张汝毅， 王发杰， 程隋福， 刘建政
(青岛大学 机电工程学院， 山东 青岛 266071)
在产品设计和开发过程中，产品的NVH性能是衡量产品竞争力的一项重要指标。声学灵敏度分析是产品NVH性能分析的重要组成部分，可以为产品的优化设计提供方向和依据，降低开发成本。因此，发展声学灵敏度分析[1]的准确高效数值算法和开发相关计算软件平台具有重要的理论价值和实际意义。
本文基于Burton-Miller奇异边界法(BM-SBM)[2-3]，采用MATLAB软件实现声学灵敏度分析的相关代码生成，并对声学灵敏度相关的几个标准算例进行分析测试。BM-SBM引入Burton-Miller公式，采用物理力学问题控制方程的奇异基本解作为插值基函数，可有效解决声学问题计算中出现的虚假特征频率问题，是一种半解析边界型无网格方法。该方法可简化传统有限元法[4]中的网格划分等前处理过程，也无须传统边界元法[5]中的奇异计算，具有数学理论简单、计算精度高、易于数值实现等特点。BM-SBM通过源点强度因子避免基本解的奇异性[6-7]，因此如何有效计算源点强度因子尤为重要。目前，许多学者针对该问题提出不同的解决方案，主要包括反插值技术[8]、加减去奇异技术[9]、经验公式[2,10]等。其中，经验公式是最简单直接的一种方法，具有节省计算成本、提高计算效率的优势。因此，本文采用经验公式计算源点强度因子。
MATLAB具有强大的计算能力，是功能种类丰富的商业软件，在数据分析、算法开发、信息可视化、人机交互等方面应用广泛。MATLAB还内置各类扩展工具箱，如Stateflow、RF Toolbox等，可以使软件应用于不同领域。[11]本文利用MATLAB软件实现BM-SBM声学灵敏度分析代码生成，开发相应的图形用户界面(graphical user interface, GUI)。用户无须进行繁琐的算法理论研究，可直接根据需要输入参数，对各种二维和三维结构进行声学灵敏度分析。该用户界面具有可操作性强、运行可靠和界面友好等特点。
奇异边界法即边界型无网格配点法，通过关于不同源点的基本解的线性组合逼近问题的解。该方法不需要设置虚拟边界，而是将源点和场点重合布置，利用源点强度因子OIFs代替边界奇异点。当边界源点总数为N时，BM-SBM的基本形式为
αiuBM,ii,xi∈Γu,sj∈Γ
(1)
αiqBM,ii,xi∈Γq,sj∈Γ
(2)
(3)
式中：α为待求的未知系数；
λ=i/(k+1)，i为虚数单位；
uBM,ii和qBM,ii为源点强度因子，可以通过经验公式获得；
Γu和Γq为边界Γ上已知边界条件的边界部分；
ns和nx分别为源点sj和边界配点xi处的单位外法向量。
OIFs是BM-SBM算法中的关键，因此准确求解OIFs十分重要。在已有的OIFs有效算法中，经验公式最为简单实用。经验公式可分为二维问题和三维问题2种情况，
(4)
(5)
(6)
(7)
式中：Lj和Aj分别为源点在二维和三维问题中的影响范围(见图1)；
γ为欧拉常数；
S为域的表面积；
二维问题δji=Lj/Li，三维问题δji=Aj/Ai，Li和Ai分别为二维和三维问题场点影响区域的范围；
G0(xi,sj)为拉普拉斯方程的基本解，
(8)
边界条件分为Dirichlet边界和Neumann边界2类，
(9)
(10)
将已知的边界条件代入式(1)和(2)，得
Aα=b
(11)
式中：A为系数矩阵；
α为源点处待求系数向量；
b为已知向量。
(a)二维问题
通过求解式(11)可以得到未知系数向量α。将求解得到的未知系数α代入式(12)和(13)，可求得任一点的值
(12)
(13)
声音在均匀的各向同性介质中的传播，可以通过Helmholtz方程描述，
∇2p(x)+k2p(x)=0,x∈Ω
(14)
式中：∇2为拉普拉斯算子；
k为波数，k=ω/c，ω为角频率，c为空气中的声速。
在Dirichlet边界和Neumann边界条件下，
(15)
(16)
本文的声学灵敏度分析涉及辐射声场，因此有必要为外部声辐射问题引入无穷远条件，即无穷远点上的声压应满足Sommerfeld辐射条件
(17)
式中：r为点x到声场中心的距离；
d为所研究问题的维数，d=2,3。
将已知的边界条件代入式(1)和(2)，求解得到未知系数α，将α代入式(12)和(13)，并对设计变量进行直接求导，即可求得任一点声压关于设计变量的灵敏度值
(18)
(19)
综上所述，利用BM-SBM求解声学灵敏度的分析流程见图2。
图2 BM-SBM求解声学灵敏度的分析流程
3.1 GUI界面的创建
