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关于对偶视角下的锥体定理

时间:2024-01-05 14:15:02 来源:网友投稿

胡正宇,张 诚

(重庆理工大学 数学科学研究中心, 重庆 400054)

代数簇的分类问题是代数几何学研究的核心部分,其主要目标是按照双有理等价分类任意维数的代数簇。要完成上述分类的第一步是要选出给定代数簇等价类中的具有更简单的几何结构的代表元——即极小模型(minimal model)。由Mori、Shokurov、Kawamata、Kollár等建立的关于高维代数簇的极小模型纲领(minimal model program,MMP)就是选出这类代表元的一种技术,即对于给定的代数簇,经过有限步双有理等价收缩(contraction)后最终得到一个极小模型,使得对于原代数簇的研究归结为对极小模型的研究。然而,理论发展的初期遇到了各种困难,其中的难点之一也即运行MMP的前提——证明上述双有理等价收缩映射的存在性——由Kawamata、Shokurov、Reid的一系列工作所解决,这些工作的汇聚即现在的锥体与收缩定理(见文献[1-3];解析的情形可参考文献[4])。锥体定理用曲线锥与典范除子的相交关系来描述极端射线(extremal ray);而收缩定理保证了锥体定理里的那些极端射线都对应一个收缩映射。可以说,锥体和收缩定理正是现代极小模型理论的基点。

近年来,极小模型理论的一个重要进展是Birkar等[5]在假定边界除子为big的前提下证明了极小模型的存在性。其中,典范环的有限生成性是文献[5]的一个重要推论,也是文献[6]的主要结果;之后文献[7]将这一结果推广至R-除子的情形。此外,关于广义偶(generalised pair)的极小模型理论[8]如今已成为一个新的研究热点。文献[9]在一些额外条件下证明了广义偶的锥体与收缩定理,但在一般情况下类似的结果还是未知的。另外,曲线是最初极小模型理论发展过程中主要的研究对象。然而文献[5]的结果大量依赖于Birkar等对除子空间中有理(rational)多面体的研究。这表明相较于曲线,通过研究除子构成的多面体能更高效地理解极小模型理论。自然地,锥体定理需要一个对偶表述。

本研究旨在给出以下形式在锥体定理的一个简洁证明:

定理1设(X,B)是一个对数典范(log canonical,lc)偶(pair),满足[KX+B]∉Nef(X)。B是Nef(X)关于[KX+B]的可见边界。则B的相对内部中的任意一个紧致子集都包含于有限个余一维有理极端面(extremal face)的并。特别地,若A是X上的一个丰富除子,并且ε是一个正实数使得[KX+B+εA]∉Nef(X),则Nef(X)关于[KX+B+εA]的可见边界都包含于有限个余一维有理极端面的并。

定理1是锥体定理的对偶形式,它曾出现在文献[10-11]中,但无详细证明。文献[12]在假设典范环的有限生成性的前提下给出了定理1的证明,且需假定(X,B)是klt偶以及边界除子B是Q-除子。本研究舍弃这些假设,把定理推广到了一般情况。具体来说,本文的结果基于Fujino[13-14]关于lc偶的锥体与收缩定理的工作。

相较于原始的锥体定理,它的对偶形式具有更丰富的几何图像:假设点[KX+B+εA]不含于nef锥里,那么在观测点[KX+B+εA]看到的nef锥就是一个多面体。进一步地,多面体的面的个数会随着观测点向[KX+B]靠近的过程中增加,以至于最终在[KX+B]观察到的面的个数可能是无限的。

本文中的代数簇总是定义在复数域上,所用的基本概念术语同文献[2]。

设X是一个正规射影代数簇。X上的2个R-Cartier除子D、E称为数值等价(numerical equivalent)的,记为D≡E,如果对于X上任意不可约曲线C,D与C的相交数总与E与C的相交数相等,即D·C=E·C。用[D]表示D的数值等价类。X上所有R-Cartier除子的数值等价类构成的有限维实线性空间记为N1(X)。称线性组合c=∑aiCi是X上的一个R-1-链(cycle),其中ai∈R,Ci为X上的不可约曲线。如果对于每个i都有ai≥0,那么c被称为有效(effective)的。2个R-1-链c1、c2称为数值等价的,如果对于任意的R-Cartier除子D都有D·c1=D·c2。记[c]为c的数值等价类。X上的所有R-1-链的数值等价类生成的有限维实线性空间记为N1(X)。通过相交数关系,N1(X)与N1(X)互为对偶空间。

