，降低了优化对象范围、目标函数复杂度，算法迭代、计算过程与目前集群运算能力相匹配，具备进一步实际应用的可能。但本文是在不考虑退票、改签，且票额不再动态调整等假设下进行的，且在进入通售后会陆续有其他用途始发终到票额放出，产生更为复杂的情况，这些都将是下一步的研究方向。
