韩旭，王元鑫，程显超，王小飞
(1.解放军91001部队，北京 100036；
2.海军航空大学青岛校区，青岛 266041)
由于无线网络化多传感器融合估计在航空航天、智能交通、工业生产自动控制、无人运载体导航及环境监测等领域的重要应用，国内外学者已经对其产生了广泛的关注和研究[1-5]。然而网络化融合估计在工程背景中受多因素影响不可避免地产生模型的不确定性、随机传输时延和数据包丢失问题，使得融合估计性能受到严重损害。针对存有时延和丢包问题的状态估计器设计问题，学术界已经探究了一些理论成果。Sun 和Ma[6-7]利用将状态矩阵建立增广矩阵的思路，将随机时延和丢包系统转变成无时延系统，并利用射影思想推导出最优估计器，但是增广方法导致高维矩阵的求逆计算，使得计算负担成指数增加。文献[8]讨论集中式融合估计时，对存在传感器增益退化甚至无效、模型不确定性、观测数据时延甚至丢包情况下如何进行融合估计问题进行考虑，并提出2 种不同的鲁棒融合估计算法。文献[9]同时考虑模型不确定性、传感器量测衰减、随机传输时间延迟和丢包，提出一种集中式框架下的融合估计器，该估计器在设计新息模型时利用了当前时刻之前估计值的加权值，表明该方法得到的估计结果要比经典Kalman 方法精确度更高。但是该估计器需要处理不同传感器不同时刻的误差交联，当传感器数量和时延较大时，实时性难以保证。文献[10]提出了一种具有传感器增益退化、随机传输时间延迟和数据包丢失的分布式融合估计器，该估计器虽精度上比集中式结构稍有损失，但计算量得到了有效降低。文献[7-9]在每一个采样周期内，只保留到达估计中心的多个数据包中的一个，进行估计计算，难免造成了信息损失，而文献[11]在集中式框架下，在远程处理中心为所有传感器设置有限长度的存储空间，用来存储延迟到达的数据包，将多随机观测时延和丢包问题转化为多丢包问题，并设计常增益估计器避免了运算量过大的高维矩阵的求逆计算。然而当模型中存在非高斯非白噪声不确定干扰时，该估计器设计方法不再适用；
同时，虽然集中式的估计结构能够使得传感器信息损失最小，但是所有传感器均需要同步执行相同步数的重复递推计算，且集中式结构具有容错率低、可靠性差、工程上难以实现等不利问题。为克服文献[11]所提方法的不足，考虑在分布式框架下，研究具有模型不确定性、随机时延和丢包的网络化融合估计问题。模型的不确定性用系统状态矩阵受到非高斯非白噪声不确定性扰动来描述，受文献[11]的启发本文在远程处理中心设置多个不同长度的存储空间用来存储各个传感器延迟到达的数据包，每一采样周期所有延迟到达的测量数据包按照其时间戳顺序被存储在相应位置，用“到达变量”来刻画数据包的到达情况。与文献[9，11]所设计估计器的方式不同，本文首先为每个传感器分别设计局部常增益估计器，将每个传感器对应的测量值“到达变量”加入新息的设计中，结合系统矩阵中的非高斯非白噪声，设计了一种计算负担小的常增益状态估计器，根据最小方差原则推导出可离线计算的最优局部估计常增益表达式。考虑到局部估计误差交叉协方差受各存储空间长度不同的影响变得计算困难，给出一种基于分布式协方差交叉（covariance intersection,CI）的分布式加权估计方法[12-13]的融合估计器，并推导出使得估计器有界的充分条件。结果表明：可通过调节各个传感器的存储空间长度来协调融合估计精度和计算量之间的关系，具有较强的工程意义。
考虑如下离散不确定线性随机系统：
式中：x k∈Rn为 系统状态，状态初值x0为白噪声，相应 的 均 值 为x¯0，方 差 为P0；
A和Aˆ为 确 定 性 矩 阵；
w k∈Rn为系统噪声，用白噪声描述，统计特性均值为0，噪声协方差矩阵为W。gk为乘性噪声，且其统计特性为
假设采用N个传感器对某系统进行网络化实时状态观测，且第i个传感器的观测方程考虑为
不失一般性，对系统做以下假设：
假设1对于任意给定的i、j和k，x0、gk、w k和两两互不相关。
如图1 所示，k时刻第i个传感器将测量值封装于数据包中，数据包经无线信道向远程处理中心传输。由于网络不稳定或带宽资源不足等问题，数据包在到达处理中心前会发生时间延迟和丢包，而其随机性导致处理中心可能会出现未接收到数据包或同一采样周期接收到多个不同时刻的数据包。在处理中心设置N个不同长度的存储空间用来存储N个传感器发出的数据，每个存储空间的长度是有所限制的。第i个存储空间将到达处理中心的第i个传感器发出的数据包依照其时间戳标定顺序进行储存。