设V是有限维实线性空间。V中的子集C称为一个锥(cone),如果0∈C且对于任意正实数k,都有kC⊆C。一个锥C称为凸(convex)锥,如果对于任意2个元素x,y∈C以及任意t∈[0,1],有

tx+(1-t)y∈C

设V*是V的对偶空间。V中的一个锥C的对偶锥(dual cone)C*定义为:

C*={u∈V*|(u·x)≥0,∀x∈C}

根据定义C*是V*中的一个锥。

设D是正规射影簇X上的一个R-Cartier除子。记

D≥0={c∈N1(X)|D·c≥0}

类似地,可以定义D≤0、D<0、D=0等。进一步地,记

此时把D称为F的一个支撑函数(supporting function)。若D的系数都为有理数,那么F称为有理的。特别地,一个一维的极端面称为一条极端射线。

一个偶(X,B)是指由一个正规射影簇X和一个有效R-除子构成的二元组。本文中主要讨论具有lc奇点的偶。关于lc偶的极小模型理论可参考文献[15]。

设X、Y为代数簇。一个收缩态射(contraction morphism)f∶X→Y是一个满足f*OX=OY的射影态射。特别地,f的纤维(fibers)是连通的。

锥体定理和收缩定理是极小模型理论的2个基本结果,本文中使用lc版本[13-14]。

2) 设A是X上的一个丰富除子。则对于任意正实数ε,存在有限条Ri(i=1,2,…,k)使得

H={[D]∈Nef(X)|D·c=0, ∀c∈F}

则H=f*Nef(Y)是Nef(X)上的一个有理极端面,且H⊂∂Nef(X)。

证明若记

Hi={[D]∈Nef(X)|D·c=0,∀c∈Ri}

那么易知

故不妨假设F=Ri,i∈(1,2,…,k)。

若D为X上的一个R-Cartier除子,使得存在一个[D′]∈Nef(Y)满足D≡f*D′,那么有[D]∈Nef(X)且对于任意c∈F,由收缩定理有

D·c=f*D′·c=D′·f*(c)=0

故[D]∈H。

反之,若[D]∈H,根据收缩定理知存在[D′]∈Nef(Y)使得D≡f*D′,故[D]∈f*Nef(Y)。

最后,由于f是一个非同构的收缩态射,所以若A是Y上的一个丰富除子,那么f*A必不是X上的丰富除子。引理得证。

r=max{t∈R|[A+t(KX+B)]∈Nef(X)}

1)F只包含有限条Ri;

2) [D]∈f*Amp(Y)

证明1) 假设F包含无数条Ri。取一个X上的丰富除子A′以及一个足够小的正实数ε使得D-r(KX+B)-rεA′是丰富的。那么对于任意Ri⊂F,因为D·Ri=0,所以有

(KX+B+εA′)·Ri<0

2) 由1)知F只包含有限条Ri,故由引理1知[D]∈f*Nef(Y)。若存在一个Y上的nef但不丰富的R-除子D′使得D≡f*D′,取一条Y上的曲线C使得D′·C=0。设E是X上的一条满足f*(E)=C的曲线。由于D是F的支撑函数,故有D·E>0。于是

0

这是一个矛盾。故D不可能为Y上的nef但不丰富的R-Cartier除子的拉回,即[D]∈f*Amp(Y)。

定义1设V是一个有限维实线性空间,C是V的一个闭锥。固定一点x∈V,定义C关于x的可见边界为:

B={y∈∂C|[x,y]∩C=y}

其中[x,y]={tx+(1-t)y|t∈[0,1]}。

下面对定理1给予证明。

若[D]包含于某个Hi,由引理1知[D]∈∂Nef(X)。进一步地,对于任意t>0,t(KX+B)+(1-t)D=D+t(KX+B-D)不是nef除子,这表明

[[KX+B],[D]]∩Nef(X)=[D]

故[D]∈B,也即Hi⊆B。反之,对于任意[D]∈B°,有D≡A′+r(KX+B),其中

[A′]∈Amp(X),r=max{t|[A′+t(KX+B)]∈Nef(X)}

则由引理1和引理2知存在某个Hi使得[D]∈Hi。总结上述,有

通过观察曲线锥中的极端射线与除子锥中极端面的对应关系,利用数值几何的方法,给出了对偶锥定理的一个几何化的证明。本文的主要结果仅基于Fujino的锥体与收缩定理,而不需要对奇点和边界除子施加额外限制,对传统的对偶锥定理进行了推广。

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