GUI是MATLAB软件附带的工具箱，GUI提供文本框、按键、滑动条、图形窗口等多种控件供用户选择，用户可通过光标拖动编辑各类控件的位置，并通过回调功能自定义其属性和功能，从而设计出所需要的图形界面。GUIDE在用户进行页面设置时自动生成可以运行的.m文件，可以大大简化应用程序的创建过程，用户可以直接在框架中进行代码的编写。
软件的主要操作流程包括初始化、计算工作和结果输出3个过程。使用前单击“帮助”按钮可获取使用信息。在初始化过程中，用户可以进行算例选择和相关参数(如节点个数、设计变量个数、法向振速、声速等)设置，单击“绘制图形”按钮可以将模型在二维或三维坐标系中绘制出来。待所有数据都输入后，单击“计算”按钮可完成计算工作。计算结果以图像方式输出，也可以单击“输出灵敏度数据和输出误差数据”按钮输出文本文件，以查看测试点的具体计算结果。计算完成后点击“复位”按钮可实现软件重置，以重新选择算例和参数。软件界面见图3。
图3 声学灵敏度分析界面
3.2 操作步骤
算例属性模块示意见图4。在算例属性模块中，选择需要计算的算例，并设置好相应的参数，包括算例尺寸、边界节点数、法向振速、声速、空气密度等。若算例为声散射模型，还需设置入射波方向。
图4 算例属性模块示意
计算设置模块示意见图5。在计算设置模块中，选择设计变量并输入设计变量步长，同时设置测试点坐标。若设计变量为波数k，则需要设置波数的取值范围。
图5 计算设置模块示意
在计算结果模块中，单击“计算”按钮，待计算完成后在模块中显示计算时间、实部和虚部最大绝对误差以及实部和虚部全局误差，同时可以根据需要选择导出灵敏度和误差数据。计算结束后进行复位操作，准备下一次运算。
用2个经典的标准算例[12-13]展示本文开发的工具箱具有计算准确、结果直观以及易于操作的特点。对一个复杂的二维车腔模型进行声学灵敏度分析，展示该工具箱在实际工程中的应用。
4.1 二维无限长脉动圆柱声辐射
取空气中声速c=343 m/s，空气密度ρ=1.2 kg/m3，给定波数k的取值范围为0.1≤k≤10.0，步长dk=0.1，测试点坐标取(2,2)。使用BM-SBM对测试点声学灵敏度进行求解，本文开发的工具箱计算结果见图6，部分k值下的相对误差见表1。
(a)实部
表 1 部分k值下的相对误差
由图6和表1可以看出，该算法的计算精度较高，不同k值下得出的计算结果与精确解之间差值很小，相对误差稳定在1%以下，因此认为BM-SBM可以准确求解出二维-无限长脉动圆柱(声辐射)关于波长k的声学灵敏度问题。与此同时，计算过程反映出该工具箱具有操作简单、使用便捷、计算速度快、效率高的特点。
4.2 三维振动球声辐射
(a)实部
图8 三维振动球的声学灵敏度误差
由图7和8可以看出，不同k值下得到的声学灵敏度数值结果与相对应的精确解结果高度一致，可见该工具箱能够精确模拟三维振动球声辐射关于波长k的声学灵敏度问题。
4.3 二维车腔声散射
除对一些特定形状的模型进行分析外，本文开发的工具箱还可以对任意形状物体进行声学灵敏度计算。某车腔模型示意见图9。将二维车腔模型的边界节点信息导入到主程序的根目录下，输入给定参数为初始声压p0=1 Pa，入射波为沿x轴方向pi=p0exp(ikrcosθ)，波数0.1≤k≤10.0，步长dk=0.1，计算外部测试点(4,1)关于波长k的声学灵敏度，结果见图10。
图9 车腔模型示意
(a)实部
建立声学灵敏度分析的Burton-Miller奇异边界法BM-SBM数值离散模型，在不同维度下求解声学灵敏度问题。与传统方法相比，本文方法能够避免复杂的网格划分和奇异积分计算，在简化计算过程的同时保证较高的精度。在MATLAB软件的GUI环境下创建对应的计算工具箱，为声学灵敏度分析提供一种简单高效的数值方法计算平台。该工具箱界面友好、操作简单，不仅可以用于学术研究，还可用于求解实际工程问题。
奇异边界法是一种边界型无网格配点法，所建立的矩阵方程为稠密矩阵。随着计算规模和结构复杂度的增加，本文方法将需要更多的存储空间和计算时间。因此，未来需要对算法进行加速，建立大规模声学灵敏度分析的快速奇异边界法，以优化程序、提高效率。
该用户界面的开发过程完全基于MATLAB软件，其中复杂结构的边界配点借助于三维建模软件SolidWorks和有限元软件HyperMesh实现。用户想要顺利使用，无须深入了解奇异边界法的理论，但可能会用到专业的建模和网格划分软件。如果能够实现建模、节点布置、数值仿真一体化功能，那么会更加方便用户操作，也会提升软件的实用价值。
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