图1 网络化分布式多传感器融合估计系统架构Fig.1 Architecture of networked distributed multi-sensor fusion estimation system
假设储存空间是无限长度的，数据包储存过程如图2 所示。
图2 无限长度存储空间存储过程Fig.2 Stored procedure of space with unlimited length
k时刻为当前时刻，k之前各时刻对应的测量值被存储的过程可用“到达变量”描 述：=1表示测量值在k时刻或k时刻之前达到处理中心并被存储；
反之，=0表 示在k时刻或k时刻之前未到达处理中心。若在某一采样周期未到达处理中心，则将第i个存储空间中与相对应的存储值置为0，此时第i个存储空间中的测量值可表示为
式中：t≥0，∈[0,1]用 以表示h个采样周期前的数据包到达处理中心的概率，可得
记第i个传感器对应的最大时延值为，则可得
由存储过程描述可知，在k时刻已经到达处理中心的数据包，按照时间戳恢复了被传输前的正常顺序，未到达处理中心的数据包则视为在k时刻暂时丢失。
基于式（1）～式（3）设计局部估计器。文献[11]利用标准Kalman 滤波方法，要求系统矩阵是确定的，且系统噪声服从白噪声统计特性。所考虑系统矩阵中存在乘性随机噪声gk，使得每一时刻系统矩阵不再是确定的，并且未假设gk是白噪声，所以文献[11]估计器设计方法不再适用。与文献[9]不同的是，在设计估计新息时利用到达变量。综上，采用如下估计器形式：
从节省储存资源和提高实时性角度出发，设定第i个存储空间长度有限且长度为M i。如图3 所示，存储空间只存储k时刻之前（包含k时刻）的M i个测量值，默认时间戳为k−M i时刻之前（不包括k−Mi时刻）的数据包到达估计中心后被自动剔除，即视为丢包。当k更新时，新的M i个存储值会顺次逐一覆盖掉原来的存储值。
图3 有限长度存储空间存储过程Fig.3 Stored procedure of space with limited length
通过定理1 给出存储空间长度为M i时局部估计器递推初值的调整方法。
定理 1基于长度为M i的 存储空间，对任意的t≥1和k≥t+Mi，有
至此，要解决的问题是：
设在k时刻局部估计误差协方差矩阵为局部估计误差交叉协方差为文献[14-16]中最优矩阵加权融合估计方法需要得到，然而由式（14）和式（16）可知，的计算包含重复递推计算，且递推步数与各个存储空间的长度有关，因此，获取是极复杂的，并且文献[14-16]所用矩阵加权方法需要进行高维矩阵的求逆计算，计算负担随着传感器数量的增多成指数增长。为避免计算和高维矩阵的求逆计算，选取文献[12-13]所用的CI 矩阵分布式加权方法得到融合估计值。由CI 加权方法可知，加权矩阵为
U k的递推式为
为得到主要结论，先给出引理1 如下。
引理 1如果矩阵均是稳定矩阵，则对于任意初值U0≥0， 式（19）的解U k均能够收敛至唯一的半正定阵，为代数Lyapunov 方程式（20）的解。
证明定义：
式中：
⊗为张量积。
为引出主要结论，给出定理2。
定理 2存在矩阵使得成立的充分必要条件是，对于任意初值能收敛到，即
为方便本定理及后续定理的证明，给出如下引理。
L(λi,K i,P i)V i＆gt;0 ¯S＆gt;0
引理 2对于算子 ，假设 ， ，则有如下结论成立：
引理 3H(X)为 单调增函数，记X k+1=L(X k)，Y k+1=L(Y k)，则有
引理 4定义如下算子：
引理2～5 的证明过程类似于文献[17]中相关引理的证明，这里不再赘述。
证明过程类似于文献[11]，这里不再赘述。
定理5 表明，M i越 大，稳态估计精度越高，这是因为M i越大，越多的有效信息会被存储。因此，可通过增大存储空间长度来提高估计器精度。当+1时 ，增大M i不会增加更多的有效信息，对精度没有提高作用，这表明估计器的精度受到最大时延的影响。不能忽略的是，M i增大时将导致重复迭代计算量进一步增加。与文献[11]不同的是，所提方法可对每个传感器对应的存储空间长度进行单独设定，可通过协调各个存储空间的长度M i来平衡融合估计器精度和计算量之间的关系，具有更强的选择灵活性。
这里需要说明的是，相比于文献[11]所提方法，通过CI 分布式加权方法将集中式计算转化为并行的分布式计算，使得传感器之间最优局部估计器的计算互不影响，避免文献[11]中所有传感器均需要同步进行相同步长的递推计算，因而降低了计算负担，增强了容错性。最优常增益的推导也不再利用文献[11]中标准Kalman 滤波方法，能够有效处理系统矩阵中的非高斯非白噪声干扰。
对由3 个传感器观测的某不间断电源系统进行算例仿真[6]，系统矩阵观测矩阵系统噪声w k=观测噪声均为均值为0 的白噪声且相互独立，其协方差均为1。设乘性噪声gk在区间Dg=[−0.3,0.3]取值时概率上满足均匀分布统计规律，Dg表 示区间。系统初始状态值x0的3 个状态分量服从正态分布规律，且均值为0 方差为1，状态估计值初始取为传感器对应的存储空间长度均为M=4，各传感器对应的信道最大时延为=5， 各时延率为=0.12，为验证所提方法的有效性，本文进行200 次Monte Carlo 仿真计算，得到的分布式融合估计值和3 个传感器观测系统的局部最优估计值的实验结果如图4 所示。5 条曲线依次表示系统状态真值 、融x k合估计值、局部最优估计值和。根据图4的仿真结果，分布式融合估计值和局部估计值均能够较好地跟踪系统状态真值。如图5 所示为分布式终端融合估计和3 个传感器局部估计的估计误差均方差（MSE）仿真结果，根据图5 的仿真结果，基于CI 方法的融合估计值其误差均方差小于每一个局部估计值的误差均方差，符合式（16）。
图4 估计值跟踪系统真值情况Fig.4 True value of tracking system of estimated value
图5 估计误差均方差对比Fig.5 Comparison of estimated error variances
为分析模型不确定性的大小对估计精度的影响程度，本文仿真得到乘性噪声gk分别在区间Dg=[−0.1,0.1]、Dg=[−0.3,0.3]和Dg=[−0.5,0.5]上服从均匀分布时相对应的融合估计误差方差计算结果，如图6 所示。根据图6 仿真结果，当系统模型的不确定性越大时，体现在乘性噪声gk的方差越大，即区间Dg的宽度范围越大，相对应的融合估计结果误差方差越大，这和实际情况相符。为验证所提方法使得融合估计器有界的条件，选取Dg=[−0.3,0.6]和Dg=[−0.3,0.91]， 前者对应的谱半径ρ1(A+)=0.891 0， 后者对应的谱半径 ρ2(A+)=1.003 7，显然A+是 稳定的，A+是不稳定的，图7 为与两者对应的融合估计误差方差仿真曲线，可以看出前者对应的估计误差方差是有界的，后者则是发散的，因此验证了定理4 的结论。为分析存储空间长度M对融合估计精度的影响，分别取不同的M值，相应的融合估计误差方差仿真结果如图8 和图9所示。图8 表明，在M＆lt;=5,i=1,2,3时 ，增大M能够提高融合估计精度，图9 表明当M≥=5,i=1,2,3时 ，增大M无法使得融合精度更高，从而验证了定理5 的结论。
图6 乘性噪声gk 与融合估计误差的关系Fig.6 Relationship between multiplicative noise gk andfusionestimationerror
图7 乘性噪声gk 特性与融合估计器有界性的关系Fig.7 Relationship between characteristics of multiplicative noise gk and fusion estimator boundedness
图8 M取1,2,3,4,5时存储空间长度与融合估计精度的关系Fig.8 Relationship between storage space length and fusion estimation accuracy when M=1,2,3,4,5
图9 M取5,6时存储空间长度与融合估计精度的关系Fig.9 Relationship between storage space length and fusion estimation accuracy when M=5,6
1)本文提出了一种用于模型不确定性、随机传输时延和数据包丢失等网络通信受限下的分布式加权估计方法的融合估计器，为多传感器融合估计提供了一种新的思路，具有较强的工程意义。
2)本文在远程处理中心处设置多个有限长度的存储空间，用来存储各个传感器的量测值，避免了过多信息损失。
3)本文在最小方差原则下设计一种最优常增益状态估计器，可以通过灵活调节存储空间的长度平衡融合估计精度和计算负担，具有较强的灵活性。
在后续的研究工作中，将针对估计器有限步长重复递推问题，研究如何提高数据包信息利用率降低融合中心存储压力。
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